2024年新定义与阅读理解创新型问题某中学考数学真题分项汇编（学生版）

专题28新定义与阅读理解创新型问题

一、单选题

1.（2024.湖南永州）定义：若1（T=N,则x=bgioN,x称为以10为底的N的对数,简记为IgN,其满足

运算法则：1g仞+lgN=lg（M-N）（M>0,N>0）.例如：因为102=100,所以2=lgl00,亦即怆100=2；

Ig4+lg3=lgl2.根据上述定义和运算法则，计算（Ig2）2+lg24g5+lg5的结果为（）

A.5B.2C.1D,0

2.（2024・湖南张家界）对于实数。为定义运算“☆”如下：.☆〃=加—他，例如3^2=3x2?—3x2=6,则

方程=2的根的情况为（）

A.没有实数根B,只有一个实数根C.有两个相等的实数根D.有两个不相等的实数根

3.（2024.湖南怀化）定义。③b=2。+!，则方程3®x=4③2的解为（）

b

12c34

A.x=-B.x=-C.x=-D.x=-

5555

4.（2024・湖北恩施）在实数范围内定义运算“☆”:a^b=a+b-\,例如:2☆3=2+3-1=4.如果2G=1,

则x的值是（）.

A.-1B.1C.0D.2

\a-h(a..2b).,.„,

5.（2024.山东潍坊）若定义一种新运算：〃？b[…(0("例如：3®1=3-1=2；584=5+4-6=3.则

函数y=（x+2）8（x—l）的图象大致是（）

6.（2024・河南）定义运算：相☆〃=〃〃/一〃"?一1.例如:4+2=4x22-4x2-1=7.则方程哙％=0的根的情

况为（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.无实数根D.只有一个实数根

7.（2024・河北）如图，等腰,AO3中，顶角404=40。，用尺规按①到④的步骤操作:

①以。为圆心，OA为半径画圆；

②在CO上任取一点P（不与点A,8重合），连接AP；

③作/W的垂直平分线与CO交于M，N；

④作AP的垂直平分线与。交于E,F.

结论I：顺次连接M,E,N,尸四点必能得到矩形；

结论II：&0上只有唯一的点人使得无形.，=5,形的.

对于结论I和II,下列判断正确的是（）

M

ANB

A.1和II都对B.I和II都不对

C.I不对II对D.I对II不对

二、填空题

8.（2024.湖北荆州）规定：两个函数,，力的图象关于），轴对称，则称这两个函数互为函数例如：

函数y=2x+2与必=-2工+2的图象关于），轴对称，则这两个函数互为“y函数”.若函数

产4+2（攵-1）X+"3a为常数）的“丫函数”图象与x轴只有一个交点，则其“V函数”的解析式为.

9.（2024・广西贵港）我们规定：若三卬x）工=（天.），则»="也+）'历.例如；=（1,3）"=（2,4），则

6/^=1x2+3x4=24-12=14*已知：=（x+=（x-3,4），且一2触3,则二司勺最大值是--------•

10.（2024•山东荷泽）定义：［〃也c］为二次函数），=aF+6—c.（〃工（））的特征数，下面给出特征数为

-机27T的二次函数的一些结论：①当〃7=1时，函数图象的对称轴是）'轴：②当〃7=2时，函数图象

过原点；③当〃z>0时，函数有最小值；④如果"?<0,当时，随工的增大而减小，其中所有正确结

论的序号是.

11.（2024・四川内江）对于非零实数a,b,规定a㊉若（2x・l）©2=1,则x的值为.

12.（2024.内蒙古呼和浩特）若把第〃个位置上的数记为怎，则称占,已当，…，/有限个有序放置的

数为一个数列A.定义数列A的“伴生数列"是：,为，为…L其中先是这个数列中第〃个位置上的数，

〃=1,2,…k.且”=〈并规定/二七，工用=玉.如果数列A只有四个数，且,，/，£，5依

〔1当-尸可

次为3,1,2,1,则其“伴生数列"是.

三、解答题

13.（2024•甘肃兰州）在平面直角坐标示中，尸（。,力）是第一象限内一点，给出如下定义：｛=/和匕=2两

。~a

⑴求点尸（6,2）的“倾斜系数*的值；

（2）①若点P（〃2）的“倾斜系数”=2,请写出。和〃的数量关系，并说明理由；

②若点P（“b）的“倾斜系数”=2,且a+〃=3,求OP的长：

⑶如图，边长为2的正方形4BCD沿直线AC），=工运动，P（”,〃）是正方形ABCD上任意一点，且点尸的

“倾斜系数”k＜石，请直接写出。的取值范围.

则f(X1)-/(x2)=X；—X；=(x,+x2)(x,-x2)

,:4<*2且%>。，工2>0

:.xi+x2>0,-x2<0

.•・(内+占)(七一/)<°，BPf(xl)-f(x2)<0,f(x1)<f(x2)

・•・函数f(x)=x\x>0)是增函数.

根据以上材料解答卜列问题：

⑴函数f(x)=L(x>0),/(1)=|=1,/(2)=1/(3)=_______,/(4)=_______

xI2

(2)猜想/3=!。>0)是函数(填“增”或“减”)，并证明你的猜想.

x

16.(2024•四川凉山)阅读以下材料,苏格兰数学家纳皮尔(J.Np/er,1550—1617年)是对数的创始人，

他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉(EWer.1707—1783年)才发现指数与对

数之间的联系.

对数的定义：一般地.若a'=N(。>0且。工1),那么x叫做以〃为底N的对数，

记作x=log“N,比如指数式24=16可以转化为对数式4=1。8216,对数式2=log39可以转化为指数式

下=9.我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：

log“(M-N)=log“M+log“N(a>0,〃工1,M>0,N>0),理由如下：

设log<?M=m,log„N=〃，则M=a'\N=a".

M,N=am-an=am^.由对数的定义得小+〃=log*"-N)

又m+n=log0M+log“N

/.loga(Af-N)=log0M+log。N.

根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：

(1)填空：①log232=；②1(^27=,③log/=

(2)求证：log"—=log"M一log“N(a>0,。/1,M>0,N>0)；

⑶拓展运用：计算log,125+1。&6-log.30.

17.(2024・重庆)对于任意一个四位数用，若干位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的

数字之和的2倍,则称这个四位数加为“共生数”例如：小=3507,因为3+7=2x(5+。)，所以3507是“共生

数”：加=4135,因为4+5H2X(1+3),所以4135不是“共生数”；

(1)判断5313,6437是否为“共生数”?并说明理由:

(2)对于“共生数”〃，当十位上的数字是千位上的数字的2倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被9

整除时，记「(〃)=].求满足尸(〃)各数位上的数字之和是偶数的所有〃.

18.（2024.重庆）如果一个自然数M的个位数字不为0,且能分解成4x8,其中A与3都是两位数，A与8

的十位数字相同，个位数字之和为10,则称数M为“合和数”，并把数“分解成知=4、8的过程，称为“合

分解

例如609=21x29,21和29的十位数字相同，个位数字之和为10,

・•.609是“合和数

乂如234=18x13,18和13的十位数相同,但个位数字之和不等于10,

「.234不是“合和数”.

（1）判断168,621是否是“合和数”?并说明理由;

（2）把一个四位“合和数”M进行“合分解"，即”=4'反A的各个数位数字之和与8的各个数位数字之

和的和记为尸（M）；A的各个数位数字之和与4的各个数位数字之和的差的绝对值记为Q（M）.令

G（M）二P（品M）'当GW）能被4整除时'求出所有满足条件的M.

19.（2024・四川内江）我们知道，任意一个正整数x都可以进行这样的分解：x=（加，〃是正整数，且

D,在x的所有这种分解中，如果〃?，〃两因数之差的绝对值最小，我们就称，"x〃是x的最佳分解.并

规定：/（A）=-

例如：18可以分解成1x18,2x9或3x6,因为18-1>9-2>6-3,所以3x6是18的最佳分解，所以

“⑻二冷

（1）填空：〃6）=；〃9)=

（2）一个两位正整数/（Z=10〃十人。，人为正整数），交换其个位上的数字与十位上的数字

得到的新数减去原数所得的差为54,求出所有的两位正整数；并求/⑺的最大值;

(3)填空:

①/（22x3x5x7）=

②f03x3x5x7）=

③f（24x3x5x7）=

®/（25X3X5X7）=

20.(2024.重庆)在整数的除法运算中，只有能整除与不能整除两种情况，当不能整除时，就会产生余数,

现在我们利用整数的除法运算来研究一种数——“差一数”.

定义：对于一个自然数，如果这个数除以5余数为4,且除以3余数为2,则称这个数为“差一数

例如:14+5=2..4,144-3=4.....2,所以14是“差一数”;

19+5=3…・,4,但19+3=6I,所以19不是“差一数”.

(1)判断49和74是否为“差一数”?请说明理由;

(2)求大于300且小于400的所有“差一数”.

21.（2024•山东潍坊）为落实“双减”，老师布置「一项这样的课后作业：

二次函数的图像经过点（-1，-1），且不经过第一象限，写出满足这些条件的一个函数表达式.

［观察发现］

请完成作业，并在直角坐标系中画出大致图像.

［思考交流］

小亮说：“满足条件的函数图像的对称轴一定在），轴的左侧.”

小莹说：“满足条件的函数图像一定在工轴的下方.”

你认同他们的说法吗？若不认同，请举例说明.

［概括表达］

小博士认为这个作业的答案太多，老师不方便批阅，于是探究了二次函数y=+c的图像与系数小小

c的关系，得出了提高老师作业批阅效率的方法.

请你探究这个方法，写出探究过程.

22.（2024.山西）阅读与思考

下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务

用函数观点认识一元二次方程根的情况

我们知道，一元二次方程以2+法+0=°9/0）的根就是相应的二次函数），=⑪2+法+以〃*0）的图象（称为

抛物线）与x轴交点的横坐标.抛物线与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、无交点.与此

相对应，一元二次方程的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根.因

此可用抛物线与x轴的交点个数确定一元二次方程根的情况

__4ac-b2

下面根据抛物线的顶点坐标（一万，4a）和一元二次方程根的判别式△="-4.，分别分。＞0和

两种情况进行分析：

（1）。＞（）时，抛物线开口向上.

4ac-b2_

,,-------＜°

①当•=6—4时＞。时，有4。。一厅＜0.=”〉。，.•.顶点纵坐标4“

・•・顶点在x轴的下方，抛物线与/轴有两个交点（如图I）.

4ac-b2八

?）-----------=0

②当3=力--4戊=0时，有4次、一3=0.・.・〃＞（）,.•.顶点纵坐标4a

・,.顶点在入轴上，抛物线与％轴有一个交点（如图2）.

・,・元二次方程以2+加+c=0（a士0）有两个相等的实数根.

③当4二6-4"=0时，

（2）〃＜。时，抛物线开口向下.

任务：

（I）上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是（从下面选项中选出两个即可）：

A.数形结合

B.统计思想

C.分类讨论.

D.转化思想

⑵请参照小论文中当时①②的分析过程，写出③中当〃时，一元二次方程根的情况的分析过

程，并画出相应的示意图；

（3）实际上，除一元二次方程外，初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识，例如：可用函数观点来

认识一元一次方程的解.请你再举出一例为

23.（2024.湖北武汉）在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同句运动，黑球在A处开始减速，此时白球在

黑球前面70cm处.

黑球白球

OQ

小聪测量黑球减速后的运动速度口（单位：cm/s）、运动距离y（单位：cm）随运动时间7（单位：s）变

化的数据，整理得下表.

运动时间“S01234

运动速度Wcm/s109.598.58

运动距离y/cm09.751927.7536

小聪探究发现，黑球的运动速度丫与运动时间/之间成一次函数美系，运动距高）'与运动时间/之间成二次函

数关系.

（1）直接写出n关于，的函数解析式和）'关于f的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）

（2）当黑球减速后运动距离为64cm时，求它此时的运动速度；

⑶若白球：耳以2cm/s的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会碰到白球？请说明理由.

24.（2024.湖北随州）2024年的冬奥会在北京举行，其中冬奥会古祥物“冰墩墩”深受人们喜爱，多地出现了

“一墩难求''的场面，某纪念品商店在开始售卖当天提供150个“冰墩墩”后很快就被抢购一空.该店决定让当

天未购买到的顾客可通过预约在第二天优先购买，并且从第二天起，每天比前一天多供应用个（机为正整

数）经过连续15天的销售统计，得到第x天（l<x<15,且x为正整数）的供应量,（单位：个）和需求

量力（单位：个）的部分数据如下表，其中需求最力与x满足某二次函数关系.（假设当天预约的顾客第二

天都会购买，当天的需求量不包括前一天的预约数）

第X天12・・・6・-・11・・・15

供应量X（个）15015O+/W•••150+5/r/・・・150+IDw・・・150+14/7/

需求量为（个）220229・.・245・.・220•・・164

（1）直接写出M与x和月与x的函数关系式；（不要求写出x的取值范围）

（2）已知从第10天开始，有需求的顾客都不需要预约就能购买到（即前9天的总需求量超过总供应量，前10

天的总需求量不超过总供应量），求〃?的值；（参考数据：前9天的总需求量为2136个）

⑶在第（2）问〃?取最小值的条件下，若每个“冰墩墩”售价为10。元，求第4天与第12天的销售额.

26.（2024.湖北随州）如今我国的大棚（如图1）种植技术已十分成热.小明家的菜地上有一个长为16米

的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的•端固定在离地面高I米的墙体A处，另一端固定在离地

面高2米的墙体6处，现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系.已知大棚上某处离地面的高度y（米）

与其离墙体A的水平距离X（米）之间的关系满足），=-，/+桁+c,现测得A,8两墙体之间的水平距离

6

为6米.

图2

（1）直接写出人，。的值；

（2）求大棚的最高处到地面的距离；

（3）小明的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为9米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土

24

地平均每平方米需要4根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？

27.（2024.湖南郴州）某商店从厂家以每件2元的价格购进一批商品，在市场试销中发现，此商品的月销售

量T（单位：万件）与销售单价x（单位：元）之间有如下表所示关系：

X••・4.05.05.56.57.5•••

y・・・8.06.05.03.01.0・・・

y月销售量/万件

（1）根据表中的数据，在图中描出实数对所对应的点，并画出y关于x的函数图象；

（2）根据画出的函数图象，求出）'关于X的困数表达式；

（3）设经营此商品的月销售利润为产（单位：万元）.

①写出。关于X的函数表达式；

②该商店计划从这批商品获得的月销售利润为10万元（不计其它成本），若物价局限定商品的销售单价不

骨超过进价的200%,则此时的销售单价应定为多少元？

28.（2024•湖南永州）已知关于x的函数y=o?+bx+c.

⑴若〃函数的图象经过点（LY）和点（2,1）,求该函数的表达式和最小值；

（2）若。=1,b=-2,c=〃?+l时，函数的图象与x轴有交点，求用的取值范围.

⑶阅读下面材料：

设〃>0,函数图象与“轴有两个不同的交点A,B,若A,8两点均在原点左侧，探究系数4，b,c应满

足的条件，根据函数图像，思考以下三个方面：

①因为函数的图象与x轴有两个不同的交点，所以△=〃-4函>0；

②因为A,8两点在原点左侧，所以x=0对应图象上的点在九轴上方，BPoO；

③.1：述两个条件还不能确保A,8两点均在原点左侧，我们可以通过抛物线的对称轴位置来进一步限制抛物

线的位置：即需-3<0.

2a

。>0

A=/?2-4ac>0

综上所述，系数a,b,c,应满足的条件可归纳为：0()

请根据上面阅读材料，类比解决下面问题：

若函数y=a/_2x+3的图象在直线x=l的右侧与不轴有且只有一个交点，求〃的取值范围.

29.(2024.浙江温州)根据以下素材，探索完成任务.

如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？

图1中有一座拱桥，图2是其抛

物线形桥拱的示意图，某时测得

素

水面宽20m,拱顶离水面

材

15m.据调查，该河段水位在此ag卜20md

M2

基础上再涨L8m达到最高.

为迎佳节，拟在图1桥洞前面的

:上

桥横/

素桥拱上悬挂40cm长的灯笼，如

5：

材图3.为了安全，灯笼底部距离水安全距m

最高

2面不小于1m；为了实效，相邻>一水位

两盏灯笼悬挂点的水平间距均图3

为1.6m；为了美观，要求在符

合条件处都挂上灯笼，且挂满后

成轴对称分布.

问题解决

任

务确定桥拱形状在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式.

1

任

在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标

务探究悬挂范围

的最小值和横坐标的取值范围.

2

任

给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，

务拟定设计方案

求出最左边一盏灯笼悬拄点的横坐标.

3

30.（2024.安徽）如图1,隧道截面由抛物线的一部分和矩形ABC。构成，矩形的一边8C为12米，

另一边A8为2米.以所在的直线为x轴，线段8C的垂直平分线为），轴，建立平面直角坐标系xOy,规

定一个单位长度代表1米.E（0,8）是抛物线的顶点.

（1）求此抛物线对应的函数表达式；

（2）在隧道截面内（含边界）修建"E"型或“R”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点A，巴在x轴

上，与矩形々巴巴巴的一边平行且相等.栅栏总长/为图中粗线段《鸟，W，W,MN长度之和.请解

决以F问题：

（i）修建一个“E”型栅栏，如图2,点八，鸟在抛物线AEO上.设点匕的横坐标为〃?（0〈〃区6）,求

栅栏总长/与，”之间的函数表达式和/的最大值；

（H）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的修建“E”型或“R”型栅型两种设计方案，请你

从中选择一种，求出该方案下矩形EAR巴面积的最大值，及取最大值时点片的横坐标的取值范围（4在巴右

侧）.

31.（2024.江苏南通）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等

值点例如，点（1」）是函数的图象的“等值点

L2

（1）分别判断函数y=x+2,y=/-x的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果

不存在，说明理由；

3

（2）设函数），=一（X>0）,），=I+）的图象的“等值点”分别为点48,过点8作8。_1工轴,垂足为。.当.”€'

X

的面积为3时，求人的值；

（3）若函数y=f-2（x2"。的图象记为叱，将其沿直线刀=，〃翻折后的图象记为也.当叫，叫两部分组成

的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出机的取值范围.

32.（2024•辽宁大连）已知函数y记该函数图像为G.

[x2-tnx+in{x>m）

（1）当初=2时，

①已知M（4,〃）在该函数图像上，求〃的值：

②当04x42时，求函数G的最大值；

（2）当"?>0时，作直线x=g〃?与X轴交于点尸，与函数G交于点Q,若NPOQ=45。时，求用的值：

（3）当机43时，设图像与x轴交于点A,与），轴交与点8,过3做8C_L8A交直线x=与点C,设点A

的横坐标为&C点的纵坐标为c,若a=-3c,求〃?的值.

33.（2024•陕西）问题提出

（1）如图1,在QABCZ）中，Z4=45°,AB=S,AD=6,E是A。的中点，点尸在0c上且。£=5求四

边形ABFE的面枳.（结果保留根号）

问题解决

（2）某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境.如图2所示，现规划在河畔的一处滩地上建一个五边形

河畔公园A3CDE按设计要求，要在五边形河畔公园ABC0E内挖一个四边形人工湖0PMN,使点0、P、M、

N分别在边BC、CD、AE.44上，且满足BO=24N=2CP,AM=0C.已知五边形中，

4=N8=NC=90。，AB=800m,BC=1200m,CO=600m,AE=900m.满足人工湖周边各功能场所

及绿化用地需要，想让人工湖面积尽可能小.请问，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖

O尸MN?若存在，求四边形O尸MN面积的最小值及这时点N到点A的距离；若不存在，请说明理由.

图1

图2

34.(2024・湖北随州)等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法.它是利用“同一个图形的面积相等“、

“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等''等性质解

决有关数学问题，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简便快捷.

(1)在直角三角形中，两直角边长分别为3和4,则该直角三角形斜边上的高的长为,其内切圆的半

径长为

(2)①如图1,P是边长为"的正,A8C内任意一点，点。为二48c的中心，设点。到各边距离分别

为4，生，"，连接"，BP,CP,由等面积法，易知ga(4+14+%)=SMBC=3SMAB,可得4+生+%=

；(结果用含。的式子表示)

②如图2,P是边长为。的正五边形46CDE内任意一点，设点P到五边形各边距离分别为九，为，小,

Q

儿，%,参照①的探索过程，试用含。的式子表示"+4+%+%+，%的值.(参考数据：tan36Onyy,

00154。/)

8

(3)①如图3,已知©O的半径为2,点A为CO外一点，0A=4,A3切0。于点〃，弦8C7/Q4,连接AC,

则图中阴影部分的面积为：(结果保留乃)

②如图4,现有六边形花坛A8CQEF,由于修路等原因需将花坛进行改造.若要将花坛形状改造成五边形

ABCDG,其中点G在AF的延长线上，且要保证改造前后花坛的面积不变，试确定点G的位置，并说明理

由.

35.(2024•江苏连云港)在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动.

(1).A8C是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一点，且AE=1,小亮以房为边作等边三角形的。

如图1,求C尸的长；

CF

图1图2

(2)二ABC是边长为3的等边三角形，石是边AC上的一个动点，小亮以跖为边作等边三角形3£尸，如图

2,在点£从点C到点A的运动过程中，求点厂所经过的路径长；

(3)「A4C是边长为3的等边三角形，M是高。。上的一个动点，小凫以8W为边作等边三角形8MN,如

图3,在点M从点C到点。的运动过程中，求点N所经过的路径长；

(4)正方形A8CQ的边长为3,£是边CB上的一个动点，在点E从点C到点8的运动过程中，小亮以8

为顶点作正方形8FG”，其中点F、G都在直线AE上，如图4,当点E到达点8时，点F、G、H与点、B

重合.则点”所经过的路径长为，点G所经过的路径长为.

36.（2024•四川遂宁）己知平面直角坐标系中，点产（％,尤）和直线小十齿+。=0（其中A,8不全为0）,

则点。到直线Ai+8y+C=0的距离d可用公式”」的+:）来计算.

yjA2+B2

例如：求点尸（1,2）到直线y=2x+1的距离，因为直线），=2%+1可化为2x—），+1=0,其中A=2,B=

IAx0+By0+C||2xl+（—l）x2+l|1亚

—1，C=l,所以点P（l,2）到直线y=2x+l的距离为：d=---,—=---,一=

<A2+B272+（-0J55

根据以上材料，解答下列问题：

（1）求点M（0,3）到直线），=6-9的距离；

（2）在（1）的条件下，0M的半径r=4,判断。M与直线），="r+9的位置关系，若相交，设其弦长

为心求〃的值；若不相交，说明理由.

37.（2024・贵州六盘水）（1）观察发现

如图（1）：若点A、B在直线m同侧，在直线m上找一点P,使AP+BP的值最小，做法如下：

作点B关于直线m的对称点B,连接AB，，与直线m的交点就是所求的点P,线段AB为勺长度即为AP+BP

的最小值.

如图（2）：在等边三角形ABC中，AB=2,点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P,使BP+PE

的值最小，做法如下：

作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P,故BP+PE

的最小值为.

（2）实践运用

如图（3）：已知。O的直径CD为2,AC的度数为60。，点B是AC的中点，在直径CD上作出点P,使BP+AP

的值最小，则BP+AP的值最小，则BP+AP的最小值为.

（3）拓展延伸

如图（4）：点P是四边形ABCD内一点，分别在边AB、BC上作出点M,点N,使PM+PN的值最小，保

留作图痕迹，不写作法.

38.（2024.内蒙古呼和浩特）某同学在学习了正多边形和圆之后，对正五边形的边及相关线段进行研究，发

现多处出现者名的黄金分割比叵1。0.618.如图，圆内接正五边形44。）匠，圆心为O,OA与BE交于点

2

H,AC.AO与跖分别交于点M、N.根据圆与正五边形的对称性，只对部分图形进行研究.（其它可同

理得出）

（1）求证：一A8W是等腰三角形且底角等于36。，并更接说出.3AN的形状；

（2）求证：器=器，且其比值〃=正二1；

BNBE2

（3）由对称性知AO_L8E,由（1）（2）可知会也是一个黄金分割数，据此求sinl8。的值.

BM

39.（2024.江苏盐城）木门常常需要雕刻美丽的图案.

（1）图①为某矩形木门示意图，其中AB长为200厘米，AD长为100厘米，阴影部分是边长为30厘米的正

方形雕刻模具，刻刀的位置在模具的中心点〃处，在雕刻时始终保持模具的一边紧贴木门的一边，所刻图案

如虚线所示，求图案的周长；

（2）如图②，对于⑴中的木门，当模具换成边长为30G厘米的等边三角形时，刻刀的位置仍在模具的中

心点P处，雕刻时也始终保持模具的一边紧贴本门的一边，使模具进行滑动雕刻.但当模具的一个顶点与木

门的一个顶点重合时，需将模具绕着重合点进行旋转雕刻，直到模具的另一边与木门的另一边重合.再滑

动模具进行雕刻，如此雕刻•周，请在图②中画出雕刻所得图案的草图，并求其周长.

图②

40.（2024•陕西）问题提出

（1）如图1,在RQABC中，ZACB=90°,AC>BC,ZACB的平分线交AB于点D.过点。分别作QE_LAC,

DFLBC.垂足分别为E,F,则图1中与线段CE相等的线段是.

问题探究

（2）如图2,是半圆。的直径，48=8.P是AB上一点，巨PB=2PA，连接AP，BP./AP8的平分

线交人8于点C,过点C分别作CELAP,CF1BP,垂足分别为E,F,求线段CF的长.

问题解决

（3）如图3,是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图.己知0。的直径AB=70/〃，点C在。。上，且CA

=CB."为AB上一点，连接CP并延长，交。O于点D连接AD,BD.过点P分别作PE_LAO,PFLBD,

重足分别为E,F.按设计要求，四边形PEDr内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分

为绿化区.设AP的长为工（阳），阴影部分的面积为y（"2）.

①求），与x之间的函数关系式；

②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当第的长度为30〃?时，整体布局比较合理.试求当AP=30,〃时.室

内活动区（四边形PEDF）的面积.

41.（2024•江苏连云港）筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写道：“水

能利物，轮乃曲成”.如图，半径为3m的筒车〔。按逆时针方向每分钟转。圈，筒车与水面分别交于点A、

B,筒车的轴心。距离水面的高度OC长为2.2m,简车上均匀分布着若干个盛水筒.若以某个盛水筒产刚

浮出水面时开始计算时间.

（1）经过多长时间，盛水筒〜首次到达最高点？

（2）浮出水面3.4秒后，盛水筒P距离水面多高?

（3）若接水槽MN所在直线是。的切线，且与直线A8交于点M,MO=8m.求盛水筒?从最高点开始,

至少经过多长时间恰好在直线MN上.（参考数据：cos43°=sin47°。?，sin16°=cos740丈二，

1540

。o3

sin22=cos682s二）

8

42.（2024•山东德州）如图1,在平面直角坐标系中,点A的坐标是Q-2）,在4轴上任取一点M.连接2M,

分别以点A和点M为圆心，大于;AM的长为半径作弧，两弧相交于G,”两点，作直线G”，过点M作x

轴的垂线/交直线G”于点P.根据以上操作，完成下列问题.

探究：

(1)线段以与PM的数量关系为,其理由为：.

(2)在x轴上多次改变点M的位置，按上述作图方法得到相应点P的坐标，并完成下列表格:

M的坐标•••(-2,0)(0,0)(2,0)(4,0)・・・

P的坐标・・・(0,-1)(2,-2)・・・

猜想：

(3)请根据上述表格中P点的坐标，把这些点用平滑的曲线在国2中连接起来；观察画出的曲线L,猜想

曲线L的形状是.

验证:

(4)设点P的坐标是(x,y),根据图1中线段力与PM的关系，求出.V关于x的函数解析式.

应用：

(5)如图3,点以C(l,6),点。为曲线L上任意一点，且N8Z)Cv30。，求点。的纵坐标打的

取值范围.

图1图2图3

43.(2024.江苏常州)通过构造恰当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些

不等关系或最值，这是“数形结合.'思想的典型应用.

【理解】

(1)如图1,4。_1_8。,。。_14;,亘足分别为仁。石是44的中点,连接。£已知人。=〃，BD=h(O<a<b).

①分别求线段CK、C。的K(用含。、〃的代数式表示)；

②比较大小：CECD(填“V"、"=”或">”)，并用含。、〃的代数式表示该大小关系.

图2

【应用】

(2)如图2,在平面直角坐标系*0v中，点M、N在反比例函数)，='(x>0)的图像上，横坐标分别为〃?、

11,1

n.设〃=/〃+〃，〃=—+一,记i=_pq.

mn4

①当相=1,，?=2时，/=；当“2=3,〃=3时，1=；

②通过归纳猜想，可得/的最小值是.请利用图2构造恰当的图形，并说明你的猜想成立.

44.(2024•四川达州)某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两要互相垂直的线段做了如下探究:

【观察与猜想】

DF

(1)如图I,在正方形A3C。中，点E,“分别是48,AO上的两点，连接OE,CF,DE1CF,则二