第13章 解三角形中的边角关系、命题与证明（复习课件）-沪科版(2024)八上

单元复习课件

第十三章

三角形中的边角关系、命题与证明

沪科版2024·八年级上册学习内容导览单元知识图谱2单元复习目标13考点串讲针对训练5题型剖析46课堂总结2.掌握三角形内角和定理（内角和为180°），会利用直角三角形两锐角互余及通过两锐角互余判定直角三角形。理解命题的概念及组成；真命题与假命题的判断；证明的基本步骤与规范书写。1.了解三角形的定义、分类（按边、按角），体会三角形概念、分类及各性质间的整体联系。

能用三角形三边关系判断线段能否构成三角形。理解三角形的高、中线、角平分线的定义，能识别并运用它们进行相关线段计算。3.

会利用定理及外角性质（外角等于不相邻两内角和、大于不相邻内角，外角和360°），解决角度计算、证明等问题。学会标准形式命题的改写；理解“证明的必要性”；证明思路的形成（从“已知”到“求证”的逻辑链条）。三角形中的边角关系、命题与证明三边长的关系命题几条重要的线段关系按边三角形分类角的关系边角关系分类三角形中的边角关系高、角平分线、中线按角三角形分类假命题定理原命题真命题基本事实推论逆命题互逆三角形内角和定理推论1推论2推论3推论4考点一、三角形的概念及其分类（一）三角形的概念。定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫作做三角形.

有三条线段，三个角边：线段AB，BC，CA是三角形的边.顶点：点A，B，C是三角形的顶点，角：∠A，∠B，∠C叫做三角形的内角，简称三角形的角.三角形用符号“△”表示；记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，除此△ABC还可记作△BCA,

△

CAB,

△

ACB等.顶点C角顶点A角边a边c顶点B边b考点一、三角形的概念及其分类（二）三角形的分类。三角形按边分类底和腰不相等的等腰三角形等边三角形三角形不等边三角形等腰三角形也可以用图形表示三角形按边分类的情况：三边都不相等的三角形等腰三角形等边三角形考点二、三角形的三边关系在△ABC中，如果把它的任意两个顶点看作定点，则两定点之间的所有连线中，线段最短。例如，将B、C看作定点，则AB+AC>BC同理，得AC+BC>AB,AB+BC>AC.AB>BC-AC三角形中任意两边的和大于第三边.三角形中任意两边的差小于第三边.

考点三、三角形中角的关系三角形的内角和等于180°三角形中，任意一个内角都小于180°锐角直角钝角

斜边直角边直角边三角形按角的大小分类：三角形锐角三角形直角三角形钝角三角形考点四、三角形中重要的几条线段三角形的重要线段概念图形几何表示法三角形的高线三角形的中线三角形的角平分线从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段AD⊥BC，∠ADB=∠ADC=90°.三角形中,连结一个顶点和它对边中的线段BD=CD=BC.三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段

∠1=∠2=

∠BAC

考点四、三角形中重要的几条线段三角形的重要线段高线中线角平分线钝角三角形两短边上的高画法等积法表示三角形的面积重心等分原三角形面积一边上的中线把原三角形分成两个三角形，这两个三角形的周长差等于原三角形其余两边的差考点五、命题的判断及其真假性前面几个分别是三角形、三角形的角平分线、有理数的定义；前两个定义揭示了对象的特征性质，后一个有理数的定义明确了所指对象的范围.像这样，能明确界定某个对象含义的语句叫作定义.像这样，可以判断正确或不正确的陈述语句叫作命题.经判断是正确的命题我们称之为真命题.经判断是错误的命题我们称之为假命题.如果一个语句不能判断真假，那么它就不是命题.考点五、命题的判断及其真假性判断语句是不是命题的依据：①命题必须是一个完整的句子；②这个句子必须对某件事情作出肯定或者否定的判断，二者缺一不可.命题的组成与形式：命题通常由条件和结论两部分组成.条件是已知事项；结论是由已知事项推出的事项.这样的命题通常可写成“如果……那么……”的形式.考点六、原命题和逆命题以“如果……那么……”为关联词的命题的一般形式是“如果p，那么q”，或者说成“若p，则q”，其中p是这个命题的条件(或题设)，q是这个命题的结论(或题断).有时为了叙述简便，也可以省略关联词“如果”和“那么”.如：命题“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”可以写成“对顶角相等”.考点六、原命题和逆命题将命题“如果p，那么q”中的条件与结论互换，便得到一个新命题“如果q，那么p”，把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫作原命题，另一个就叫作原命题的逆命题.①互逆命题是指两个命题之间的一种关系，即条件、结论相反，任何命题都有逆命题；②互逆命题是相对的，称其中任何一个命题为原命题，另一个命题就是这个原命题的逆命题；③写一个命题的逆命题时，不能机械地把条件、结论生硬地交换，还应注意语言的表达方式，使叙述的逆命题语句完整、表意正确.考点七、三角形内角和定理及推论1、2已知：如图，△ABC.求证：∠A+∠B+∠C=180°.ABCED12证明：如图，延长BC到D，以点C为顶点、CD为一边作∠2=∠B，则CE∥BA.(同位角相等，两直线平行)∴∠A=∠1.(两直线平行，内错角相等)∵B、C、D在同一条直线上，(所作)∴∠1+∠2+∠ACB=180°.(平角的定义)∴∠A+∠B+∠ACB=∠1+∠2+∠ACB=180°.(等量代换)为了证明的需要，在原来图形上添画的线叫作辅助线.辅助线通常画成虚线.考点七、三角形内角和定理及推论1、2ABCEDABClABCDEFABClABCDEF思考：多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是什么？转化思想添加辅助线（平行线）利用平行线的性质，转移角转化为平角或同旁内角考点七、三角形内角和定理及推论1、2在△ABC中，∠C=90°，求：∠A+∠B的度数.由此你能得到什么结论？解：在△ABC中，

根据三角形内角和定理，易得∠A+∠B+∠C=180°，

又∠C=90°，

∴∠A+∠B=180°–∠C=180°–90°=90°.推论1直角三角形的两锐角互余.像这样，由基本事实、定理直接得出的真命题叫作推论.ABC考点七、三角形内角和定理及推论1、2在△ABC中，∠A+∠B=90°，求：∠C的度数.解：在△ABC中，

根据三角形内角和定理，易得∠A+∠B+∠C=180°，

又∠A+∠B=90°，

∴

∠C=180°–(∠A+∠B)=180°–90°=90°.推论2有两个角互余的三角形是直角三角形.ABC考点八、三角形的外角三角形内角和定理的推论：推论3：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.

∠ABC+∠ACB=∠1推论4：三角形的外角大于与它不相邻任何一个内角.∠1>∠B，∠1>∠C

∠1+∠2+∠3=360°.三角形外角和：BAC123题型一、判断三条线段是否能组成三角形例1．判断:用下列长度的三条线段能否组成一个三角形.(1)4cm,7cm,2cm;

(2)3cm,2cm,1cm;

(3)10cm,4cm,6cm;

(4)5cm,6cm,15cm.因为４＋２＜７所以4cm,7cm,2cm不能组成一个三角形因为１＋２＝３所以3cm,2cm,1cm不能组成一个三角形因为４＋６＝１０所以10cm,4cm,6cm不能组成一个三角形因为５＋６＜１５所以5cm,6cm,15cm不能组成一个三角形判断三条线段是否可以组成三角形，只需说明两条较短线段之和大于第三条线段即可.例2.等腰三角形的周长为18cm。（1）如果腰长是底边长的2倍，求各边长；解

（1）设等腰三角形的底边长为xcm,则腰长为2xcm根据题意,得x+2x+2x=18.解方程,得x=3.6.所以该三角形的三边长为3.6cm，7.2cm，7.2cm。方法技巧根据腰长和底边的数量关系，由周长的定义列出方程即可求解．题型二、等腰三角形的讨论题型二、等腰三角形的讨论例2等腰三角形的周长为18cm。（2）如果一边长为4cm，求另两边长。(2)①

若等腰三角形的底边长为4cm,设腰长为ycm根据题意,得2y+4=18.解方程,得y=7.４ｃｍ为底边长４ｃｍ为腰长②若等腰三角形的腰长为4cm,设底边长为zcm.根据题意,得2x4+z=18.解方程,得z=10.由于4+4<10,可知以4cm为腰长不能构成周长为18cm的等腰三角形.所以该三角形的另两边长都是7cm.求出三角形的三边后，需要判断是否符合三角形三边的构成条件题型三、应用三角形内角和定理求角度

（三角形的内角和等于180°）

应用三角形的内角和等于180°时，需要写明在哪一个三角形中“同理”，是指重复前面的推理过程题型四、三角形的高、中线、角平分线例4.如图，AD、BE分别是△ABC的边BC，AC上的高，AD=3，BC=5，AC=4，则BE的长是（）.A.B.3C.2D.

A方法技巧在三角形中，利用两种不同的方式计算面积，并用等式表示的方法叫做等面积法．题型四、三角形的高、中线、角平分线例5.如图，点O是△ABC的重心，延长AO交BC于D点，延长BO交AC于E点，若BC=6，AC=4，则BD+AE=________.5

题型四、三角形的高、中线、角平分线例6.在△ABC中，AD为中线，BE为角平分线，则在以下等式中:①∠BAD=∠CAD;②∠ABE=∠CBE;③BD=DC;④AE=EC，其中正确的是（）Ａ．①②

Ｂ．③④

Ｃ．①④

Ｄ．②③Ｄ考点五、命题例7.将“平行于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式为_______________________________________________________________________.如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行例8..判断下列命题是真命题还是假命题.如果是假命题，请举出一个反例.

考点五、命题例9.写出下列命题的逆命题，并判断所得逆命题的真假，如果是假命题，请举一个反例.(1)内错角相等，两直线平行；(2)如果a＝0，那么ab＝0.解：(1)逆命题是“两直线平行，内错角相等”，是真命题.(2)逆命题是“如果ab＝0，那么a＝0”，是假命题.反例：当a＝1，b＝0时，ab＝0，而a≠0.考点六、证明的格式及书写方法

同角的补角相等

内错角相等，两直线平行

两直线平行，内错角相等考点六、证明的格式及书写方法

等量代换同位角相等，两直线平行两直线平行，同位角相等

证明过程中的每一步推理都要有依据，不能想当然地得出结论.考点七、三角形内角和定理例11.补充完成下列证明：已知：如图，△ABC.求证：∠A+∠B+∠C=180°.证明：在BC边上取一点D，过点D作DE∥AB，DF∥AC，分别交AC，AB于点E，F.

∵DE∥AB，A

B

C

D

E

F

3

1

2

∴∠B=∠3.(两直线平行，同位角相等)∵DF∥AC，∴∠C=∠1.(两直线平行，同位角相等)又∵∠1+∠2+∠3=180°，∴∠A+∠B+∠C=180°.(等量代换)考点八、三角形内角和定理推论1、2

例11.在△ABC中，（1）∠C=90°，∠A

=30°，则∠B

=

；（2）∠A

=50°，∠B

=∠C，则∠B

=

；（3）∠A-∠C

=25°，∠B

-∠A

=10°，则∠B

=

；（4）∠A+∠B

=90°，则△ABC是

三角形.60°65°75°直角

考点八、三角形内角和定理推论1、2

考点八、三角形内角和定理推论1、2考点九、三角形的外角例2

如图，已知∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度数.ABCD(((51°20°30°点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题.考点九、三角形的外角解法一：连接AD并延长于点E.在△ABD中，∠1+∠ABD=∠3，在△ACD中，∠2+∠ACD=∠4.∵∠BDC=∠3+∠4，∠BAC=∠1+∠2，∴∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD

=51°+20°+30°

=101°.ABCD((20°30°))))E

1234考点九、三角形的外角ABCD(((51°20°30°1E

2F

))解法二：延长BD交AC于点E.在△ABE中，∠1=∠ABE+∠BAE，在△ECD中，∠BDC=∠1+∠ECD.∴∠BDC=∠BAE+∠ABE+∠ACD=51°+20°+30°=101°.解法三:连接延长CD交AB于点F（解题过程同解法二）.解题的关键是正确的构造三角形，利用三角形外角的性质及转化的思想，把未知角与已知角联系起来求解.考点九、三角形的外角2.如图，P是△ABC内任一点，连接BP并延长交AC于点D，连接CP，用不等号“>”或“<”连接∠A，∠1，∠2，并说明理由.21BACDP解：∠1＞∠2＞∠A.理由如下：对于△ABD，∠2是它的一个外角，又∠A是与∠2不相邻的一个内角，∴∠2＞∠A.对于△PCD，∠1是它的一个外角，又∠2是与∠1不相邻的一个内角，∴∠1＞∠2.∴∠1＞∠2＞∠A.考点九、三角形的外角

已知：如图，∠1，∠2，∠3是△ABC的三个外角.求证：∠1+∠2+∠3=360°.1BAC23证明：∠1=∠ABC+∠ACB，∠2=∠BAC+∠ACB，∠3=∠BAC+∠ABC，(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)∴∠1+∠2+∠3=2(∠ABC+∠ACB+∠BAC).(等式性质)∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，(三角形内角和定理)∴∠1+∠2+∠3=360°.1.五条线段的长分别为1cm,2cm,3cm,4cm,5cm,以其中三条线为边长可以构成___个三角形.32.如果等腰三角形的一边长是5cm,另一边长是8cm,则这个等腰三角形的周长为___________.18cm或21cm3.如果等腰三角形的一边长是4cm,另一边长是9cm,则这个等腰三角形的周长为____.22cm4.若三角形的两边长分别是2和7,第三边长为奇数,求第三边的长.解：设第三边长为x,根据三角形的三边关系，可得，7-2＜x＜7+2即5＜x＜9又x为奇数，则第三边的长为7.

75°

方程思想（１）设∠A=3x，∠B=4x，∠C=5x

由三角形内角和等于180°，得3x+4x+5x=18012x=180x=15所以∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°(２）由三角形内角和等于180°，得

构建一元一次方程或二元一次方程组解答6．关于三角形的高，中线和角平分线，下列说法正确的是（

）A．三角形的角平分线是直线B．三角形的三条高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外C．三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心D．三角形的一条角平分线把三角形分成两个面积相等的三角形Ｃ线段直角三角形三条高的交点在直角顶点（在三角形的边上）中线7.如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别是BC，AD，CE的中点，且S△ABC=4cm2,则S阴影=_______cm2.１

三角形中线的性质三角形的中线能将三角形的面积分成相等的两部分先说一说，图中有哪些线段可以看作三角形的中线8.下列命题为真命题的是(

).A.两个锐角的和是钝角B.两条直线被第三条直线所截，同位角相等C.正数与负数的和为0D.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D

D10.写出下列命题的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假：（1）如果一个三角形有一个内角是钝角，那么它的另外两个内角是锐角；解：逆命题是“如果一个三角形有两个内角是锐角，那么它的另一个内角是钝角”.原命题是真命题，逆命题是假命题.

11.“若a＝b，则a2＝b2”为原命题，则下列判断正确的是()A.原命题为真命题，逆命题为假命题B.原命题与逆命题均为真命题C.原命题为假命题，逆命题为真命题D.原命题与逆命题均为假命题A12.

如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC的度数．解：∵∠A＝50°，∠B＝70°，∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝60°.∵CD是∠ACB的平分线，∴∠BCD＝∠ACB＝30°.∵DE∥BC，∴∠EDC＝∠BCD＝30°，在△BDC中，∠BDC＝180°－∠B－∠EDC=80°.

13.

如图，∠B=∠D=90°，AD交BC于点O，∠A与∠C有什么关系？请说明理由.解：∠A=∠C.理由如下：∵∠B=∠D=90°，∴∠A+∠AOB=90°，∠C+∠COD=90°.∵∠