初中九年级数学二次函数图像分析专项课件

第一章二次函数图像的初步认识第二章二次函数图像的顶点与对称轴第三章二次函数图像与坐标轴的交点第四章二次函数图像的增减性第五章二次函数图像的平移与伸缩第六章二次函数图像的综合应用01第一章二次函数图像的初步认识引入：生活中的抛物线二次函数图像在现实生活中有着广泛的应用，例如跳水运动员的跳水轨迹、篮球的抛射路线、过山车轨道等。这些图像都是抛物线形状，而抛物线正是二次函数的图像。二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$、$c$是常数，它们分别决定了抛物线的开口方向、对称轴的位置和顶点的位置。当$a>0$时，抛物线开口向上；当$a<0$时，抛物线开口向下。对称轴是垂直于顶点的直线，方程为$x=h$，其中$h$是顶点的横坐标。顶点是抛物线的最高点或最低点，记作$(h,k)$，其中$k$是函数在$h$处的值。通过这些基本特征，我们可以更好地理解二次函数图像的性质和应用。二次函数图像的基本特征开口方向对称轴顶点当$a>0$时，开口向上；当$a<0$时，开口向下。对称轴是垂直于顶点的直线，方程为$x=h$，其中$h$是顶点的横坐标。顶点是抛物线的最高点或最低点，记作$(h,k)$，其中$k$是函数在$h$处的值。二次函数图像的绘制方法列表法选择$x$的值，计算对应的$y$值，列出表格。描点连线，得到抛物线的图像。注意选择合适的$x$值，以便更准确地描绘图像。顶点法先求出顶点，再根据对称性求出其他关键点。关键点包括与$x$轴的交点、与$y$轴的交点等。通过关键点可以更准确地描绘图像。二次函数图像的实际应用修建拱桥某城市计划修建一条抛物线形的拱桥，桥的跨度为40米，拱高为5米。跳水运动员的跳水轨迹跳水运动员的跳水轨迹是抛物线形，可以通过二次函数来描述。篮球的抛射路线篮球的抛射路线是抛物线形，可以通过二次函数来描述。02第二章二次函数图像的顶点与对称轴引入：顶点的重要性顶点是二次函数图像的关键特征，它决定了抛物线的最高点或最低点。顶点的位置对二次函数的性质有重要影响。例如，当$a>0$时，顶点是抛物线的最低点；当$a<0$时，顶点是抛物线的最高点。顶点的坐标可以通过公式$h=-frac{b}{2a}$和$k=f(h)$求得，其中$h$是对称轴的横坐标，$k$是函数在$h$处的值。通过顶点的坐标，我们可以快速确定二次函数图像的位置和形状。顶点的坐标求解公式推导例题1例题2顶点的横坐标$h=-frac{b}{2a}$，来源于二次函数的导数。求函数$y=2x^2-3x+1$的顶点坐标。求函数$y=-x^2+4x-4$的顶点坐标。对称轴的性质与求解对称轴的定义对称轴的性质例题对称轴是垂直于顶点的直线，方程为$x=h$，其中$h$是顶点的横坐标。对称轴将抛物线分成两个对称的部分，即函数在对称轴两侧的值关于对称轴对称。求函数$y=5x^2-10x+7$的对称轴，并验证对称性。对称轴的实际应用建筑设计对称轴在建筑设计中用于确定建筑物的对称性，使建筑物更加美观。机械设计对称轴在机械设计中用于确定机械零件的对称性，提高机械的稳定性。物理学对称轴在物理学中用于描述物体的对称性，例如旋转对称、反射对称等。03第三章二次函数图像与坐标轴的交点引入：交点的意义二次函数图像与坐标轴的交点是重要的特征点，它们可以帮助我们更好地理解二次函数的性质。交点的数量与系数$a$、$b$、$c$的关系密切，可以通过判别式$Delta=b^2-4ac$来确定。当$Delta>0$时，抛物线与$x$轴有两个交点；当$Delta=0$时，抛物线与$x$轴有一个交点；当$Delta<0$时，抛物线与$x$轴没有交点。交点的坐标可以通过解方程$ax^2+bx+c=0$来求得。与$y$轴的交点定义例题1例题2与$y$轴的交点是$(0,c)$，其中$c$是函数的常数项。求函数$y=2x^2-3x+1$与$y$轴的交点。求函数$y=-x^2+4x-4$与$y$轴的交点。与$x$轴的交点定义判别式例题与$x$轴的交点是方程$ax^2+bx+c=0$的解，记作$(x_1,0)$和$(x_2,0)$。判别式$Delta=b^2-4ac$，$Delta>0$时有两个交点，$Delta=0$时有一个交点，$Delta<0$时没有交点。求函数$y=x^2-5x+6$与$x$轴的交点。交点的实际应用建筑设计交点在建筑设计中用于确定建筑物的对称性，使建筑物更加美观。机械设计交点在机械设计中用于确定机械零件的对称性，提高机械的稳定性。物理学交点在物理学中用于描述物体的对称性，例如旋转对称、反射对称等。04第四章二次函数图像的增减性引入：函数的单调性二次函数图像的单调性是描述函数在某个区间内递增或递减的性质。单调性对于理解函数的变化趋势至关重要。例如，当$a>0$时，抛物线开口向上，函数在对称轴左侧递减，在对称轴右侧递增；当$a<0$时，抛物线开口向下，函数在对称轴左侧递增，在对称轴右侧递减。通过研究单调性，我们可以更好地理解二次函数图像的性质和应用。单调区间的确定定义例题1例题2当$a>0$时，抛物线开口向上，函数在对称轴左侧递减，在对称轴右侧递增；当$a<0$时，抛物线开口向下，函数在对称轴左侧递增，在对称轴右侧递减。求函数$y=3x^2-6x+2$的单调区间。求函数$y=-2x^2+4x-1$的单调区间。单调性的实际应用经济学物理学工程学在经济学中，单调性用于描述商品价格与需求量之间的关系。在物理学中，单调性用于描述物体的运动速度与时间之间的关系。在工程学中，单调性用于描述材料的强度与温度之间的关系。单调性与最值的关系经济学在经济学中，单调性用于描述商品价格与需求量之间的关系。物理学在物理学中，单调性用于描述物体的运动速度与时间之间的关系。工程学在工程学中，单调性用于描述材料的强度与温度之间的关系。05第五章二次函数图像的平移与伸缩引入：图像的变换二次函数图像的平移和伸缩是描述图像位置和形状的重要方法。平移是指图像沿$x$轴或$y$轴的移动，而伸缩是指图像沿$x$轴或$y$轴的放大或缩小。通过平移和伸缩，我们可以更好地理解二次函数图像的性质和应用。图像的平移定义规则例题1平移是指图像沿$x$轴或$y$轴的移动。沿$y$轴平移：$y=ax^2+bx+c$变为$y=ax^2+bx+c+k$（上移$k$个单位，下移$k$个单位）。沿$x$轴平移：$y=ax^2+bx+c$变为$y=a(x-h)^2+k$（右移$h$个单位，左移$h$个单位）。将函数$y=x^2$向上平移2个单位，得到新函数的解析式。图像的伸缩定义规则例题2伸缩是指图像沿$x$轴或$y$轴的放大或缩小。沿$y$轴伸缩：$y=ax^2+bx+c$变为$y=k(ax^2+bx+c)$（垂直伸缩，$k>1$放大，$0<k<1$缩小）。沿$x$轴伸缩：$y=ax^2+bx+c$变为$y=aleft(frac{x}{h}_x000D_ight)^2+bx+c$（水平伸缩，$h>1$缩小，$0<h<1$放大）。将函数$y=x^2$沿$y$轴放大2倍，得到新函数的解析式。平移与伸缩的实际应用建筑设计平移与伸缩在建筑设计中用于确定建筑物的对称性，使建筑物更加美观。机械设计平移与伸缩在机械设计中用于确定机械零件的对称性，提高机械的稳定性。物理学平移与伸缩在物理学中用于描述物体的对称性，例如旋转对称、反射对称等。06第六章二次函数图像的综合应用引入：综合应用的重要性二次函数图像的综合应用是将多个知识点结合在一起解决实际问题。通过综合应用，我们可以更好地理解二次函数的性质和应用，以及如何利用二次函数解决更复杂的实际问题。综合应用的问题引入问题1问题2问题3某小球从高度为10米的平台上以初速度10米/秒水平抛出，不计空气阻力，求小球的运动轨迹。某公司生产某种产品的成本函数为$C(x)=x^2-6x+10$，收入函数为$R(x)=10x-x^2$，如何确定利润最大时的产量？某桥梁的桥拱形状为抛物线形，桥拱的跨度为40米，拱高为5米，如何确定桥拱的函数表达式？综合应用的解题步骤问题1的解题步骤问题2的解题步骤问题3的解题步骤1.建立坐标系，设拱桥的顶点为原点，水平方向为$x$轴，竖直方向为$y$轴。2.根据已知条件，求出抛物线的顶点和对称轴。3.确定函数表达式为$y=-frac{1}{40}x^2+5$。1.求函数$A=-2x^2+30x$的最大值。2.求函数$A=-2x^2+30x$的最大值，得$x=15$时面积最大。3.确定产量为15时利润最大。1.建立坐标系，设拱桥的顶点为原点，水平方向为$x$轴，竖直方向为$y$轴。2.根据已知条件，求出抛物线的顶点和对称轴。3.确定