2025年高考数学《三角函数》真题解析卷

2025年高考数学《三角函数》真题解析卷考试时间：______分钟总分：______分姓名：______注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若角α的终边经过点P(3,-4)，则sinα的值为().A.-4/5B.4/5C.-3/5D.3/52.已知cos(α+π/3)=1/2，且α为第四象限角，则sinα的值为().A.-√3/2B.√3/2C.-1/2D.1/23.若f(x)=sin(x-π/6)，则f(π/3)的值为().A.1/2B.√3/2C.-1/2D.-√3/24.下列函数中，最小正周期为π的是().A.y=sin(2x)B.y=cos(x/2)C.y=tan(3x)D.y=cot(2x)5.函数y=cos^2(x/2)-sin^2(x/2)的最小正周期是().A.πB.2πC.4πD.8π6.若sinα+cosα=√2，则sin(α+π/4)的值为().A.1B.-1C.√2/2D.-√2/27.化简sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ的结果是().A.sin(α-β)B.cos(α-β)C.sin(α+β)D.-sin(α+β)8.若f(x)=sin(2x+φ)，且f(π/4)=1，则φ的值为().A.π/4B.3π/4C.5π/4D.7π/49.函数y=3sin(2x+π/3)-1的振幅是().A.3B.1C.√7D.410.要使函数y=sin(ωx+φ)的图像向右平移π/2个单位长度后，得到函数y=sin(x)的图像，则φ必须满足().A.φ=kπ(k∈Z)B.φ=kπ+π/2(k∈Z)C.φ=kπ-π/2(k∈Z)D.φ=kπ+π(k∈Z)11.已知0<α<π/2，sinα=1/3，则cos(α/2)的值为().A.√6/3B.√3/3C.√6/6D.√3/612.下列函数中，既是奇函数又在(0,π)上单调递增的是().A.y=sin(x)B.y=cos(x)C.y=tan(x)D.y=cot(x)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。将答案填在答题卡相应位置。13.若sinα=-3/5，α为第三象限角，则cosα的值为________。14.已知函数f(x)=sin(ωx+π/4)，其图像关于y轴对称，则ω的最小正整数值为________。15.化简sin^2(x/2)-cos^2(x/2)=____________。16.解方程2sin(x-π/3)=√3，x∈[0,2π]，则方程的解集为________。三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(10分)已知cosα=-4/5，α为第三象限角，求sin(α/2)的值。18.(12分)化简：(sin(x+π/3)-cos(x-π/6))/(sin(x-π/3)+cos(x+π/6))。19.(12分)求函数y=2sin(3x-π/4)+1的最小正周期和最大值、最小值。20.(12分)已知函数f(x)=sin(2x+φ)-cos(2x)，其中sinφ=-1/2，cosφ=√3/2。(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)在区间[0,π]上的单调递增区间。21.(12分)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且cosA=1/2。(1)求sin(B+C)的值；(2)若a=1，b=√3，求边c的长度。22.(10分)已知函数f(x)=sin(x+α)+cos(x-α)，其中α为常数。(1)若f(x)的最小正周期为2π，求α的值；(2)若α=π/4，求函数f(x)在区间[-π/2,π/2]上的最大值和最小值。试卷答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.D解析：由任意角三角函数定义，sinα=y/√(x^2+y^2)=-4/√(3^2+(-4)^2)=-4/5。故选D。2.C解析：由诱导公式，cos(α+π/3)=cosαcos(π/3)-sinαsin(π/3)=1/2。因为α为第四象限角，cosα>0,sinα<0。解得cosα=1/2，sinα=-√3/2。故选C。3.B解析：f(π/3)=sin(π/3-π/6)=sin(π/6)=1/2。故选B。4.A解析：y=sin(2x)的周期为2π/|ω|=2π/2=π。故选A。5.A解析：y=cos^2(x/2)-sin^2(x/2)=cos(x)。cos(x)的最小正周期为2π。故选A。6.A解析：由sinα+cosα=√2，两边平方得1+2sinαcosα=2，即sinαcosα=1/2。又sin(α+π/4)=(sinα+cosα)/√2=√2/2*√2=1。故选A。7.A解析：sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ=sin((α+β)-β)=sinα。故选A。8.B解析：f(π/4)=sin(2*π/4+φ)=sin(π/2+φ)=1。所以π/2+φ=2kπ+π/2，φ=2kπ。由于φ的值需满足f(π/4)=1，取k=0，φ=π/4。故选B。9.A解析：函数y=Asin(ωx+φ)+B的振幅为|A|。故选A。10.C解析：函数y=sin(ωx+φ)的图像向右平移π/2个单位长度后，得到函数y=sin(ω(x-π/2)+φ)=sin(ωx+φ-ωπ/2)。要得到函数y=sin(x)，需满足φ-ωπ/2=kπ+π/2，即φ=ωπ/2+kπ+π/2。由于ω=1，φ=kπ+3π/2。故选C。11.C解析：由sinα=1/3，α为锐角，得cosα=√(1-sin^2α)=√(1-1/9)=2√2/3。利用半角公式，cos(α/2)=√((1+cosα)/2)=√((1+2√2/3)/2)=√((3+2√2)/6)=√6/6。故选C。12.A解析：y=sin(x)是奇函数，且在(0,π)上单调递增。故选A。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。将答案填在答题卡相应位置。13.4/5解析：由任意角三角函数定义，sin^2α+cos^2α=1。sinα=-3/5，α为第三象限角，cosα<0。解得cosα=-√(1-sin^2α)=-√(1-9/25)=-√(16/25)=-4/5。14.2解析：f(x)=sin(ωx+π/4)图像关于y轴对称，需满足ωx+π/4=kπ+π/2，即ωx=kπ+π/4-π/4=kπ。因此ω必须为奇数。ω的最小正整数值为2。故填2。15.-cosx解析：sin^2(x/2)-cos^2(x/2)=-(cos^2(x/2)-sin^2(x/2))=-cos(x)。16.{π/3,2π/3}解析：2sin(x-π/3)=√3。sin(x-π/3)=√3/2。x-π/3=kπ+π/3或x-π/3=kπ+2π/3。x=kπ+2π/9或x=kπ+7π/9。x∈[0,2π]，解得x=π/3,2π/3。故解集为{π/3,2π/3}。三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.解：由cosα=-4/5，α为第三象限角，得sinα=-√(1-cos^2α)=-√(1-16/25)=-√(9/25)=-3/5。利用半角公式，sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)。由于α为第三象限角，α/2为第二象限角，sin(α/2)<0。sin(α/2)=-√((1-(-4/5))/2)=-√((1+4/5)/2)=-√(9/10)=-3/√10=-3√10/10。18.解：原式=(sin(x+π/3)-cos(x-π/6))/(sin(x-π/3)+cos(x+π/6))=(sinxcosy+cosxsiny-cosxcosy-sinxsiny)/(sinxcosy-cosxsiny+cosxcosy+sinxsiny)=(2cosxsiny)/(2sinxcosy)=tany。19.解：函数y=2sin(3x-π/4)+1的最小正周期T=2π/|ω|=2π/3。当3x-π/4=2kπ+π/2，即x=kπ/3+π/12时，函数取得最大值2+1=3。当3x-π/4=2kπ-π/2，即x=kπ/3-π/12时，函数取得最小值-2+1=-1。故最小正周期为2π/3，最大值为3，最小值为-1。20.解：f(x)=sin(2x+φ)-cos(2x)=sin(2x)cosφ+cos(2x)sinφ-cos(2x)=sin(2x)cosφ+sinφcos(2x)-cos(2x)=sin(2x)cosφ+cos(2x)(sinφ-1)。已知sinφ=-1/2，cosφ=√3/2。(1)f(x)=sin(2x)√3/2+cos(2x)(-1/2-1)=√3/2sin(2x)-3/2cos(2x)。f(x)=√3/2sin(2x)-3/2cos(2x)=√3sin(2x-π/3)。最小正周期T=2π/|ω|=2π/2=π。(2)令2x-π/3∈[2kπ-π/2,2kπ+π/2]，k∈Z。解得x∈[kπ-π/12,kπ+5π/12]，k∈Z。在区间[0,π]上，单调递增区间为[0,π/12]和[5π/12,π]。21.解：在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c。(1)已知cosA=1/2，A∈(0,π)，则A=π/3。B+C=π-A=π-π/3=2π/3。sin(B+C)=sin(2π/3)=√3/2。(2)由正弦定理，a/sinA=b/sinB。1/sin(π/3)=√3/sinB。sinB=√3*1/(√3/2)=2/√3=2√3/3。由余弦定理，a^2=b^2+c^2-2bccosA。1=(√3)^2+c^2-2√3*c*(1/2)。1=3+c^2-√3c。c^2-√3c+2=0。(c-√3/2)^2=0。c=√3/2。边c的长度为√3/2。22.解：f(x)=sin(x+α)+cos(x-α)=sinxcosy+cosxsiny+cosxcosy-sinxsiny=2cosxcosy+2sinxsinycosα。(1)若f(x)的最小正周期为2π，则2cosxcosy+2sinxsin