二次函数与一元二次方程（教学设计）数学人教版九年级上册

22.2二次函数与一元二次方程（教学设计）1.教学内容本课时是人教版九年级上册教材第二十二章二次函数,22.2二次函数与一元二次方程，内容为二次函数与一元二次方程的关系。2.内容解析本节课研究二次函数与一元二次方程等其他知识的关联，从函数视角更为宏观的认识理解方程，环环相扣，提高学生综合运用知识解决数学问题的能力，掌握认识事物的一般规律。通过一元二次方程和二次函数解析式与图像两个角度认识方程是特殊的函数，函数能代表更为一般化的方程，深化函数与方程思想的认识，提升学生对函数学习的一般思路的感受与理解。从函数角度认识方程，能用函数的观点解释与求解方程的解，一方面深化学生对一元二次方程的认识，另一方面发展学生运用二次函数解决一元二次方程解（近似解）的相关问题。教学目标由一元二次方程根的情况，可以确定相应二次函数图像与轴的位置关系。（3）通过二次函数的图像观察解决一元二次方程的解（近似解）等问题。体会数形结合与函数与方程思想。2.目标解析（1）理解二次函数确定的函数值带入能够构造方程，即当点的纵坐标y确定，其横坐标即为构造的一元二次方程的根。（3）学习二次函数与一元二次方程的联系，为进一步学习、研究函数、体会数形结合、方程和函数思想奠定基础和积累经验。学生已经学习了二次函数的图象和性质，通过二次函数的图像观察解决一元二次方程的解（近似解）等问题，理解二次函数当确定函数值求自变量，可以看作解一元二次方程的过程。体会数形结合与函数与方程思想。带领学生通过基本研究思路与方法进行探究式学习，体会从特殊到一般，数形结合、函数的思想，逐步提高分析问题，解决问题的能力。基于以上分析，确定本节课的教学难点为：理解二次函数当确定函数值求自变量，可以看作解一元二次方程的过程。创设情景，引入新课1与2可以看作一次函数上点的纵坐标，那么点的横坐标即为方程的解；我们可以将等号左右两边看作两个函数，相等说明函数值一样的情况，即方程的根为一次函数与常函数联立，交点的横坐标即为方程的根。（设计意图：找到研究新问题的类比源，通过回顾一次函数与一元一次方程的学习过程，为本节课的探究明确研究路径。）问题：今天我们共同学习二次函数与一元二次方程的关系，你能说说我们该如何展开研究吗？教师引导类比一次函数与一元一次方程的研究过程，根据实际问题给出的函数解析式，通过画出图像、观察位置、取点定解得到二次函数与一元二次方程的关系。（设计意图：教师引领学生搭建研究框架，将未知转化为已知，为后面的学习做好铺垫。）探究点1利用函数图象求一元二次方程的解问题如图22.21，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间r(单位：s)之间具有函数关系h＝20t－5t2.考虑以下问题：（1）小球的飞行高度能否达到15m?如果能，需要多少飞行时间?将h=15代入解析式可得：15＝20t－5t2，t2－4t＋3＝0，t1＝1，t2＝3．

当小球飞行1s和3s时，它的飞行高度为15m．学生在函数图像上标出两点，观察其位置关系，在同一条直线上。引导学生用自己的语言说明两点的轴对称性。方程的解可以看作常函数y=15与二次函数y＝20t－5t2图像求交点的问题。（2）小球的飞行高度能否达到20m?如果能，需要多少飞行时间?（3）小球的飞行高度能否达到20.5m?为什么?问题（2）示意图问题（3）示意图师生活动：类比上述过程，学生在函数图像上标出两点，观察二次函数图像与常函数交点的情况，鼓励学生用自己的语言说出自己的发现。（4）小球从飞出到落地要用多少时间?落地说明此时h=0，代入解析式可得：0＝20t－5t2，t2－4t＝0，t1＝0，t2＝4．当小球飞行0s和4s时，它的高度为0m．这表明小球从飞行到落地要用4s．从上图来看，0s时小球从地面飞出，4s时小球落回地面．解方程的过程就是求二次函数解析式与x轴交点的过程。

归纳总结：通过上面的四个问题，我们可以发现对于二次函数y＝20t－5t2中，已知h的值求时间t，其实就是把h换成常数，求一元二次方程的解；反过来，一元二次方程的解我们也可以看作求二次函数和常函数交点的问题。当小球飞行1s和3s时，它的飞行高度为15m.当小球飞行2s时，它的飞行高度为20m.(4)小球的飞出时和落地时的高度都是0m，解方程当小球飞行0s和4s时，它的高度为0m.这表明小球从飞出到落地要用4s.从图22.21来看，0s时小球从地面飞出，4s时小球落回地面.典例分析【分析】本题主要考查二次函数的应用，理解二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．根据抛物线与轴的交点得出球落点的水平距离．球落点的水平距离是5米．（设计意图：利用二次函数图像理解一元二次方程的根不同的情况与二次函数图像的对应关系。）追问1：下列二次函数的图象与轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？追问2：上述三个二次函数中，当取公共点的横坐标时，函数值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？当取公共点的横坐标时，函数值是0；能，相应的一元二次方程的根为取公共点的横坐标。归纳：典例分析(2)求证：不论为何值，该函数图像与轴没有公共点．【分析】此题考查了二次函数的性质，二次函数与x轴的交点问题，熟练掌握判别式与函数图像与轴交点的关系是解题的关键．∴不论为何值，该函数图像与轴没有公共点．（设计意图：理解一元二次方程的根不同的情况与二次函数图像的对应关系。）探究点3利用二次函数图象求一元二次方程的近似解由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根，由于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根，一般是近似的。讨论你能求出更准确的近似根?我们还可以通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根.我们可以通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围.例如，取2、3的平均数2.5，用计算器算得自变量为2.5时的函数值为一0.75，与自变量为3时的函数值异号，所以这个根在2.5，3之间.再取2.5，3的平均数2.75，用计算器算得自变量为2.75时的函数值为0.0625，与自变量为2.5时的函数值异号，所以这个根在2.5，2.75之间.典例分析(2)在右图中画出二次函数C的图象；【分析】本题主要考查了把抛物线解析式化为顶点式，画抛物线函数图象，抛物线与不等式之间的关系，利用数形结合的思想求解是解题的关键．（1）利用配方法把抛物线解析式化为顶点式即可；（2）先列表，然后描点，最后连线画出函数图象即可；（3）（4）利用图象法求解即可．（2）解：如图所示，即为所求；列表如下：…01234……3003…（设计意图：利用二次函数图像理解与一元二次方程的对应关系。）x…01234…y…4414…(1)请直接写出该抛物线的对称轴：___________________________；(2)请直接写出抛物线的解析式_______________________________________；【分析】本题考查了二次函数的图象及性质、待定系数法、二次函数与不等式，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．（1）根据表格得对称轴，即可得顶点坐标；（2）将抛物线的解析式变为顶点式，利用待定系数法即可；∵该抛物线的开口向上，(设计意图：拓展数形结合理解二次函数和方程、不等式的关系)习题22.2第1、2题答案：1.（1）图象略，（2）3、1.2.图象略，（1）2、1，(2)3.（设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略）1．（2025.江苏连云港）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线y＝a（x﹣3）2+2.5运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度OA为1.6m，则铅球掷出的水平距离OB为m．【解答】解：由题意，OA＝1.6m，得A（0，1.6），将A（0，1.6）代入y＝a（x3）2+2.5，得：1.6＝a（03）2+2.5，解得：a=−1∴y=−1令y＝0，得−1解得：x1＝8，x2＝2，∴OB为8m，故答案为：8．

（设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提