第18讲等比数列的前n项和与数学归纳法（知识清单4题型讲解练强化训练）

第18讲等比数列的前n项和与数学归纳法知识清单知识点01：等比数列的前n项和 1知识点02：等比数列前n项和的性质 2知识点03：等比数列中的片段和性质 2知识点04：数学归纳法 3TOC\o"13"\h\z\u题型归纳题型01求等比数列前n项和 3题型02等比数列前n项和的基本量计算 5题型03等比数列片段和性质及应用 8题型04数学归纳法 10强化训练 14知识点01：等比数列的前n项和1.等比数列前n项和公式已知量首项、公比与项数首项、末项与公比求和公式Sn=aSn=a2.等比数列前n项和公式的函数特征(1)当q=1时，Sn=na1，Sn是关于n的一次函数.(2)当公比q>0且q≠1时，等比数列的前n项和公式Sn=a1(1−qn)1−q可以变形为Sn=a11−q·qn+a11−q，设A=a3.等比数列前n项和运算的技巧(1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答．(2)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如qn，eq\f(a1,1－q)都可看作一个整体．(3)在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．知识点02：等比数列前n项和的性质已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，则利用等比数列的通项公式及其前n项和公式可推得Sn有如下性质：(1)Sn+m=Sm+qmSn=Sn+qnSm，m，n∈N*.(2)当q≠1或q=1且k为奇数时，Sk，S2kSk，S3kS2k，…是等比数列.(3)设S偶与S奇分别是偶数项的和与奇数项的和.①在其前2n项中，eq\f(S偶,S奇)＝q；②在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝eq\f(a1＋a2n＋1q,1－－q)＝eq\f(a1＋a2n＋2,1＋q)(q≠－1)；S奇＝a1＋qS偶．(4)当q=1时，SnSm=nm；当q≠±1时，知识点03：等比数列中的片段和性质1．若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)．2．数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列．注意点：等比数列片段和性质的成立是有条件的，即Sn≠0.知识点04：数学归纳法1.一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立；(2)(归纳递推)以“当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当n＝k＋1时命题也成立”．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法．注意点：初始值n0选择不一定是1，要结合题意恰当的选择．2.用数学归纳法证明等式的策略应用数学归纳法证明等式时需要确定两个式子的结构，即(1)当n＝n0时，等式的结构．(2)当n＝k到n＝k＋1时，两个式子的结构：n＝k＋1时的代数式比n＝k时的代数式增加(或减少)的项．这时一定要弄清三点：①代数式从哪一项(哪一个数)开始，即第一项．②代数式相邻两项之间的变化规律．③代数式中最后一项(最后一个数)与n的关系．题型01求等比数列前n项和 A．15 B．31 C．63 D．127【答案】B故选：BA．63 B．127 C．255 D．256【答案】C故选：C【答案】BC代入C，D选项验证，C正确；故选：BC【答案】84故答案为：84题型02等比数列前n项和的基本量计算 A．0 B．3 C． D．12【答案】D故选：D.A．1 B． C．1或2 D．1或【答案】D故选：DA． B． C．1或 D．或【答案】B故选：B.A． B． C． D．【答案】C【详解】在等比数列中，设首项为，故选：C【答案】故答案为：.【答案】故答案为:.题型03等比数列片段和性质及应用A．24 B．48 C．39 D．36【答案】C故选：C【答案】50故答案为:50.A． B． C． D．【答案】C故选：C.【答案】210故答案为：210【答案】14故答案为： 题型04数学归纳法 A．1348 B．675 C．1349 D．1350【答案】C故选：C【答案】BCD【知识点】裂项相消法求和、数学归纳法、数列不等式恒成立问题、利用等比数列的通项公式求数列中的项故选：BCD【答案】故答案为：.(1)试确定实数的值，使得数列为等差数列；一、单选题A．85 B．62 C．32 D．31【答案】B故选：BA．是递增数列 B．是递减数列C．一定有最大值 D．一定有最小值【答案】D【分析】根据给定条件，可得等比数列的公比的范围，再按的正负逐项判断得解.【点睛】关键点点睛：选项D，按公比的正负探讨是求解的关键.3．（2526高二上·江苏苏州·阶段练习）李华从2015年起，每年10月1日到银行存入a元，若年利率为r，按复利计算，到期自动转存，那么2025年10月1日将前面的存款全部取出，可得本利和为（

）【答案】D【分析】把问题转化为等比数列的前项和求解.……故选：D【答案】D故选：D.A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C【分析】根据数列前项和与的关系，可得；同理前项和与的关系可得，则可得，判断其单调性，即可求得使得值不超过2025的项的个数.故使得值不超过2025的项的个数为10.故选：C.【答案】D所以数列是首项为，公比为的等比数列.故选：D.A．21 B．38 C．42 D．43【答案】D【分析】利用分组求和列出关于和的不等式，求出其解后可得的最小值不合题意，舍；故选：D二、多选题【答案】BC【分析】根据数列的通项公式逐项计算判断可得答案.故选：BC.【答案】AD故选：AD．10．（2526高二上·江苏苏州·阶段练习）关于等差数列和等比数列，下列说法正确的是（

）【答案】AB故选：AB.三、填空题【详解】设数列的公比为q，故答案为：【答案】故答案为：6；15660.【分析】根据题意易得数列的奇数项和偶数项都是以1为首项，2为公比的等比数列，再利用分组求和法即可得出答案.所以数列的奇数项是以1为首项，2为公比的等比数列，所以数列的偶数项也是以1为首项，2为公比的等比数列，【分析】将每个矩形的面积表示为等比数列的项，通过求和公式计算总和四、解答题【答案】(1)【分析】（1）利用等差数列通项公式求解即可；（2）利用分组求和，再利用等差数列、等比数列求和公式求和即可.(2)证明见解析【分析】（1）根据已知条件化简，再应用等比数列定义计算证明，最后应用等比数列的通项公式计算求解；（2）应用不等式关系及等比数列求和公式计算证明.20．（2526高二上·江苏苏州·阶段练习）某区域市场中5G智能终端产品的制造全部由甲、乙两公司提供技术支持．据市场调研，5G商用初期，该区域市场中采用甲公司与乙公司技术的智能终端产品各占一半，假设两公司的技术更新周期一致，且随着技术优势的体现，每次技术更新后，上一周期采用乙公司技术的产品中有15转而采用甲公司技术，采用甲公司技术的产品中有10转而采用乙公司技术．设第次技术更新后，该区域市场中采用甲公司与乙公司技术的智能终端产品占比分别为和，不考虑其他因素的影响．(2)经过若干次技