高考数学一轮复习讲义-直线平面垂直关系的判定与性质

直线、平面垂直关系的判定与性质课前必备知识课标要求1.了解空间直线与直线、直线与平面垂直，平面与平面垂直的定义.2.掌握空间直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质定理，能正确运用判定与性质定理论证空间直线与平面、平面与平面垂直关系．知识梳理1．直线与平面垂直的判定(1)利用定义：如果一条直线和一个平面内的__任意一条直线__都垂直，那么该直线与这个平面互相垂直．(2)判定定理：如果一条直线与一个平面内的__两条相交直线__垂直，那么该直线与平面垂直．用符号语言表示为：m⊂α，n⊂α，__m∩n＝P__，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α.2．直线与平面垂直的性质(1)由直线和平面垂直的定义知：若一条直线垂直于平面α，则这条直线垂直于平面α内的__任意一条__直线．(2)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线__平行__．用符号语言表示为：a⊥α，b⊥α⇒__a∥b__．3．两平面垂直的判定(1)利用定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角为__90°__，就说这两个平面互相垂直．(2)判定定理：如果一个平面过另一个平面的__垂线__，那么这两个平面垂直．4．两平面垂直的性质两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的__交线__，那么这条直线与另一个平面__垂直__．用符号语言表示为：若α⊥β，α∩β＝a，b⊥a，b⊂β，则__b⊥α__．常用结论1．若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．2．若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)．3．垂直于同一条直线的两个平面平行．4．一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直．课前训练1．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是()A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥mD．若l∥α，m∥α，则l∥m2．(多选)下列命题正确的是()A．如果一条直线和一个平面内的两条直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面B．如果一条直线和一个平面内的无数条直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面C．如果一条直线和平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面D．如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面3．如图，在斜三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部4．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列说法，其中正确的是()A．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥βB．若m∥α，m⊥β，则α⊥βC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥β5．(教材母题必修8.6.3练习T3)如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，则以此三棱锥的棱为边所构成的三角形中，直角三角形的个数为________．

课堂核心考点考点1线面垂直的判定与性质【例1】如图，在四棱锥P­ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，∠BAD＝90°，CD＝PD＝eq\r(2)，AB＝2PA＝4，E是PA的中点．(1)求证：DE⊥平面PAB.(2)求三棱锥E­PBC的体积．(1)证明线面垂直的基本方法是利用判定定理，即证明一条直线与平面内的两条相交直线垂直．(2)证明线线垂直时，要注意如下几个方面：①注意特殊几何体中的垂直关系的利用(如正方体、正棱柱、直棱柱等)．②要注意充分利用平面几何的知识，挖掘题中隐含的垂直关系，如正方形、菱形的对角线垂直；等腰三角形底边上的高、中线和顶角平分线垂直底边；直径所对的圆周角为90°等．③利用计算的方法证明垂直，如给出线段长度，计算满足勾股定理、证明角等于90°等．④利用已知垂直关系证明线线垂直，其中要特别重视直线与平面垂直的性质和两平面垂直的性质定理.变式探究1．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB⊥BC，且AB＝BC＝AA1＝2，D为线段BC上的动点．(1)证明：AB1⊥A1D.(2)判断点D到平面AB1C1的距离是否为定值．若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由．考点2面面垂直的判定与性质【例2】如图，已知三棱锥P­ABC，PA⊥平面ABC，△PAC是以PC为斜边的等腰直角三角形，△ABC是以AC为斜边的直角三角形，F为PC上一点，E为PB上一点，且AE⊥PB.(1)现给出两个条件：①EF⊥PC；②F为PC的中点．从中任意选一个条件为已知条件，求证：平面PBC⊥平面AEF.(2)若PC⊥平面AEF，直线AC与平面AEF所成角和直线AC与平面PAB所成角相等，且PA＝2，求三棱锥P­ABC的体积．(1)证明两平面垂直的基本方法是利用平面与平面垂直的判定定理，即证其中一个平面经过另一个平面的垂线．(2)证明线线垂直时，要充分利用平面几何中的垂直关系及利用计算进行证明的方法，同时要注意线面垂直、面面垂直的性质的应用．(3)空间垂直关系之间的转化是立体几何中证明垂直关系的常用思路，三种垂直关系的转化可结合下面的框图进行记忆．eq\x(线线垂直)eq\o(⥬,\s\up20(判定),\s\do20(性质))eq\x(线面垂直)eq\o(⥬,\s\up20(判定),\s\do20(性质))eq\x(面面垂直)变式探究2．(2025·四川成都期末)如图，四棱锥P­ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，BC＝2CD＝2AD＝2eq\r(2)，平面ABCD⊥平面PAC.(1)证明：PC⊥AB.(2)若PA＝PC＝eq\f(\r(5),2)AC，M是PA的中点，求三棱锥C­PBM的体积．考点3线面垂直、面面垂直的综合应用【例3】如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是边长为a的菱形，其中∠DAB＝60°.侧面△PAD为正三角形，且其所在平面垂直于底面ABCD.(1)求证：AD⊥PB.(2)若E为BC边的中点，则在棱PC上是否存在点F，使得平面DEF⊥平面ABCD？若存在，请指出并证明；若不存在，请说明理由．变式探究3．已知四棱柱ABCD­A1