函数的概念与性质幂函数讲义

函数的概念与性质：幂函数讲义考点目录幂函数的定义与解析式幂函数的定义域与值域常见五种幂函数的图像与性质幂函数的性质利用幂函数的性质比较大小幂函数的定点问题对勾函数考点一考点一幂函数的定义与解析式【知识点解析】2.幂函数的特征：①的系数为“”；②的底数是自变量；③的指数为常数.只有同时满足这三个条件，才是幂函数.【例题分析】例1．（2425高一上·广东广州·阶段练习）下列函数中是幂函数的是（

）A．①③⑤ B．①②⑤ C．③⑤ D．只有⑤【答案】C故选：C.A． B．3 C．6 D．9【答案】D故选：A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A故选：AA． B．1 C．4 D．8【答案】C故选：C变式1．（2425高一上·福建厦门·阶段练习）下面的函数中是幂函数的有（

）A．①⑤ B．①②③ C．②④ D．②③⑤【答案】C【详解】由幂函数定义可知，②④是幂函数，故选：C.A．3 B． C． D．【答案】C故选：CA． B． C．2 D．2或【答案】C故选：C.A．0 B．2 C．3 D．2或3【答案】C故选：C

考点二考点二幂函数的定义域与值域【知识点解析】1.根据幂函数的解析式，可以将分数指数幂化成根式形式，依据根式有意义求定义域，再根据定义域来求幂函数的值域.2.具象函数的定义域：当函数是由解析式给出时，求函数的定义域就是求使解析式有意义的自变量的取值集合，一般方法有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；④当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合.【例题分析】【答案】C故选：C.【答案】D故选：D【答案】故答案为:D．函数是偶函数【答案】C故选：C.【答案】3故定义域为的有①③⑥，共3个，故答案为：3．

考点三考点三常见五种幂函数的图像与性质【知识点解析】常见幂函数的图象与性质幂函数图像定义域值域奇偶性单调性定点【例题分析】【答案】ABD故选：ABD.【答案】BCD故选：BCD【答案】ABC故选：ABC【答案】ABD故选：ABD【答案】AB故选：ABA．偶函数 B．奇函数【答案】BC故选：BC.

考点四考点四幂函数的性质【知识点解析】(1)一般幂函数的图象：③当为其他值时，相应幂函数的图象如下表：(2)一般幂函数的性质：通过分析幂函数的图象特征，可以得到幂函数的以下性质：①所有的幂函数在(0,+)上都有定义，并且图象都过点.④任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限.⑤任何两个幂函数的图象最多有三个公共点.除(1,1)，(0,0)，(1,1)，(1,1)外，其他任何一点都不是两个幂函数的公共点.【例题分析】(1)求实数的值；(1)求；【答案】(1)(2)证明见解析(1)求的值；(1)求的值；证明如下：

考点五考点五利用幂函数的性质比较大小【知识点解析】1.利用幂函数比较大小（1）直接法：当幂指数相同时，可直接利用幂函数的单调性来比较.（2）转化法：当幂指数不同时，可以先转化为相同幂指数，再运用单调性比较大小.（3）中间量法：当底数不同且幂指数也不同时，不能运用单调性比较大小，可选取适当的中间值，从而达到比较大小的目的.2.利用幂函数解不等式利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量或幂指数的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题.求解步骤如下:（1）确定可以利用的幂函数；（2）借助相应的幂函数的单调性、奇偶性，将不等式的大小关系转化为自变量或幂指数的大小关系；（3）解不等式(组)求参数范围，注意分类讨论思想的应用.【例题分析】考向一利用幂函数比较大小A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件【答案】C故选：CA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C故选：C.例3．（2425高一上·浙江温州·期中）（填“＞”或“＝”或“＜”）【答案】＞故答案为：．【答案】C故选：C.【答案】故答案为：【答案】故答案为：.考向二利用幂函数解不等式【答案】C故选：C.【答案】B故选：B.【答案】C故选：C.

考点六考点六幂函数的定点问题【知识点解析】2.处理定值问题的两个常见思路：(1)若底数不变，令指数为0；(2)若指数不变，令底数为1.【例题分析】【答案】B故选：B.【答案】B故选：B【答案】(1,2)

考点七考点七对勾函数【知识点解析】2.图像与性质解析式、分类图像定义域值域奇偶性单调性拐点【例题分析】【答案】(1)证明见解析；(2)4；(3)不存在，理由见解析.所以实数m的最大值为4.(2)答案见解析(3)1(1)求a．【答案】(1)(2)证明见解析(3)最大值为和最小值为【答案】(1)证明见解析函数的图象如图：

课后提升训练课后提升训练【答案】B故选：B.A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A故选：A.【答案】D故选：D.A．

B．

C．

D．

【答案】B图象关于轴对称，排除C．故选：B．A．充分不必要条件 B．必