2026年1月辽宁省普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷02（全解全析）

1/22026年1月辽宁省普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟试卷02考试时间：90分钟满分：100分一、选择题（本大题共12题，每小题3分，共计36分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）1．已知z1+2i=i7A．2 B．1 C．－1 D．－2【答案】A【分析】根据复数的乘方，乘法运算及实部的定义求解即可.【详解】由题意得i7所以z=1+2所以复数z的实部为2.故选：A.2．已知集合A={x∣−1≤x<5},B=0,5，则A∩B=（

A．∅ B．0 C．0,5 D．{x∣−1≤x<5}【答案】B【分析】由交集的定义求解即可.【详解】因为A={x∣−1≤x<5},B=0,5则A∩B=0.故选：B.3．设a,b∈R，则“a>b”是“a>b”的（A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据不等式性质可推断a≥a>b【详解】因为a≥a，由a>b，根据传递性可知a因此“a>b”能推出“a>b不妨取a=−2,b=1，满足a>b，但a>b所以“a>b”是“a>b故选：A4．已知函数fx=log2x，当x∈A．0,1 B．1,2 C．2,4 D．4,16【答案】B【分析】利用对数函数的单调性即可求得函数的值域【详解】因函数fx=log故log22<log故fx的取值范围是1,2故选：B.5．某校学生到校办工厂制作球体教具.若该球的半径为5 cm，则这个球的表面积为（

A．10πcm2 B．50πcm2 C．【答案】C【分析】利用球的表面积公式求解.【详解】依题意，球的表面积为4π⋅5故选：C6．不等式12−xx−A．x13<x<C．xx<13 D．【答案】A【分析】直接解一元二次不等式即可求解.【详解】不等式12−xx−13故选：A.7．已知角α的终边过点P(−1,3)，则cosαA．12 B．−12 C．3【答案】B【分析】利用三角函数的定义求解.【详解】因为角α的终边经过点P(−1,3所以cosθ=故选：B8．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列选项是正确的是（

）A．若m⊥n,n//α，则m⊥α B．若mC．若m⊥β,n⊥β,n⊥α，则m⊥α D．若m⊥n,n⊥β,β⊥α，则m⊥α.【答案】C【分析】由线面的位置关系考虑所有可能情况判断ABD，由直线垂直平面的性质定理及判定推理判断C.【详解】对于ABD选项，满足条件的直线m均可能与平面α平行、垂直、斜交或在平面α内，故ABD错误；对于C选项，由m⊥β,n⊥β，可得m//n，又n⊥α，则故选：C9．函数fx=2x+2A．1,2 B．2,3 C．3,4 D．4,5【答案】D【分析】先判断函数的单调性，再由f4【详解】因为y=2x,y=2所以函数fx=2x+2且f4=8+16−30=−6<0，所以函数fx=2x+2故选：D.10．函数fx=2A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为2π的奇函数 D．最小正周期为2【答案】A【分析】先利用诱导公式化简函数fx【详解】因为fx=2所以T=2π2所以fx是最小正周期为π故选：A11．2023年杭州亚运会的三个吉祥物分别是“琮琮”“莲莲”“宸宸”．“琮琮”代表世界遗产良渚古城遗址；“莲莲”代表世界遗产杭州西湖；“宸宸”代表世界遗产京杭大运河．某中学学生会宣传部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机抽取2名负责吉祥物的宣传工作，则这2名学生来自不同年级的概率为（

）A．19 B．29 C．13【答案】D【分析】算出基本事件的总数、随机事件中的基本事件的个数后可求概率.【详解】设A为“2名学生来自不同年级”，则总的基本事件的个数为C4A中基本事件的个数为2×2=4，故PA故选：D.12．设函数fx=ln1+x−1A．13,1 C．−13,【答案】B【分析】先确定函数的定义域、奇偶性和单调性，应用函数的奇偶性和单调性解之即可.【详解】因为函数fx=lnf−x=ln当x∈0,+∞时，由复合函数的单调性可知由偶函数性质可知，函数fx在−所以fx<f2x−1进而等价于x<2x−1，即所以3x2−4x+1>0，解之可得x<故选：B.二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共计12分）13．已知向量a,b满足a=2,b=1，a,【答案】21【分析】根据向量的模长公式直接代入求解即可.【详解】2a故答案为：21.14．某服装加工厂为了适应市场需求，引进某种新设备，以提高生产效率和降低生产成本．已知购买x台设备的总成本为fx=1【答案】400【分析】由fx【详解】每台设备的平均成本fx当且仅当x200=800故答案为：400.【点睛】方法点睛：均值不等式常用结论1、如果a>0，b>0，则a+b≥2ab，当且仅当a=b推论：ab≤a+b222、如果a,b∈R，那么a2+推论：ab≤a2+3、21a15．214【答案】1【分析】根据指数幂和对数的运算法则计算得到答案.【详解】21故答案为：116．人们用分贝（dB）来划分声音的等级，声音的等级d(x)（单位：dB）与声音强度x（单位：Wm2）满足d(x)=10⋅lgx10−12．一般两人正常交谈时，声音的等级约为60 dB，燃放烟花爆竹时声音的等级约为150 dB【答案】9【分析】根据给定函数模型，代入列式计算得解.【详解】依题意，d(a)=10⋅lga10−12=60d(b)=10⋅lgb10−12=150所以lgb故答案为：9三、解答题（本题共5小题，共52分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17．（10分）已知向量a=(sinx,1)(1)当x=π2时，求向量(2)若a∥b，求实数(3)求f(x)=a【答案】(1)(1,2)(2)x=kπ+(3)f(x)max【分析】（1）由特殊角三角函数的计算和平面向量加法的坐标运算可得结果；（2）由向量平行的坐标关系列式求解；（3）先根据向量数量积的坐标公式化简函数，再根据二倍角公式化简，最后根据正弦函数性质可得最值.【详解】（1）当x=π2时，a=(则a+（2）若a∥b，则sinx×1−1×所以x=kπ+π（3）因为a=(sinx,1)所以f(x)=a因为−1≤sin所以当sin2x=1时，f(x)取得最大值，f当sin2x=−1时，f(x)取得最小值，f18．（10分）已知函数fx(1)求fx(2)求fx在区间0,【答案】(1)2(2)2【分析】（1）利用最小正周期公式求得；（2）令θ=x+π8，由x∈0,π8【详解】（1）T=2故fx的最小正周期为2（2）令θ=x+π8，由θ∈π又因为函数y=sinθ在所以fx19．（10分）在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，边长为1，

(1)求D1(2)证明：D1【答案】(1)3(2)证明见解析【分析】（1）利用棱锥体积公式直接计算；（2）先证AC⊥平面BDD1，从而可得【详解】（1）根据直棱柱的性质，DD1⊥所以高ℎ=DDS△DOCVD（2）如图，连接OB，BD

根据直棱柱的性质，DD1⊥平面ABCD，AC⊂所以DD因为底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD．因为BD，DD1⊂平面BD所以AC⊥平面BDD又D1O⊂平面BDD20．（10分）近年来，我国超重和肥胖率呈快速上升趋势，儿童和青少年的肥胖问题尤为突出.超重和肥胖与多种慢性疾病密切相关，严重威胁公共健康.青少年时期是培养健康饮食和运动习惯的关键阶段，早期干预能够有效预防肥胖问题.今年“两会”期间，国家卫健委宣布从2025年起实施“体重管理年”三年计划，旨在通过系统性措施改善青少年健康状况，降低肥胖率.体重指数（BMI）=体重（kg）/身高m2，青少年的BMI理想范围参考值为：男生（15-18岁）：17.5-23.5；女生（15-18岁）：17.5-23.0；某城市对1000名高中生的体重指数（BMI）进行了调查，BMI的分组区间为14,16、16,18、18,20、20,22、22,24、24,26、26,28

(1)求频率分布直方图中x的值及高中生BMI的平均数及中位数；(2)在BMI为20,22、22,24、24,26的三组学生中，用分层抽样的方法抽取10名学生，则BMI在22,24的学生中应抽取多少名？(3)在（2）条件下，在BMI为22,24和24,26的两组学生中任取2名学生，求这2名学生来自同一组学生的概率.【答案】(1)x=0.075；平均数20.62；中位数20.4(2)3(3)2【分析】（1）由频率分布直方图面积和为1即可得到x，再由平均数以及中位数的计算公式代入计算，即可得到结果；（2）由分层抽样的公式代入计算，即可得到结果；（3）由古典概型的概率公式代入计算，即可得到结果.【详解】（1）由频率分布直方图面积和为1可得0.01+0.025+0.1+0.125+x+0.05+0.115×2=1解得x=0.075，高中生BMI的平均数为15×0.02+17×0.2+19×0.23+21×0.25+23×0.15+25×0.1+27×0.05=20.62，因为前三组的频率之和为0.02+0.2+0.23=0.45，所以中位数在20,22组，设中位数为20+t，则0.45+0.125×2×t2=0.5所以中位数为20+0.4=20.4.（2）20,22、22,24、24,26的频率之比为0.25:0.15:0.1=5:3:2，共抽10名，则22,24的学生中应抽取10×3（3）由（2）可知，22,24抽3人，设3人分别为A则24,26抽取10×210=2设事件C表示抽取的2名学生来自同一组学生，总情况数有AA22名学生来自同一组学生的情况由A1则PC21．（12分）已知函数fx=log(1)当a=2时，①若f1=f−1②当b=1时，用定义证明函数fx是R(2)若fx为偶函数，且12b+a>3【答案】(1)①b=1(2)