2024-2025学年上海市浦东新区长岛中学九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2024-2025学年上海市浦东新区长岛中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）.1．（4分）“相似的图形”是A．形状相同的图形 B．大小不相同的图形 C．能够重合的图形 D．大小相同的图形2．（4分）在△中，，，，那么的正弦值是A． B． C． D．3．（4分）已知非零向量与，那么下列说法正确的是A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么4．（4分）如图，下列能判断的条件是A． B． C． D．5．（4分）如图，在四边形中，如果，那么下列条件中不能判定△和△相似的是A． B．是的平分线 C． D．6．（4分）如图，△的两条中线、交于点，且，联结并延长与交于点，如果，，那么下列结论不正确的是A． B． C． D．二、填空题（共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）如果地图上、两处的图距是，表示这两地实际的距离是，那么实际距离是的两地在地图上的图距是．8．（4分）已知线段，，如果线段是、的比例中项，那么．9．（4分）已知，那么的值为．10．（4分）计算：．11．（4分）已知点是线段的黄金分割点，，则．12．（4分）边长为2的等边三角形的重心到边的距离是．13．（4分）已知两个相似三角形的面积之比是，那么这两个三角形的周长之比是．14．（4分）已知在△中，，，，那么．15．（4分）如图，在中，点在边上，联结，交对角线于点．如果，那么．16．（4分）如图，已知，它们依次交直线、于点、、和点、、．如果，，那么的值是．17．（4分）如图，在梯形中，，与交于点，，点在的延长线上，如果，那么．18．（4分）如图，在△中，，，，是的中点，点在边上，将△沿翻折，使得点落在点处，当时，．三、简答题：（本大题共4题，每题10分，共40分）19．（10分）计算：．20．（10分）如图，在△中，点、分别是边、的中点．设，．（1）填空：向量（用向量，的式子表示）．（2）在图中作出向量在向量，方向上的分向量（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）．21．（10分）如图，已知，和相交于点，交于，，．（1）求的长；（2）如果△的面积为4，求△的面积．22．（10分）设，是锐角△的两条高，连接．（1）求证：△△；（2）若，，求．四、解答题：（本大题共3题，23、24题每题12分，25题14分，共38分）23．（12分）已知：如图，在四边形中，，对角线、交于点，点在边上，连接交线段于点，．（1）求证：；（2）连接，求证：．24．（12分）已知：如图，第一象限内的点，在反比例函数的图象上，点在轴上，轴，点的坐标为，且求：（1）反比例函数的解析式；（2）点的坐标；（3）的余弦值．25．（14分）如图，已知平行四边形中，，，，点在射线上，过点作，垂足为点，交射线于点，交射线于点，连接、，设．（1）当点在边上时，①求△的面积；（用含的代数式表示）②当时，求的值；（2）当点在边的延长线上时，如果△与△相似，求的值．

参考答案一．选择题（共6小题）题号123456答案ADDCCB一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）.1．（4分）“相似的图形”是A．形状相同的图形 B．大小不相同的图形 C．能够重合的图形 D．大小相同的图形解：相似图形是形状相同的图形，大小可以相同，也可以不同，故选：．2．（4分）在△中，，，，那么的正弦值是A． B． C． D．解：，，，，故选：．3．（4分）已知非零向量与，那么下列说法正确的是A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么解：、如果，与的大小相等，与的方向不一向相同，故错误；、如果，与的大小相等，与不一定平行，故错误；、如果，与的大小不应定相等，故错误；、如果，那么，故正确；故选：．4．（4分）如图，下列能判断的条件是A． B． C． D．解：，；故选：．5．（4分）如图，在四边形中，如果，那么下列条件中不能判定△和△相似的是A． B．是的平分线 C． D．解：在△和△中，，如果△△，需满足的条件有：①或是的平分线；②；故选：．6．（4分）如图，△的两条中线、交于点，且，联结并延长与交于点，如果，，那么下列结论不正确的是A． B． C． D．解：△的两条中线、交于点，点是△的重心，，，，，，正确；，，错误；，是的中点，，，正确；，正确，故选：．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）如果地图上、两处的图距是，表示这两地实际的距离是，那么实际距离是的两地在地图上的图距是10．解：设这个图距是，地图上、两处的图距是，表示这两地实际的距离是，实际距离是，，解得，故答案为：10．8．（4分）已知线段，，如果线段是、的比例中项，那么6．解：若是、的比例中项，即．则．故答案为：6．9．（4分）已知，那么的值为．解：根据比的性质，，，所以的值为．故答案为：．10．（4分）计算：．解：原式，，，故答案为：．11．（4分）已知点是线段的黄金分割点，，则．解：由黄金分割的性质可得：，，，，，故答案为：．12．（4分）边长为2的等边三角形的重心到边的距离是．解：如图，△为等边三角形，过作，交于点，则，，在△中，由勾股定理可得：，则重心到边的距离是为：，故答案为：．13．（4分）已知两个相似三角形的面积之比是，那么这两个三角形的周长之比是．解：两个相似三角形的面积比是，这两个相似三角形的相似比是，它们的周长比是．故答案为：．14．（4分）已知在△中，，，，那么9．解：，，故答案为：915．（4分）如图，在中，点在边上，联结，交对角线于点．如果，那么2．解：由题意，，，，，△△，．，，．故答案为：2．16．（4分）如图，已知，它们依次交直线、于点、、和点、、．如果，，那么的值是．解：，，又，，，的值是．故答案为：．17．（4分）如图，在梯形中，，与交于点，，点在的延长线上，如果，那么．解：在梯形中，，与交于点，，△△，，，，，，故答案为：．18．（4分）如图，在△中，，，，是的中点，点在边上，将△沿翻折，使得点落在点处，当时，．解：时，则，如图，，，，，是的中点，，由折叠性质可知：，，，，，，，在，，，故答案为：．三、简答题：（本大题共4题，每题10分，共40分）19．（10分）计算：．解：．20．（10分）如图，在△中，点、分别是边、的中点．设，．（1）填空：向量（用向量，的式子表示）．（2）在图中作出向量在向量，方向上的分向量（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）．解：（1），，，是边的中点，，故答案为：；（2）如图所示，向量和即为所求作．21．（10分）如图，已知，和相交于点，交于，，．（1）求的长；（2）如果△的面积为4，求△的面积．解：（1）已知，和相交于点，交于，，．△△，，，，，，，△△，，即，；（2）由（1）得：△△，，，△的面积为4，，△的面积为25．22．（10分）设，是锐角△的两条高，连接．（1）求证：△△；（2）若，，求．【解答】（1）证明：，是锐角△的两条高，，，，又，△△，，，又，△△；（2）解：，，由（1）得△△，，，．四、解答题：（本大题共3题，23、24题每题12分，25题14分，共38分）23．（12分）已知：如图，在四边形中，，对角线、交于点，点在边上，连接交线段于点，．（1）求证：；（2）连接，求证：．【解答】证明：（1），．又，△△．．，．．（2），，△△．．又，△△．．．24．（12分）已知：如图，第一象限内的点，在反比例函数的图象上，点在轴上，轴，点的坐标为，且求：（1）反比例函数的解析式；（2）点的坐标；（3）的余弦值．解：（1）设反比例函数解析式为，将点代入，得：，反比例函数的解析式；（2）过点作轴于点，与交于点，则，，，，点的坐标为；（3）当时，由可得，点的坐标为，，，．25．（14分）如图，已知平行四边形中，，，，点在射线上，过点作，垂足为点，交射线于点，交射线于点，连接、，设．（1）当点在边上时，①求△的面积；（用含的代数式表示）②当时，求的值；（2）当点在边的延长线上时，如果△与△相似，求的值．解：（1）①已知平行四边形中，，，，，，在直角三角形中，由勾股定理得：，，△△，，即，，在直角三角形中，根据勾股定理得：，，，