14.2 三角形全等的判定（添加辅助线构造全等）（原卷版） 分层作业-沪科版(2024)八上

14.2三角形全等的判定（添加辅助线构造全等）题型一连接两点构造全等1．（20-21八年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，已知：，，，，则（

）A． B． C．或 D．2．（24-25八年级上·河南漯河·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点分别在轴和轴上，点为第二象限内一点，且，，满足．(1)求点的坐标；(2)如图2，若点在轴的正半轴上，且满足，轴于点，交的延长线于点，①求的度数；②求证：．3．（24-25八年级下·河南洛阳·期末）如图，与都是等边三角形，，求证：四边形的对角线互相平分．4．（24-25八年级下·河南省直辖县级单位·期末）（1）如图1，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．无论正方形绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的．试说明理由；（2）如图2，已知和都是等腰直角三角形，，，，的顶点A在的斜边上．求证：．（3）如图3，等腰三角形中，，D是斜边的中点，点D又是的直角顶点，，绕点D转动，、分别与、交于M、N，若，请直接写出两个三角形重叠部分的面积．题型二作平行线构造全等5．（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）如图，过边长为3的等边的边上一点，作于，为延长线上一点，当时，连交边于，则的长为（

）A．1 B． C． D．无法确定6．（2020七年级下·全国·专题练习）如图，过等边的边上一点P，作于E，Q为延长线上一点，且，连交边于D．(1)求证：；(2)若的边长为1，求的长．7．（14-15八年级上·福建龙岩·阶段练习）如图所示：是等边三角形，、分别是及延长线上的一点，且，连接交于点．求让：8．（14-15八年级上·江苏盐城·阶段练习）已知在等腰△ABC中，AB=AC，在射线CA上截取线段CE，在射线AB上截取线段BD，连接DE，DE所在直线交直线BC与点M．请探究：(1)如图（1），当点E在线段AC上，点D在AB延长线上时，若BD=CE，请判断线段MD和线段ME的数量关系，并证明你的结论．(2)如图（2），当点E在CA的延长线上，点D在AB的延长线上时，若BD=CE，则（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由；(3)如图（3），当点E在CA的延长线上，点D在线段AB上（点D不与A，B重合），DE所在直线与直线BC交于点M，若CE＝2BD，请直接写出线段MD与线段ME的数量关系．题型三作垂线构造全等9．（24-25八年级下·江西吉安·期末）在中，，点是的中点，过点作，且与延长线相交于点．(1)如图，连接，求证：是等腰三角形；(2)如图，当时，求证：；(3)如图，当时，线段，，之间又存在怎样的数量关系？请给出证明．10．（24-25七年级下·河南周口·期末）（1）如图1，平分，．当时，根据角平分线的性质，我们可知与之间的数量关系为______；（2）如图2，平分，．当时，试说明与之间的数量关系；（3）如图3，平分，若，，求的度数．11．（24-25七年级下·河南驻马店·期末）（1）观察理解：如图①，中，，，直线l过点C，点A，B在直线l同侧，，，垂足分别为D，E，试说明：．（2）理解应用：如图②，，且，，且，利用（1）中的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积______；（3）类比探究：如图③，中，，，过点A作于点A，，连接，求的面积．12．（24-25八年级下·辽宁辽阳·期末）已知：如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，连接，延长交于点．求证：为的中点．题型一倍长中线构造全等1．（24-25七年级下·四川成都·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了下面问题：如图，是的中线，若，，求的取值范围．善思小组通过探究发现，延长至点，使，连接，可以证出，利用全等三角形的性质，可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围．从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做“倍长中线法”．请你利用“善思小组”的方法思考：（1）由已知和作图能得到的理由是；．．C．D．（2）求得的取值范围是；．

B．

C．

D．2．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在中，D是边的中点，，则的取值范围是3．（23-24七年级下·山东济南·期中）阅读下列材料，完成相应任务．数学活动课上，老师提出了如下问题：如图1，已知中，是边上的中线．求证：智慧小组的证法如下：证明：如图2，延长至E，使，∵是边上的中线，∴，在和中，，∴（依据1），∴，在中，（依据2），∴．（1）任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：依据1：；依据2：．【归纳总结】上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．（2）任务二：如图3，，，则的取值范围是；A．；

B．；

C．（3）任务三：利用“倍长中线法”，解决下列问题．如图4，中，，D为中点，求证：．4．（24-25八年级上·江西赣州·期中）八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧．【初步探索】（1）如图1，在中，若．求边上的中线的取值范围．以下两位同学是这样思考的：小聪：延长至，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．小明：过点作，交的延长线于点．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是_____；中线的取值范围是_____．【灵活运用】（2）如图2，在中，点是的中点，，其中，连接，试判断与的数量关系，并说明理由．【拓展延伸】（3）如图3，在五边形中，，，，为边上的中线．①求证：；②若，，则五边形的面积为_____．题型二截长补短构造全等5．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）（1）如图1，四边形中，，是上一点，平分，平分．则线段的长度满足的数量关系为______；

（2）如图2，将（1）中的条件“”改为“”，其他条件不变，（1）中的结论是否还成立，如果成立，请说明理由；如果不成立，请举出反例；（3）将（1）中的条件“”改为“”，其他条件不变，试探究线段之间的数量关系，并说明理由．6．（24-25七年级下·四川成都·期中）问题初探：（1）如图1，在等腰直角中，，，将沿着折叠得到，的对应边落在上，点的对应点为，折痕交于点．求证：；方法迁移：（2）如图2，是的角平分线，．求证：；问题拓展：（3）如图3，在中，，是的外角的平分线，交的延长线于点．请你直接写出线段，，之间的数量关系．7．（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）【问题情境】如图①，在正方形中，，，分别与，交于点E，F．【探索发现】(1)如图①，为探究线段，，之间的数量关系，小杨延长至点G，使得，连接．先证明，再证明，即可得到，，之间的数量关系为：______；【操作探究】(2)如图②，当点E，F分别在，的延长线上时，请根据上述小杨的思路，探究线段，，之间的数量关系；【问题解决】(3)如图③，在中，，，点D，E在边上，且，若，，则的长为______．8．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图1，在四边形中，，点，点分别在边，上，已知，．(1)求证：；(2)如图2，若点，点分别在边，的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出新的结论，并说明理由．题型三补全图形构造全等9．（北京市海淀区清华附中上庄学校2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷）如图，为内一点，，平分，且．如果，，求的长．10．（江西省吉安市青原区2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试题）【问题情境】（1）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可根据_____证明，则，（即点为的中点）．【类比解答】（2）如图2，在中，平分，于，若，，若通过上述构造全等的方法，求的度数．【拓展延伸】（3）如图3，中，，，平分，，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论．11．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）问题提出：（1）如图1，在等腰直角中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，求证：．问题探究：（2）如图2，在平面直角坐标系中，一次函数与轴交于点，与轴交于点，以为腰在第二象限作等腰直角，，求点的坐标．问题解决：（3）如图3，地铁某线路原计划按的方向施工，由于在方向发现一处地下古建筑，地铁修建须绕开此区域．经实地勘测，若将方向改为或方向，则可以绕开此区域．已知，平分，，的长为1千米，以点为原点，所在直线为轴，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系，且射线与直线平行，请帮助施工队计算出和所在直线的函数表达式．［温馨提示：若点，，则线段的中点坐标为］12．（23-24八年级上·重庆江津·期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：【模型呈现】（1）如图，，，过点作于点，过点作交的延长线于点．由，得．又，，可以推理得到，进而得到＝______，＝______．（请完成填空）我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型．【模型应用】（2）①如图，，，，连接、，且于点，与直线交于点，求证：点是的中点；②如图，若点为轴上一动点，点为轴上一动点，点的坐标为，是否存在以、、为顶点且以为斜边的三角形为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．题型四旋转构造全等13．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）已知是等边三角形，点是边上一点，点是边上一点，且满足，连接、交于点．(1)①如图1，直接写出的度数；②如图2，过点作于点，当时，求证：；(2)如图3，当时，求的度数．14．（24-25七年级下·上海金山·期末）设平面上的三个点、、，需确定点的位置，使最小．当点、、共线时，点应取三点中居中的点．当点、、不共线时，分成两类：有一个内角大于或等于和的三个内角均小于．约年，法国数学家费马，提出了这个问题，此问题中求得的点也称为费马点，并由意大利数学家托里拆利首次证明．下面来探究当点、、不共线时的情况：(1)如图1，已知：在中，时，____为所求费马点．(2)如图2，已知：在中，最大角时，我们可以快速找到这类三角形的费马点，作法如下：分别以的边、为边向外作等边三角形和等边三角形，此时和交于一点，点就是所求的费马点．①请找出图中与相等的线段，并说明理由；②为了验证作图中找到的点就是费马点，连接．求证：．15．（22-23八年级上·福建福州·期末）定义：若为内一点，且满足，则点叫做的费马点．

(1)如图1，若点是高为的等边的费马点，则=；(2)如图2，已知是等边外一点，且，请探究线段，，之间的数量关系，并加以证明；(3)如图3，已知，分别以、为边向外作等边与等边，线段、交于点，连接，求证：①点是的费马点；②．1．（24-25七年级下·山东威海·期中）中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”．(1)如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．嘉淇在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点H，使，连接．可以判定，从而得到．这样就能把线段，，集中在中，利用三角形三边的关系，可得中线的取值范围是．(2)如图2，中，，为角平分线，E为边的中点，过点E作的平行线，交于点F，交的延长线于点P．①判断和的数量关系，并说明理由；②若，，，则的长为．2．（24-25七年级下·河南平顶山·期末）如图（1），点P是等边三角形内的任意一点，过点P向三边作垂线，垂足分别为D，E，F．试探究与周长的关系．记，的周长．(1)从特殊情形入手：①若点P在的中心，如图（2），此时l与c的关系为________；②若点P在的一条高上，如图（3），此时①中的结论还成立吗？请说明理由．(2)若点P不在的高上，如图（4），研究发现可以转化为上述特殊情形进行解决，请直接在图（4）中画出解决问题所需的所有辅助线．3．（24-25八年级下·陕西榆林·期中）（1）【阅读理解】如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：．思考：“角平分线＋对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．老师给出一个方法：延长到点N，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题；结合图1，根据老师提出的方法，添加辅助线并完成证明；（2）【问题解决】如图2，在（1）的条件下，连接，当，时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由．4．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）我们规定：两组边相等及其夹角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，在和中，．(1)和________兄弟三角形；（填“是”或“不是”）(2)取的中点P，连接，试说明，小王同学根据要求的结论，想起了老师上课讲的“中线（点）倍延”的辅助线构造方法，解决了这个问题．①请在图中通过作辅助线构造，试判断与的数量关系，并说