（人教A版）选择性必修三高中数学同步考点讲与练专题7.5 正态分布（原卷版）

专题7.5正态分布（重难点题型精讲）1．连续型随机变量随机变量的取值充满某个区间甚至整个数轴，但取一点的概率为0，称这类随机变量为连续型随机变量.2．正态分布(1)正态曲线

函数f(x)=，x∈R.其中∈R，>0为参数.我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线.

(2)正态分布

若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为XN(,).特别地，当=0，=1时，称随机变量X服从标准正态分布.

(3)正态分布的均值和方差

若XN(,)，则E(X)=，D(X)=.3．正态曲线的特点(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；

(2)曲线是单峰的，它关于直线x=对称；

(3)曲线在x=处达到峰值；

(4)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴；

(5)对任意的>0，曲线与x轴围成的面积总为1；

(6)在参数取固定值时，正态曲线的位置由确定，且随着的变化而沿x轴平移，如图甲所示；

(7)当取定值时，正态曲线的形状由确定，当较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；当较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图乙所示.4．3原则(1)正态总体在三个特殊区间内取值的概率

P(-X+)0.6827；

P(-2X+2)0.9545；

P(-3X+3)0.9973.

(2)3原则

在实际应用中，通常认为服从正态分布N(,)的随机变量X只取[-3，+3]中的值，这在统计学中称为3原则.【题型1正态曲线的特点】【方法点拨】根据正态曲线及其性质，结合正态曲线的特点，进行求解即可.【例1】设X~N(μ1,σ1A．P(Y≥B．P(X≤C．对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)D．对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t)【变式1-1】李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，X~Nμ1,62,Y~A．D(X)=6 B．μC．P(X≤38)<P(Y≤38) D．P(X≤34)<P(Y≤34)【变式1-2】已知三个正态密度函数φi(x)=12πσieA．μ1=μ3>μ2C．μ1=μ3>μ2【变式1-3】如图是三个正态分布X~N(0,0.64)，Y~N(0,1)，Z~N(0,4)的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应曲线的序号分别依次为（

）.A．①②③ B．③②① C．②③① D．①③②【题型2利用正态曲线的对称性求概率】【方法点拨】利用正态曲线的对称性求概率是正态分布的基本题型.解题的关键是利用对称轴x=确定所求概率对应的随机变量的区间与已知概率对应的随机变量的区间的关系，必要时，可借助图形判断.【例2】已知随机变量ξ∼N2,σ2，若P(2⩽ξ<3)=0.3，则P(ξ<1)=A．0.6 B．0.5 C．0.3 D．0.2【变式2-1】已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2)σ>0，且P(X<0)=0.1，则P(2<X<4)=A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4【变式2-2】已知随机变量服从正态分布X~N(2,σ2)，若P(X≤1−2a)+P(X≤1+a)=1，则a=A．0 B．2 C．−1 D．−2【变式2-3】已知随机变量X服从正态分布N6,σ，若PX<4+5PX>8=1A．16 B．14 C．13【题型3利用正态分布的3原则求概率】【方法点拨】利用正态分布的3原则求概率一定要灵活把握3原则，将所求概率向P(-X+)，P(-2X+2)，P(-3X+3)进行转化，然后利用特定值求出相应的概率.同时要充分利用好正态曲线的对称性和正态曲线与x轴之间的面积为1.【例3】若X∼N7,2.25，则PX≤10=（参考数据：Pμ−σ≤X≤μ+σ=0.682,Pμ−2σ≤X≤μ+2σA．0.97725 B．0.9545 C．0.9973 D．0.99865【变式3-1】已知随机变量X~N4，22，则附：若Y~Nμ，σ2，则PA．0.0215 B．0.1359 C．0.8186 D．0.9760【变式3-2】某工厂生产的零件的尺寸（单位:cm）服从正态分布N10,0.12.任选一个零件，尺寸在10附:若X~Nμ,σ2，则Pμ−σ≤X≤μ+σ≈0.6827A．0.34135 B．0.47725 C．0.6827 D．0.9545【变式3-3】已知某批零件的尺寸X（单位：mm）服从正态分布N10,4，其中X∈8,14的产品为“合格品”，若从这批零件中随机抽取一件，则抽到合格品的概率约为（（附：若X∼Nμ,σ2，则Pμ−σ⩽X⩽μ+σ≈0.6827A．0.3414 B．0.4773 C．0.512 D．0.8186【题型4正态分布的实际应用】【方法点拨】利用服从正态分布N(,)的随机变量X在三个特殊区间上取值的概率，可以解决两类实际问题：一类是估计在某一范围内的数量，具体方法是先确定随机变量在该范围内取值的概率，再乘样本容量即可.另一类是利用3原则作决策.【例4】某金属元件的抗拉强度服从正态分布，均值为10000kg/cm2，标准差是(1)求抗拉强度超过10150kg(2)如果要求所有元件的规格是9800∼10200kg【变式4-1】某校高三年级有1000人，某次考试不同成绩段的人数ξ~(1)求全班平均成绩；(2)计算得分超过141的人数；（精确到整数）(3)甲同学每次考试进入年级前100名的概率是14，若本学期有4次考试，X表示进入前100名的次数，写出X参考数据：Pμ−σ<ξ≤μ+σ=0.6826,【变式4-2】某食品厂生产一种零食，该种零食每袋的质量X（单位：g）服从正态分布N65,4.84(1)当质检员随机抽检20袋该种零食时，测得1袋零食的质量为73g，他立即要求停止生产，检查设备，请你根据所学知识，判断该质检员的决定是否有道理，并说明判断的依据.(2)规定：这种零食的质量在62.8g~69.4g的为合格品.①求这种零食的合格率；（结果精确到0.001）②从该种零食中任意挑选n袋，合格品的袋数为Y，若Y的数学期望大于58，求n的最小值.参考数据：若X~Nμ,σ2，则Pμ−σ≤X≤μ+σ=0.6827【变式4-3】近一段时间来，由于受非洲猪瘟的影响，各地猪肉价格普遍上涨，生猪供不应求.各大养猪场正面临巨大挑战.目前各项针对性政策措施对于生猪整体产量恢复、激发养殖户积极性的作用正在逐步显现.现有甲、乙两个规模一致的大型养猪场，均养有1万头猪，将其中重量（kg）在1,139内的猪分为三个成长阶段如下表.猪生长的三个阶段阶段幼年期成长期成年期重量（Kg）[1,24)[24,116)[116,139]根据以往经验，两个养猪场猪的体重X均近似服从正态分布X~N70,232.由于我国有关部门加强对大型养猪场即将投放市场的成年期猪的监控力度，高度重视成年期猪的质量保证，为了养出健康的成年活猪，甲、乙两养猪场引入两种不同的防控及养殖模式.已知甲、乙两个养猪场内一头成年期猪能通过质检合格的概率分别为3（1）试估算甲养猪场三个阶段猪的数量；（2）已知甲养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈利600元，若为不合格的猪，则亏损100元；乙养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈利500元，若为不合格的猪，则亏损200元.（ⅰ）记Y为甲、乙养猪场各出售一头成年期猪所得的总利润，求随机变量Y的分布列；（ⅱ）假设两养猪场均能把成年期猪售完，求两养猪场的总利润期望值.（参考数据：若Z~Nμ,σ2，P(μ−σ<Z<μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<Z<μ+2σ)=0.9544专题7.5正态分布（重难点题型检测）一．单选题1．下列是关于正态曲线fx①曲线关于直线x=μ对称，且恒位于x轴上方；②曲线关于直线x=σ对称，且仅当x∈−3σ,3σ时才位于x③曲线对应的正态密度函数是一个偶函数，因此曲线关于y轴对称；④曲线在x=μ处位于最高点，由这一点向左、右两边延伸时，曲线逐渐降低；⑤曲线的位置由μ确定，曲线的形状由σ确定.其中说法正确的是（

）A．①④⑤ B．②④⑤ C．③④⑤ D．①⑤2．设X~Nμ1,σ1A．μ1>μC．PY≥μ23．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N(0，1)的密度曲线）的点的个数的估计值为（

）附：若X∼N(μ,σ2)，则A．2386 B．2718 C．3413 D．47724．已知某批零件的长度（单位：毫米）服从正态分布N100,32，从中随机抽取一件，其长度落在区间103,106（附：若随机变量ξ服从正态分布Nμ,σ2，则PA．4.56% B．13.59%C．27.18% D．31.74%5．某地组织普通高中数学竞赛.初赛共有20000名学生参赛，统计得考试成绩X（满分150分）服从正态分布N110,100.考试成绩140分及以上者可以进入决赛.本次考试可以进入决赛的人数大约为（

）附：P(μ−σ<X<μ+σ)=0.6826,P(μ−2σ<X<μ+2σ)=0.9544,P(μ−3σ<X<μ+3σ)=0.9974A．26 B．52 C．456 D．136．已知随机变量X,Y，X~B4,12，Y~Nμ,σ2，且DXA．0 B．14 C．12 7．随机变量X服从正态分布X−N10,σ2，PX>12=m，PA．3+42 B．6+22 C．3+228．近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰．若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布Nμ,302和N280,40附：若随机变量X服从正态分布Nμ,σ2A．若红玫瑰日销售量范围在(μ−30,280)的概率是0.6826，则红玫瑰日销售量的平均数约为250B．红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中C．白玫瑰日销售量范围在(240,+∞D．白玫瑰日销售量范围在(320,+∞二．多选题9．假设两所学校的数学联考成绩（分别记为X，Y）均服从正态分布，即X∼Nμ1,σ12，Y∼Nμ参考数据：若ξ∼Nμ,σ2，则A．μ1>μC．Pμ1−210．已知随机变量X服从正态分布N1,32A．EX=1，DX=9 C．PX>1=12 D．随机变量Y11．已知某地区有20000名同学参加某次模拟考试（满分150分），其中数学考试成绩X近似服从正态分布N90,σ2（参考数据：①P(μ−σ<X≤μ+σ)=0.6827；②P(μ−2σ<X≤μ+2σ)=0.9545；③P(μ−3σ<X≤μ+3σ)=0.9973）A．根据以上数据无法计算本次数学考试的平均分B．σ的值越大，成绩不低于100分的人数越多C．若σ=15，则这次考试分数高于120分的约有46人D．从参加考试的同学中任取3人，至少有2人的分数超过90分的概率为112．赵先生早上9：00上班，上班通常乘坐公交加步行或乘坐地铁加步行．赵先生从家到公交站或地铁站都要步行5min．公交车多且路程近一些，但乘坐公交路上经常拥堵，所需时间（单位：min）服从正态分布N33,42，下车后从公交站步行到公司要12min；乘坐地铁畅通，但路线长且乘客多，所需时间（单位：min）服从正态分布N参考数据：若Z∼Nμ,σ2，则Pμ−σ<Z≤μ+σ≈0.6826A．若8：00出门，则乘坐公交上班不会迟到B．若8：02出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大C．若8：06出门，则乘坐公交上班不迟到的可能性更大D．若8：12出门，则乘坐地铁上班几乎不可能不迟到三．填空题13．某校400名学生的某次数学考试成绩X服从正态分布，正态分布密度曲线如图所示，则成绩X位于区间51,69的人数大约是．14．设随机变量X∼N1,σ2，Y=2X+1，PX≤a+PY≤a15．已知随机变量X服从二项分布B（4，p），其期望E（X）=3，随机变量Y服从正态分布N（1，2），若P(Y>0)=p，则P(0<Y<1)=．16．某品牌的一款纯电动车单次最大续航里程X（千米）服从正态分布N(2000,102).任选一辆该款电动车，则它的单次最大续航里程恰在1970（千米）到2020（千米）之间的概率为.（参考公式:随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2)，则四．解答题17．如图是一个正态曲线，试根据图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，并求出总体随机变量的期望和方差.18．设ξ服从N(3,4)，试求下面的概率：(1)P(2)P(3)P(4)P19．在某次数学考试中，考生的成绩X近似服从正态分布N（90，100）．(1)求考试成绩X位于区间（70，110）内的概率；(2)若这次考试共有20000名考生，估计考试成绩在（80，100）之间的考生人数．注：Pμ−σ<X<μ+σ≈68.27%，P20．已知随机变量X∼Nμ,σ2，且正态分布密度函数在−∞,80(1)求参数μ、σ的值；(2)求P64≤X<7221．某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个零件，测量其内径的数据如下（单位：cm）：87

87

88

92

95

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98

99

103

104设这10个数据的平均值为μ，标准差为σ．(1)求μ与σ．(2)假设这批零件的内径Z（单位：cm）服从正态分布Nμ,①从这批零件中随机抽取10个，设这10个零件中内径大于107cm的个数为X，求D2X+1②若该车间又新购一台设备