反比例函数的教学设计

反比例函数的教学设计

反比例函数的教学设计1

一、知识与技能

1.能灵活列反比例函数表达式解决一些实际问题.

2.能综合利用几何、方程、反比例函数的知识解决一些实际问

题.

二、过程与方法

1.经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型,

进而解决问题.

2.体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用

代数方法解决问题的能力.

三、情感态度与价值观

1.积极参与交流，并积极发表意见.

2.体验反比例函数是有效地描述现实世界的重要手段，认识到

数学是解决实际问题和进行交流的重要工具.

教学重点：掌握从实际问题中建构反比例函数模型.

教学难点：从实际问题中寻找变量之间的关系.关键是充分运用

所学知识分析实际情况，建立函数模型，教学时注意分析过程，渗

透数形结合的思想.

教具准备

1.教师准备：课件（课本有关市煤气公司在地下修建煤气储存室

等）.

2.学生准备：（1）复习已学过的反比例函数的图象和性质，（2）

预习本节课的内容，尝试收集有关本节课的情境资料.

教学过程

一、创设问题情境，引入新课

复习：反比例函数图象有哪些性质？

反比例函数y?k

,是由两支曲线组成，

当K0时，两支曲线分别位于第一、三象限内，在每一象限内，y

随—的增大而减少；

当K0时，两支曲线分别位于第二、四象限内，在每一象限内，y

随一的增大而增大.

二、讲授新课

［例1］市煤气公司要在地下修建一个容积为104nl3的圆柱形煤

气储存室.

（1）储存室的底面积S（单位：m2）与其深度d（单位：m）有怎样的

函数关系？

（2）公司决定把储存室的底面积S定为500m2,施工队施工时应

该向下挖进多深？

（3）当施工队按（2）中的计划挖进到地下15nl时，碰上了坚硬的

岩石，为了节约建设资金，公司临时改变计划把储存室的深改为

15m,相应的，储存室的底面积应改为多少才能满足需要（保留两位

小数）o

设计意图：让学生体验反比例函数是有效地描述现实世界的重

要手段，让学生充分认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要

工具，此活动让学生从实际问题中寻找变量之间的关系.而关键是充

分运用反比例函数分析实际情况，建立函数模型，并且利用函数的

性质解决实际问题.

师生行为：

先由学生独立思考，然后小组内合作交流，教师和学生最后合

作完成此活动.

在此活动中，教师有重点关注：

①能否从实际问题中抽象出函数模型；

②能否利用函数模型解释实际问题中的现象；

③能否积极主动的阐述自己的见解.

生：我们知道圆柱的容积是底面积一深度，而现在容积一定为

104nl3,所以S-d=104.变形就可得到底面积S与其深度d的函数关

系，即S二

所以储存室的底面积S是其深度d的反比例函数.

104生：根据函数S=，我们知道给出一个d的值就有唯一的S

的值和它相d

对应，反过来，知道S的一个值，也可求出d的值.

题中告诉我们“公司决定把储存室的底面积5定为500m2,即

S=500m2,“施工队施工时应该向下挖进多深，实际就是求当

S=500nl2时，d=?m.根据S二,得500二，解得d=20.del

即施工队施工时应该向下挖进20米.

生：当施工队按(2)中的计划挖进到地下15m时，碰上了坚硬的

岩石,为了节约建设资金，公司临时改变计划，把储存室的深度改为

15m,即d=15m,相应的储存室的底面积应改为多少才能满足需要；

即当d=15m,S=?m2呢？

104根据S=，把d=15代入此式子，得d

S=104七666.67.15104.d

当储存室的探为15m时，储存室的底面积应改为666.67m2才能

满足需要.师：大家完成的很好•当我们把这个“煤气公司修建地下

煤气储存室”的问题转化成反比例函数的数学模型时，后面的问题

就变成了已知函数值求相应自变量的值或已知自变量的值求相应的

函数值，借助于方程，问题变得迎刃而解，

三、巩固练习

1、(基础题)已知某矩形的面积为20cm2：

(1)写出其长y与宽—之间的函数表达式，并写出—的取值范围；

(2)当矩形的长为12cm时，求宽为多少？当矩形的宽为4cm,

求其长为多少？

(3)如果要求矩形的长不小于8cm,其宽至多要多少？

2、(中档题)如图，某玻璃器皿制造公司要制造一种窖积为1升

(1升口立方分米)的圆锥形漏斗.

(1)漏斗口的面积S与漏斗的深d有怎样的函数关系？

(2)如果漏斗口的面积为100厘米2,则漏斗的深为多少？

设计意图：

让学生进一步体验反比例函数是有效地描述现实世界的重要手

段，让学生充分认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，

更进一步激励学生学习数学的欲望.

师生行为：

由两位学生板演，其余学生在练习本上完成，教师可巡视学生

完成情况，对“学困生”要提供一定的帮助，此活动中，教师应重

点关注：①学生能否顺利建立实际问题的数学模型;②学生能否积极

主动地参与数学活动，体验用数学模型解决实际问题的乐趣;③学生

能否注意到单位问题.

生：解：(1)根据圆锥体的体积公式，我们可以设漏斗口的面积

为Scm,漏斗的深为dem,则容积为1升=1立方分米=1000立方匣米.

13000所以，S•d=1000,S=.3d

(2)根据题意把S=100cm2代入代中,得100=.d=30(cm).dd

所以如果漏斗口的'面积为100c球，则漏斗的深为30cm.

3、(综合题)新建成的住宅楼主体工程已经竣工，只剩下楼伍外

表面需要贴瓷砖，已知楼体外表面的面积为5」03m2.

(1)所需的瓷砖块数n与每块瓷砖的面积s又怎样的函数关系？

(2)为了使住宅楼的外观更加漂亮，开发商决定采用灰、白和蓝

三种颜色的瓷砖，每块砖的面积都是80cm2,灰、白、蓝瓷砖使用

比例为2:2:1,则需要三种瓷砖各多少块？

四、小结

1、通过本节课的学习，你有哪些收获？

列实际问题的反比例函数解析式⑴列实际问题中的函数关系式

首先应分析清楚各变量之间应满足的分式，即实际问题中的变量之

间的关系立反比例函数模型解决实际问题；（2）在实际问题中的函数

关系式时，一定要在关系式后面注明自变量的取值范围。

2、利用反比例函数解决实际问题的关键:建立反比例函数模型.

五、布置作业

P54—55.第2题、第5题

六、课时小结

本节课是用函数的观点处理实际问题，并且是蕴含着体积、面

积这样的实际问题，而解决这些问题，关键在于分析实际情境，建

立函数模型，并进一步明确数学问题，将实际问题置于已有的知识

背景之中，用数学知识重新解释这是什么?可以是什么？逐步形成考

察实际问题的能力，在解决问题时，应充分利用函数的图象，渗透

数形结合的思想.反比例函数的教学设计2

第一课时

教学设计思想

本节课是在学习了反比例函数的概念，反比例函数的图像和性

质等相关知识的基础上引入的。首先创设问题情境，展示反比例函

数在实际生活中的应用情况，激发学生的求知欲和浓厚的‘学习兴趣。

接下来主要讨论了反比例函数在体积、面积这样的实际问题中的应

用。分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而

解决问题。

教学目标

知识与技能

1.能灵活列反比例函数表达式解决一些实际问题。

2.能综合利用几何、方程、反比例函数的知识解决一些实际问

题。

过程与方法

1.经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型,

进而解决问题。

2.体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用

代数方法解决问题的能力。

情感态度与价值观

体验反比例函数是有效地描述现实世界的重要手段，认识到数

学是解决实际问题和进行交流的重要工具。

教学重难点

重点：掌握从实际问题中建构反比例函数模型。

难点：从实际问题中寻找变量之间的关系。关键是充分运用所

学知识分析实际情况，建立函数模型，教学时注意分析过程，渗透

数形结合的思想。

教学方法

启发引导、合作探究

教学媒体

课件

教学过程设计

（一）创设问题情境，引入新课

［师］有关反比例函数的表达式，图像的特征我们都研究过了，

那么，我们学习它们的目的是什么呢？

［生］是为了应用。

［师］很好。学习的目的是为了用学到的知识解决实际问题。究

竟反比例函数能解决一些什么问题呢?本节课我们就来学一学。

问题：某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的

烂泥湿地，为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺垫

了若干块木板，构筑成一条临时通道，从而顺利完成了任务的情境。

反比例函数的教学设计3

教学目标

知识技能目标：

1、理解反比例函数的图象是双曲线，利用描点法画出反比例函

数的图象，说出它的性质；

2、利用反比例函数的图象解决有关问题。

过程性目标：

1、经历对反比例函数图象的观察、分析、讨论、概括过程，会

说出它的性质;

2、探索反比例函数的图象的性质，体会用数形结合思想解数学

问题。

教学过程

一、创设情境

上节的练习中，我们画出了问题1中函数的图象，发现它并不

是直线。那么它是怎么样的曲线呢？本节课，我们就来讨论一般的

反比例函数（k是常数，kWO）的图象，探究它有什么性质。

二、探究归纳

1、画出函数的图象。

分析画出函数图象一般分为列表、描点、连线三个步骤，在反

比例函数中自变量

解：

1、列表：这个函数中自变量—的取值范围是不等于零的一切实

数，列出_与丫的对应值：

2、描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系中描

出在京各点点（一6,—1）、（—3,—2）、（-2,—3）等。

3、连线：用平滑的曲线将第一象限各点依次连起来，得到图象

的第一个分支；用平滑的曲线将第三象限各点依次连起来，得到图

象的另一个分支。这两个分支合起来，就是反比例函数的图象。

上述图象，通常称为双曲线（hyperbola）o

提问这两条曲线会与―轴、y轴相交吗？为什么？

学生试一试：画出反比例函数的图象（学生动手画反比函数图

象，进一步掌握画函数图象的步骤）。

学生讨论、交流以下问题，并将讨论、交流的结果回答问题。

1、这个函数的图象在哪两个象限？和函数的图象有什么不同？

2、反比例函数（kWO）的图象在哪两个象限内？由什么确定？

3、联系一次函数的性质，你能否总结出反比例函数中随着自变

量.的增加，函数y将怎样变化？有什么规律？

反比例函数有下列性质：

（1）当k〉0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，

曲线从左向右下降，也就是在每个象限内y随—的增加而减少；

（2）当k

注1、双曲线的两个分支与—轴和y轴没有交点；

2、双曲线的两个分支关于原点成中心对称。

以上两点性质在上堂课的问题1和问题2中反映了怎样的实际

意义？

在问题1中反映了汽车比自行车的速度快，小华乘汽车比骑自

行车到镇上的时间少。

在问题2中反映了在面积一定的情况下，饲养场的一边越长，

另一边越小。

三、实践应用

例1若反比例函数的图象在第二、四象限，求m的值。

分析由反比例函数的定义可知：，又由于图象在二、四象限，

所以"1

解由题意，得解得。

例2已知反比例函数（kWO）,当—>0时，y随—的增大而增大,

求一次函数尸k_一的图象经过的象限。

分析由于反比例函数（kWO）,当—>0时，y随—的增大而增大,

因此k0,所以直线与y轴的交点在一轴的二方。

解因为反比例函数（kWO）,当—>0时，y随一的增大而增大，

所以k

例3已知反比例函数的图象过点（1,-2）o

（1）求这个函数的解析式，并画出图象；

（2）若点A（-5,m）在图象上，则点A关于两坐标轴和原点

的对称点是否还在图象上？

分析（1）反比例函数的图象过点（1,-2）,即当_=1时，

丫二一2、由待定系数法可求出反比例函数解析式；再根据解析式，通

过列表、描点、连线可画出反比例函数的图象；

（2）由点A在反比例函数的图象上，易求出m的值，再验证点

A关于两坐标轴和原点的'对称点是否在图象上。

解（1）设：反比例函数的解析式为：（kWO）。

而反比例函数的图象过点（1,—2）,即当_=1时，尸一2、

所以，k二一2、

即反比例函数的解析式为：

（2）点A（-5,m）在反比例函数图象上，所以，点A的坐标

为：

点A关于一轴的对称点不在这个图象上;

点A关于y轴的对称点不在这个图象上；

点A关于原点的对称点在这个图象上；

例4已知函数为反比例函数。

(1)求m的值；

(2)它的图象在第几象限内？在各象限内，丫随_的增大如何

变化？

(3)当一3W_W时，求此函数的最大值和最小值。

解

(1)由反比例函数的定义可知：解得，2

(2)因为一2

(3)因为在第个象限内，y随—的增大而增大，所以当_二时，y

最大值=;

当_二-3时，y最小值二

所以当一3W_(时，此函数的最大值为8,最小值为。

例5一个长方体的体积是100立方厘米，它的长是y厘米，宽

是5厘米，高是一厘米。

(1)写出用高表示长的函数关系式；

(2)写出自变量—的取值范围；

(3)画出函数的图象。

解(1)因为100=5_y,所以。

(2)>0o

(3)图象如下：

说明由于自变量—>0,所以画出的反比例函数的图象只是位于第

一象限内的一个分支。

四、交流反思

本节课学习了画反比例函数的图象和探讨了反比例函数的性质。

1、反比例函数的图象是双曲线(hyperbola)o

2、反比例函数有如下性质：

(1)当k〉0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，

曲线从左向右下降，也就是在每个象限内y随—的增加而减少；

(2)当k

五、检测反馈

1、在同一直角坐标系中画出下列函数的图象：

(1)；(2)o

2、已知y是一的反比例函数，且当_二3时，y=8,求：

(1)y和—的函数关系式；

(2)当时，y的值；

(3)当一取何值时，

3、若反比例函数的图象在所在象限内，y随—的增大而增大，

求n的值。

4、已知反比例函数经过点A(2,-m)和B(n,2n),求：

(1)m和n的值；

(2)若图象上有两点Pl(」，yl)和P2(_2,y2),且」反

比例函数的教学设计4

一、教材分析

反比例函数是初中阶段所要学习的三种函数中的一种，是一类

比较简单但很重要的函数，现实生活中充满了反比例函数的例子。

因此反比例函数的概念与意义的教学是基础。

二、学情分析

由于之前学习过函数，学生对函数概念已经有了一定的认识能

力，另外在前一章我们学习过分式的知识，因此为本节课的教学奠

定的一定的基础。

三、教学目标

知识目标:理解反比例函数意义；能够根据已知条件确定反比例

函数的表达式.

解决问题：能从实际问题中抽象出反比例函数并确定其表达式.

情感态度:让学生经历从实际问题中抽象出反比例函数模型的过程，

体会反比例函数来源于实际.

四、教学重难点

重点：理解反比例函数意义，确定反比例函数的表达式.

难点：反比例函数表达式的确立.

五、教学过程

(1)京沪线铁路全程为1463km,某次列车的平均速度v(单位:

km/h)随此次列车的全程运行时间t(单位：h)的变化而变化；

(2)某住宅小区要种植一个面积1000m2的矩形草坪，草坪的

长y(单

位：m)随宽_(单位：m)的变化而变化。

请同学们写出上述函数的表达式(2)y=t_

k可知：形如尸(k为常数，kWO)的函数称为反比例函数，

其中—(1)v=

是自变量，y是函数。

此过程的目的在于让学生从实际问题中抽象出反比例函数模型

的过程，体会反比例函数来源于实际.由于是分式，当一二0时，分式

无意义，所以_W0c

当尸中k=0时，尸0,函数y是一个常数，通常我们把这样的

函数称为常函数。比时y就不是反比例函数了。

举例：下列属于反比例函数的是

(1)y=(2)_y=10(3)y=k-l_(4)y=-

此过程的目的是通过分析与练习让学生更加了解反比例函数的

概念问已知丫与_成反比例，y与成反比例，y+1与—成反比例,

y+1与成反比例，将如何设其解析式(函数关系式)

已知丫与_成反比例，则可设丫与_的函数关系式为产

k_?1

k已知y+1与—成反比例，则可设y与—的函数关系式为y+1二

_k_k_k_k_2_已知y与_T成反比例,则可设y与一的函数关系式为

y

已知y+1与_-1成反比例，则可设y与一的函数关系式为y+1=k

_?1此过程的目的是为了让学生更深刻的了解反比例函数的概念，

为以后在求函数解析式做好铺垫。

例：已知y与_2反比例，并且当_二3时尸4

(1)求出丫和_之间的函数解析式

(2)求当_二1.5时y的’值

解析：因为y与_2反比例，所以设y?k,只要将k求出即可得

到y_2

和—之间的函数解析式。之后引导学生书写过程。能从实际问题

中抽象出反比例函数并确定其表达式最后学生练习并布置作业

通过此环节，加深对本节课所内容的认识，以达到巩固的目的。

六、评价与反思

本节课是在学生现有的认识基础上进行讲解，便于学生理解反

比例函数的概念。而本节课的重点在于理解反比例函数意义，确定反

比例函数的表达式.应该对这一方面的内容多练习巩固。反比例函数

的教学设计5

［教学目标］

1.回顾反比例函数的概念.通过实际问题，进一步感受用反比

例函数解决实际问题的过程与方法，体会反比例函数是分析、解决

实际问题的一种有效的模型.

2.归纳总结反比例函数的图象和性质，进一步体会形数结合的

数学思想方法.

［教学过程］

1.回顾、梳理本章的知识：

如同已经学过的有关方程、函数的内容一样，本章内容分为3

块：

（1）从生活到数学：从问题到反比例函数，即建构实际问题的

数学模型；

（2）数学研究：反比例函数的图象与性质；

（3）用数学解决问题：反比例函数的应用.

2.可以设计一组问题，重点归纳、整理反比例函数的图象与性

质，进一步感受形数结合的数学思想方法.例如：

（1）由形到数一一用待定系数法求反比例函数的关系式；由图

象的.位置或图象的部分确定函数的特征；

（2）由数到形一一根据反比例函数关系式或反比例函数的性质,

确定图形的位置、趋势等；

（3）形数结合一一函数的图象与性质的综合应用

2例如：如图，点P是反比例函数y?上的一点，PD垂直一轴

于点D,则△一

P0D的面积为

3.设计一个实际问题，让学生经历“问题情境一建立模型一

求解一解释与应用”的基本过程.

例如：为了预防“非典”，某学校对教室采用药薰法进行消

毒.已知药物燃烧时.室内每立方米空气中的含药量y（mg）与时

间.（min）成正比例，药物燃烧后，y与一成反比例（如图）.现测

得药物8min燃毕，此时室内空气中每立方米含药量为6mg。

（1）写出药物燃烧前、后y与—的函数关系式；

（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1。6mg时，

学生方可进教室.那么从消毒开始，至少需要多少时间，学生方能

进入教室？

（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3mg且持续

时间不少于lOmin时，才能有效灭杀空气中的病菌，那么这次消毒

是否有效？反比例函数的教学设计6

教学目标

1、知识与技能

理解反比例函数的意义；根据已知条件确定反比例函数的解析

式。

2、过程与方法

学生经历从实际问题中抽象出反比例函数模型的过程，体会反

比例函数来源于实际问题；发展学生的抽象思维能力，提高数学化

意识。

3、情感态度与价值观

经历反比例函数的形成过程，体会数学学习的重要性，提高学

生学习数学的兴趣；在学习过程中进行分组讨论，培养学生的合作

交流意识和探索精神，体验学习的快乐与成就感。

教学重点

理解反比例函数的意义；根据已知条件确定反比例函数的解析

式。

教学难点

反比例函数解析式的确定。

教学过程

一、创设情境，导入新课

问题1:（课件展示）

体育课上测试了百米赛跑成绩，那么时间t与平均速度V的关

系是怎样的.？你能用含有t的代数式表示V吗？

问题2：（课件展示）

我们知道，矩形的面积s与长a宽b之间的关系为S=ab,那么，

当S=245时，长a宽b可用怎样的函数关系式表示？

问题3：（课件展示）

下列问题中，变量间的对应关系可用怎样的函数关系式表示？

（1）京沪线铁路全程为1463km,某次列车的平均速度v（单位:

km/h）随此次列车的全程运行时间t（单位：h）的变化而变化。

（2）某住宅小区要种植一个面积为1000m的矩形草坪，草坪

的长y（单位m）随宽—（单位m）的变化而变化。

（3）已知某市的总面积为1.68」0平方千米，人均占有的土地

面积s（单位：平方千米/人）会随全市人口n（单位：人）的变化

而变化。

二、观察思考，明晰概念

1、这些关系式都体现了函数关系，它们是我们曾学习过的正比

例函数或一次函数吗？

2、这些函数关系式与正比例函数、一次函数有何不同？

3、这些函数关系式有什么共同的特征？

4、各关系式中两变量之间有什么关系？

5、你能归纳出反比例函数的概念吗？

通过回答以上问题，师生共同总结反比例函数的概念。

三、小组讨论，领悟概念

1、反比例函数关系式中有几个变量？

2、变量之间存在什么关系？

3、反比例函数还有其他形式吗？若有请指出。

4、反比例函数中，变量_、y和常数k有什么具体要求？为什

么？

四、内化新知，拓展应用

1、下列函数中哪些是反比例函数？请指出反比例函数中的k值。

2、已知y是一的反比例函数，且当_=2时，y=6o

(1)写出y与—的函数关系式。

(2)求当_二4时，y的值。

3、当—为何值时函数y=_—2a—4是反比例函数？

4、已知函数尸yl+y2,与—成正比例，丫2与_成反比例，且当

_=1时，y=4；当_=2时，y=5o

(1)求y与—的函数关系式。

(2)当—二一2时，求函数y的值。

五、课堂练习

师生共同完成教课书第40页的练习题。

六、课堂小结

1、通过本节课的学习你对反比例函数有怎样的认识？

2、反比例函数与正比例函数的区别有哪些？

七、作业布置

教材中本节习题17.1第1、2、4题。反比例函数的教学设计7

教学目标

（一）教学知识点

1、经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型,

进而解决问题的过程。

2、体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用

代数方法解决问题的能力。

（二）能力训练要求

通过对反比例函数的应用，培养学生解决问题的能力。

（三）情感与价值观要求

经历将一些实际问题抽象为数学问题的过程，初步学会从数学

的角度提出问题，理解问题，并能综合运用所学的知识和技能解决

问题，发展应用意识，初步认识数学与人类生活的密切联系及对人

类历史发展的作用。

教学重点：用反比例函数的知识解决实际问题。

教学难点：如何从实际问题中抽象出数学问题、建立数学模型，

用数学知识去解决实际问题。

教学方法：教师引导学生探索法。

教具准备：投影片四张

第一张：(记作5.3A)

第二张：(记作5.3B)

第三张：(记作5.3C)

第四张：(记作5.3D)

教学过程

I、创设问题情境，引入新课

［师］有关反比例函数的表达式，图象的特征我们都研究过了，

那么，我们学习它们的目的是什么呢？

［生］是为了应用。

［师］很好。学习的目的是为了用学到的知识解决实际问题。究

竟反比例函数能解决一些什么问题呢？本节课我们就来学一学。

一、新授：

1、实例1：(1)用含S的代数式表示P,P是S的反比例函数

吗？为什么？

答：P=600s(sO),P是S的反比例函数。

(2)当木板面积为0.2m2时，压强是多少？

答：P=3000Pa

(3)如果要求压强不超过6000Pa,木板的面积至少要多少？

答：至少0。52、

（4）在直角坐标系中，作出相应的函数图象。

（5）请利用图象（2）和（3）作出直观解释，并与同伴进行交

流。

二、做一做

1、（1）蓄电池的电压为定值，使用比电源时，电流I（A）与

电阻R之间的函数关系如图5—8所示。

（2）蓄电池的电压是多少？你以写出这一函数的.表达式吗？

电压U=36V,l=60k

2、完成下表，并回答问题，如果以蓄电池为电源的用电器限制

电流不得超过10A,那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内？

R（）345678910

I（A）

3、如图5—9,正比例函数y=kl_的图象与反比例函数y=60k

的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为（3,23）

（1）分别写出这两个函数的表达式；

（2）你能求出点B的坐标吗？你是怎样求的？与同伴进行交流;

反比例函数的教学设计8

教学目标：

1、知识与能力目标：

（1）复习反比例函数概念、图象与性质的知识点，通过相应知

识点的配套练习加深学生对反比例函数本章知识的理解与掌握。

（2）能够根据问题中的条件确定反比例函数的解析式，会画出

它的图象，并根据问题确定自变量的取值范围及增减性。

2、过程与方法目标：通过对相关问题的变式探究，正确运用反

比例函数知识，进一步体验形成解决问题的一些基本策略，发展实

践能力和创新精神C

3、情感态度与价值观目标：创设教学情景，鼓励学生主动参与

反比例函数复习活动，激发学习兴趣，获得问题解决后的乐趣，继

续渗透数形结合等数学思想方法。

教学重点和难点

重点：进一步掌握反比例函数的概念、图像、性质并正确运用。

难点：反比例函数性质的灵活运用。数形结合思想的应用。

教学方法：

探究一一讨论一一交流一一总结

教学媒体：

多媒体课件。

教学过程：

一、知识梳理：

同学们，今天我们就来复习反比例函数，通过今天的复习课，

希望大家加深对反比例函数知识的理解和运用首先请同学们回忆一

下，对反比例函数你了解那知识？

课件展示：

1、反比例函数的意义

2、反比例函数的图象与性质

3、利用反比例函数解决实际问题

二、合作交流、解读探究

(一)与反比例函数的意义有关的问题

课件展示：

忆一忆：什么是反比例函数？

要求学生说出反比例函数的意义及其等价形式

巩固练习：课件展示：

1、下列函数中，哪些是反比例函数？

(Dy=5/_(2)y=_/4+2(3)y=-5/3_(4)y=-7—的-1次方

(5)y=l/_+4

2、写出下列问题中的函数关系式，并指出它们是什么函数？

⑴当路程s一定时，时间t与平均速度v之间的关系。

⑵质量为m(kg)的'气体，其体积v(m3)与密度P(kg/m3)之间的

关系。

3、若y二为反比例函数，贝(m=

4、若y=(mT)为反比例函数，贝“m二。

(二)运用反比例函数的图象与性质解决问题

1、反比例函数的图象是

2、图象性质见下表(课件展示)：

3、做一做(课件展示)

(1)函数厂的图象在第_____象限，当.

(2)双曲线y=经过点(-3,)o

(3)函数y二的图象在二、四象限内，m的取值范围是.

(4)若双曲线经过点(-3,2),则其解析式是.

(5)已知点A(-2,yl),B(-l,y2)C(4,y3)都在反比例函数产

的图象上，则yl、y2与y3的大小关系(从大到小)为

(三)综合运用(课件展示)

一次函数的图像y=a_+b与反比例函数y二交与M(2,m)、N(-

1,-4)两点。(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)根据图像

写出反比例函数的值大于一次函数的值的—的取值范围

三、随堂练习

见课件

四、小结

1、反比例函数的意义

2、反比例函数的图象与性质

五、作业：

配套练习22页21、22题反比例函数的教学设计9

教学目标

1、经历从实际问题抽象出反比例函数的探索过程，发展学生的

抽象思维能力。

2、理解反比例函数的概念，会列出实际问题的反比例函数关系

式。

3、使学生会画出反比例函数的图象。

4、经历对反比例函数图象的观察、分析、讨论、概括过程，会

说出它的性质。

教学重点

1、使学生了解反比例函数的表达式，会画反比例函数图象

2、使学生掌握反比例函数的图象性质

3、利用反比例函数解题

教学难点

1、列函数表达式

2、反比例函数图象解题

教学过程

教师活动

一、作业检查与讲评

二、复习导入

1、什么是正比例函数？

我们知道当

（1）当路程S一定，时间t与速度V成反比例，即vt=s（s是

常数）

（2）当矩形面积一定时，长a和宽b成反比例，即ab=s（s是

常数）

创设问题情境

问题1:小华的爸爸早晨骑自行车带小华到15千米外的镇上去

赶集，回来时让小华乘坐公共汽车，用的时间少了。假设自行车和

汽车的速度在行驶过程中都不变，爸爸要小华找出从家里到镇上的

时间和乘坐不同工具的速度之间的关系。

分析和其他实际问题一样，要探求两个变量之间的关系，就应

先选用适当的符号表示变量，再根据题意列出相应的函数关系式。

设小华乘坐工具的速度是V千米/时，从家里到镇上的时间是t

小时。因为在匀速运动中，时间二路程+速度，所以

从这个关系式中发现：

1、路程一定时，时间t就是速度V的反比例函数。即速度增大

了，时间变小；速度减小了，时间增大。

2、自变量v的取值是v>0。

问题2：学校课外生物小组的'同学准备自己动手，用旧围栏建

一个面积为24平方米的矩形饲养场。设它的一边长为—（米），求

另一边的长y（米）与.的函数关系式。

分析根据矩形面积可知

_y=24,即

从这个关系中发现：

1、当矩形的面积一定时，矩形的一边是另一边的反比例函数。

即矩形的一边长增大了，则另一边减小；若一边减小了，则另一边

增大；

2、自变量的取值是一>0。反比例函数的教学设计10

一、知识与技能

1.从现实情境和已有的知识、经验出发、讨论两个变量之间的

相依关系，加深对函数、函数概念的理解.

2.经历抽象反比例函数概念的过程，领会反比例函数的意义，

理解反比例函数的概念.

二、过程与方法

1.经历对两个变量之间相依关系的诃论，培养学生的辨别唯物

主义观点.

2.经历抽象反比例函数概念的过程，发展学生的抽象思维能力,

提高数学化意识.

三、情感态度与价值观

1.经历抽象反比例函数概念的过程，体会数学学习的重要性，

提高学生的学习数学的兴趣.

2.通过分组讨论，培养学生合作交流意识和探索精神.

教学重点：

理解和领会反比例函数的概念.

教学难点：

领悟反比例的概念.

教学过程：

一、创设情境，导入新课

活动1

问题：下列问题中，变量间的对应关系可用怎样的函数关系式

表示？这些函数有什么共同特点？

(1)京沪线铁路全程为1463km,乘坐某次列车所用时间t(单位:

h）随该列车平均速度v（单位：km/h）的变化而变化;

（2）某住宅小区要种植一个面积为1000m2的矩形草坪，草坪的

长为y随宽—的变化；

（3）已知北京市的总面积为1.68」04平方千米，人均占有土地

面积S（单位：平方千米/人）随全市人口n（单位：人）的变化而

变化.

师生行为：

先让学生进行小组合作交流，再进行全班性的问答或交流.学生

用自己的语言说明两个变量间的关系为什么可以看着函数，了解所

讨论的函数的表达形式.

教师组织学生讨论，提问学生，师生互动.

在此活动中老师应重点关注学生：

①能否积极主动地合作交流.

②能否用语言说明两个变量间的关系.

③能否了解所讨论的函数表达形式，形成反比例函数概念的具

体形象.

分析及解答：（1）;（2）；（3）

其中v是自变量，t是v的函数；—是自变量，y是—的函数；n

是自变量，s是n的函数；

上面的函数关系式，都具有的形式，其中k是常数.

二、联系生活，丰富联想

活动2

下列问题中，变量间的对应关系可用这样的函数式表示？

(1)一个游泳池的容积为20_m3,注满游泳池所用的时间随

注水速度u的变化而变化；

(2)某立方体的.体积为1000cm3,立方体的高h随底面积S

的变化而变化；

(3)一个物体重100牛顿，物体对地面的压力p随物体与地面

的接触面积S的变化而变化.

师生行为

学生先独立思考，在进行全班交流.

教师操作课件，提出问题，关注学生思考的过程，在此活动中,

教师应重点关注学生：

(1)能否从现实情境中抽象出两个变量的函数关系；

(2)能否积极主动地参与小组活动；

(3)能否比较深刻地领会函数、反比例函数的概念.

分析及解答：(1);(2)；(3)

概念：如果两个变量y之间的关系可以表示成的形式，那么

y是—的反比例函数，反比例函数的自变量—不能为零.

活动3

做一做：

一个矩形的面积为20cm2,相邻的两条边长为_cm和ycm.那

么变量y是变量—的函数吗？是反比例函数吗？为什么？

师生行为:

学生先进行独立思考，再进行全班交流.教师提出问题，关注

学生思考.此活动中教师应重点关注：

①生能否理解反比例函数的意义，理解反比例函数的概念；

②学生能否顺利抽象反比例函数的模型；

③学生能否积极主动地合作、交流；

活动4

问题1：下列哪个等式中的y是一的反比例函数？

问题2：已知y是一的反比例函数，当—二2时，y二6

(1)写出y与—的函数关系式：

(2)求当_二4时，y的值.

师生行为：

学生独立思考，然后小组合作交流.教师巡视，查看学生完成

的情况，并给予及时引导.在此活动中教师应重点关注：

①学生能否领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念；

②学生能否积极主动地参与小组活动.

分析及解答：

1.只有_尸123是反比例函数.

2.分析：因为丫是_的反比例函数，所以、，再把_二2和尸6代

入上式就可求出常数k的值.

解：(1)设，因为_=2时，y=6,所以有解得k=12

三、巩固提高

活动5

1.已知y是一的反比例函数，并且当_=3时，y=？8.

(1)写出丫与_之间的函数关系式.

(2)求y=2时—的值.

2.y是—的反比例函数，下表给出了_与丫的一些值：

(1)写出这个反比例函数的表达式；

(2)根据函数表达式完成上表.

学生独立练习，而后再与同桌交流，上讲台演示，教师要重点

关注“学困生”.

四、课时小结

反比例函数概念形成的过程中，大家充分利用已有的生活经验

和背景知识，注意挖掘问题中变量的相依关系及变化规律，逐步加

深理解.在概念的形成过程中，从感性认识到理发认识一旦建立概

念，即已摆脱其原型成为数学对象.反比例函数具有丰富的数学含

义，通过举例、说理、讨论等活动，感知数学眼光，审视某些实际

现象.反比例函数的教学设计11

教学目标：

1、理解反比例函数，并能从实际问题中抽象出反比例关系的函

数解析式；

2、会画出反比例函数的图象，并结合图象分析总结出反比例函

数的性质；

3、渗透数形结合的数学思想及普遍联系的辨证唯物主义思想；

4、体会数学从实践中来又到实际中去的研究、应用过程；

5、培养学生的观察能力，及数学地发现问题，解决问题的能力.

教学重点：

结合图象分析总结出反比例函数的性质；

教学难点：描点画出反比例函数的图象

教学用具：直尺

教学方法：小组合作、探究式

教学过程：

1、从实际引出反比例函数的概念

我们在小学学过反比例关系.例如：当路程S一定时，时间t与

速度v成反比例

即vt=S（S是常数）；

当矩形面积S一定时，长a与宽b成反比例，即ab=S（S是常数）

从函数的观点看，在运动变化的过程中，有两个变量可以分别

看成自变量与函数，写成：

（S是常数）

（S是常数）

一般地，函数（k是常数，）叫做反比例函数.

如上例，当路程S是常数时，时间t就是v的反比例函数.当矩

形面积S是常数时，长a是宽b的反比例函数.

在现实生活中，也有许多反比例关系的例子.可以组织学生进行

讨论.下面的例子仅供

2、列表、描点画出反比例函数的图象

例1、画出反比例函数与的图象

解：列表

说明：由于学生第一次接触反比例函数，无法推测出它的大致

图象.取点的时候最好多取几个，正负可以对称着取分别画点描图

一般地反比例函数(k是常数，)的图象由两条曲线组成，叫

做双曲线.

3、观察图象，归纳、总结出反比例函数的性质

前面学习了三类基本的初等函数，有了一定的基础，这里可视

学生的程度或展开全面的讨论，或在老师的引导下完成知识的学习.

显示这两个函数的.图象，提出问题：你能从图象上发现什么有

关反比例函数的性质呢?并能从解析式或列表中得到论证.(下列答案

仅供参考)

(1)的图象在第一、三象限,可以扩展到k0时的情形，即kO

时，双曲线两支各在第一和第三象限.从解析式中，也可以得出这个

结论：_y=k,即一与y同号，因此，图象在第一、三象限.

的讨论与此类似.

抓住机会，说明数与形的统一，也渗透了数形结合的数学思想

方法.体现了由特殊到一般的研究过程.

(2)函数的图象，在每一个象限内，y随—的增大而减小；

从图象中可以看出，当.从左向右变化时，图象呈下坡趋势.从

列表中也可以看出这样的变化趋势.有理数除法说明了同样的道理，

被除数一定时，若除数大于零，除数越大，商越小；若除数小于零，

同样是除数越大，商越小.由此可归纳出，当kO时，函数的图象，

在每一个象限内，y随—的增大而减小.

同样可以推出的图象的性质.

(3)函数的图象不经过原点，且不与—轴、y轴交.从解析式中

也可以看出，.如果—取值越来越大时，y的值越来越小，趋近于零;

如果—取负值且越来越小时，y的值也越来越趋近于零.因此，呈现

的是双曲线的样子.同理，抽象出图象的性质.

函数的图象性质的讨论与次类似.

4、小结：

本节课我们学习了反比例函数的概念及其图象的性质.大家展开

了充分的讨论，对函数的概念，函数的图象的性质有了进一步的认

识.数学学习要求我们要深刻地理解，找出事物间的普遍联系和发展

规律，能数学地发现问题，并能运用已有的数学知识，给以一定的

解释.即数学是世界的一个部分，同时又隐藏在世界中.

5、布置作业习题13.81-4反比例函数的教学设计12

目标：

1、使学生理解反比例函数的概念；

2、使学生能根据问题中的条件确定反比例函数的解析式；

3、能结合图象理解反比例函数的性质。

4、培养学生用数形结合的思想与方法解决数学问题。

重点：反比例函数的图象的画法及性质

难点：

1、选取适当的点画反比例函数的'图象；

2、结合反比例函数图象说出它们的性质。

教学过程：

一、复习引入

1、什么叫一次函数？什么叫正比例函数？写出它们的一般式°

它们有何关系？

2、正比例函数的图象与性质：

正比例函数反比例函数

解析式y=k_(kO)y=k/_或(kO)

图象经过(0,0)与(1,k)两点的直线双曲线

当kO时，图象经过一、三象限；当kO时，图象经过二、四象

限；当kO时，图象经过一、三象限；当kO时，图象经过二、四象

限；

性质：当kO时，Y随着一的增大而增大；当kO时，Y随着一的增

大而减小；当kO时，Y随着—的增大而减小；当kO时，Y随着—的

增大而增大；

3、学学过反比例关系下面我们举几个例子

例1矩形的面积是12cm2,写出矩形的一边y(cm)和另一边—

(cm)之间的用函数关系式。

例2两个变量一和y的乘积等于一6,写出丫与_之间的函数关

系式。

4、提出问题：

上面两个问题从关系式看，它们是不是正比例函数？为什么？

答：不是，因为不符合正比例函数y=k_的形式，它们的关系是

反比例关系。

二、讲解新课

1、反比例函数的定义

一般地，(k为常数，kO)叫做反比例函数，即y是.的反比例

函数，也可以写成

例3、知函数y=(m2+m一2)_m一2m-9是反比例函数，求n

的值。

例4、已知变量丫与_成反比例，当_二3时，y二一6；那么当

尸3时，_的值是()；

例5、已知点A(—2,a)在函数的图像上，则"；

2、反比例函数的图象

例6、画出反比例函数的图象(师生分别画图)

步骤：(1)列表(强调_不能取0,为保证其图的对称性，一要

取适当的值)

(2)描点(准确性要高)

(3)连线(用一条平滑曲线根据自变量由小到大的顺序把这些

点连结起来)

归纳：

(1)反比例函数的图象由两条曲线组成(),叫做双曲线。

(2)讨论反比例函数图象的画法：

①反比例函数的图象不是直线，两点法是不能画的，它的图象

是双曲线，图象关于原点成中心对称。列表时自变量的.值可以选取

绝对值相等而符号相反的数(如1,2等等)相应地就得到绝对值相

等而符号相反的对应的函数值。这样即可以简化计算的手续，又便

于在坐标平面内找到点。

②反比例函数的图象的两支都无限地接近但永远不能达到一轴

和y轴，所以图象与_轴丫轴没有交点。如果发现画的图象无限接近

坐标轴后，又偏离坐标轴，这也是错误的，教师可在课堂上演示，

并说明错误的原因°

③选取的点越多画的图越准确；

④画图注意其美观性(对称性、延伸特征)

3、反比例函数的性质

再让学生观察黑板上的图，提问：

(1)当()时，双曲线的两个分支各在哪个象限？在每个象限

内，丫随_的增大怎样变化？

(2)当()时，双曲线的两个分支各在哪个象限？在每个象限

内，丫随_的增大怎样变化？这两个问题由学生讨论总结之后回答。

教师板书：

(1)当kO时，函数图象的两个分支分别分布在第一、三象限

内，在每一个象限中，y随—的增大而减小；当kO时，两个分支分

别分布在第二、四象限内，在每一个象限中，y随—的增大而增大。

(2)两个分支都无限接近但永远不能达到一轴和y轴。

4、反比例函数的这一性质与正比例函数的性质有何异同？

例6、已知函数在每一象限内，y随—的减小而减小，那么k的

取值范围是

例7、在同一坐标系中，函数和y=k_+3的图像大致是（）

ABCD

4、课堂练习：第129页广3

5、课堂小结反比例函数的教学设计13

教学目标

知识与技能：1.进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作反比

例函数的图象。

2.体会函数的三种表示方法的相互转换，对函数进行认识上的

整合。

3.培养学生从函数图象中获取信息的能力，初步探索反比例函

数的性质。

过程与方法：通过学生自己动手列表，描点，连线，提高学生的作

图能力；通过观察图象，概括反比例函数图象的有关性质，训练学生的

概括总结能力.

情感、态度与价值观：让学生积极参与到数学学习活动中去，增

强他们对数学学习的好奇心和求知欲。

教学重点

教学难点1）重点：画反比例函数图象并认识图象的特点.

2）难点：画反比例函数图象.

教学关键教师画图中要规范，为学生树立一个可以学习的模板

教学方法激发诱导，探索交流，讲练结合三位一体的教学方式

教学手段教师画图，学生模仿

教具三角板，小黑板

学法学生动手，动眼，动耳，采用自主，合作，探究的学习方法

教学过程

(包含课前检测、新课导入、新课讲解、课堂练习、小结、形成

性检测、反馈拓展、作业布置)

内容设计意图

一：课前检测：

1.什么叫做反比例函数；

(一般地，如果两个变量_、y之间的关系可以表示成y二(k为

常数，kO)的形式，那么称y是一的反比例函数。)

2.反比例函数的定义中需要注意什么？

(l)k为常数，kO

(2)从y=中可知.作为分母，所以.不能为零.

二：激发兴趣导入新课

问题1：对于一次函数y=k_+b(k0)的图象与性质，我

们是如何研究的？

y=k_+by=k_

K0一、二、三一、三

bO一、三、四

KO一、二、四二、四

bO二、三、四

问题2：对于反比例函数y-k/_(k是常数,k0),我们能否

象一次函数那样进行研究呢？

可以

问题3：画图象的步骤有哪些呢？

⑴列表

(2)描点

(3)连线

(教学片断：

师：上一节课我们研究了反比例函数，今天我们继续研究反比

例函数，下面哪位同学说一下自己对反比例函数的了解。

生：我知道反比例函数来源于生活，生活中的许多问题都属于

反比例函数问题，例如，在匀速运动中当路程一定时，且路程不等

于零，则速度与时间成反比例函数关系。

生：我知道反比例函数的解析式为且k不等于0

生：我知道反比例函数的图象是曲线。

师：同学们说的都很好，关于反比例函数，相信大家还会知道

一些，今天我们先讨论到这里.现在大家思考一个问题，我们在研究

一次函数时研究完解析式后，研究的是函数图象，那么对于反比例

函数我们接下来该研究什么呢？

生：该研究反比例函数图象和性质了。

师：现在给大家几分钟的时间探讨一下反比例函数图象该怎么

画？

三：探求新知

学生思考、交流、回答。

提问：你能画出的图象吗？

学生动手画图，相互观摩。

(1)列表(取值的特殊与有效性)

_-8-4-2-1-1/21/21248

(2)描点(描点的准确)

(3)连线(注意光滑曲线)

议一议

(1)你认为作反比例函数图象时应注意哪些问题？与同伴进行交

流。

(2)如果在列表时所选取的数值不同，那么图象的形状是否相同？

(3)连接时能否连成折线？为什么必须用光