2025-2026学年高二数学上学期第一次月考卷（湘教版）含答案解析

/2025-2026学年高二数学上学期第一次月考卷（时间：120分钟满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：数列+直线方程。5．难度系数：0.65。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知经过两点的直线的斜率为，则实数的值为（）A. B. C. D.2．已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，是的前项和，则等于（）A.8 B.6 C. D.03．直线的方程为：，若直线不经过第一象限，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.4．等差数列的前项和为，若为定值时也是定值，则的值为（）A.13 B.11 C.9 D.不能确定5．已知点，，若过点的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（）A. B.C. D.6．如图所示，已知，，，，，一束光线从点出发射到上的点经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点），则直线的斜率的取值范围是（）A.B.C. D.7．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，若此数列被2除后的余数构成一个新数列，则数列的前2026项的和为（）A.1350 B.676 C.1351 D.13528．过定点的直线与过定点的直线交于点（与不重合），则面积的最大值为（）A.4 B. C.2 D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．以下四个命题叙述正确的是（）A.直线在轴上的截距是1B.直线和的交点为，且在直线上，则的值是C.设点是直线上的动点，为原点，则的最小值是2D.直线，若，则或210.已知数列满足，且，则下列正确的有（）A.B.数列的前项和为C.数列的前项和为D.若数列的前项和为，则11．对于数列（），定义为，，…，中最大值（）（），把数列称为数列的“M值数列”.如数列2，2，3，7，6的“M值数列”为2，2，3，7，7，则（）A.若数列是递减数列，则为常数列B.若数列是递增数列，则有C.满足为2，3，3，5，5的所有数列的个数为8D.若，记为的前n项和，则第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知是公比为的等比数列，若，则______.若直线过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为______．已知数列满足，若不等式对任意的都成立，则实数的取值范围是______.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知中，，，边所在直线方程为，边上的高所在直线方程为.（1）求边所在直线的方程；（2）求边的中线所在直线的方程.16．（15分）在等差数列中，的前项的和为．（1）求数列的通项公式；（2）求取最大值时的值；（3）设，求．17．（15分）已知直线和直线交于点，求满足下列条件的一般式直线方程.（1）过点且与直线平行；（2）过点且到原点的距离等于2；（3）直线关于直线对称的直线.18．（17分）如图，将一块等腰直角三角板置于平面直角坐标系中，已知，点是三角板内一点，现因三角板中部分（内部，不含边界）受损坏，要把损坏的部分锯掉，可用经过的任意一直线将其锯成．（1）求直线的斜率的取值范围；（2）若点满足，这样的直线是否存在，如不存在，请说明理由；若存在，求出此时直线的方程；（3）如何确定直线的斜率，才能使锯成的的面积取得最大值和最小值？并求出最值.19．（17分）在数列中，按照下面方式构成“次生数列”，…，，其中表示数列中最小的项.若数列中各项均不相等，只有4项，，且，请写出的所有“次生数列”；（2）若满足，且为等比数列，“次生数列”为.（i）求的值；（ii）求的前项和.

2025-2026学年高二数学上学期第一次月考卷（时间：120分钟满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：数列+直线方程。5．难度系数：0.65。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知经过两点的直线的斜率为，则实数的值为（）A. B. C. D.1.【答案】B【解析】依题意，.故选：B2．已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，是的前项和，则等于（）A.8 B.6 C. D.02.【答案】D【解析】，，成等比数列，，，化为，解得，则故选：D.3．直线的方程为：，若直线不经过第一象限，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.3.【答案】C【解析】若直线斜率不存在，即不经过第一象限，若直线斜率存在，即，所以，综上实数的取值范围为，故选：C.4．等差数列的前项和为，若为定值时也是定值，则的值为（）A.13 B.11 C.9 D.不能确定4.【答案】A【解析】因为为定值且，故为定值，故为定值，其中为公差.而，故当且仅当即时，为定值.故选：A.5．已知点，，若过点的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（）A. B.C. D.5.【答案】B【解析】记为点，直线的斜率，直线的斜率，因为直线l过点，且与线段相交，结合图象，可得直线的斜率的取值范围是．故选：B．6．如图所示，已知，，，，，一束光线从点出发射到上的点经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点），则直线的斜率的取值范围是（）A.B.C. D.6.【答案】B【解析】如图所示，从特殊位置考虑.∵点关于直线的对称点为，∴直线的斜率，∴.∵关于直线的对称点为，点关于直线的对称点为，此时直线的斜率不存在.综上，.故选：B.7．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，若此数列被2除后的余数构成一个新数列，则数列的前2026项的和为（）A.1350 B.676 C.1351 D.13527.【答案】C【解析】

，除以2

所得余数分别为

，即

是周期为3

的周期数列，因为

，

，所以数列的

前2026

项和为

.故选：C8．过定点的直线与过定点的直线交于点（与不重合），则面积的最大值为（）A.4 B. C.2 D.8.【答案】B【解析】【分析】根据方程可得定点A、B，并且可判断两直线垂直，然后利用基本不等式可得.【详解】动直线化为，可知定点，动直线化为，令，解得，可知定点，又，所以直线与直线垂直，为交点，.则，当且仅当时，等号成立.即面积的最大值为.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．以下四个命题叙述正确的是（）A.直线在轴上的截距是1B.直线和的交点为，且在直线上，则的值是C.设点是直线上的动点，为原点，则的最小值是2D.直线，若，则或29.【答案】BC【解析】对于A，直线在轴上的截距是，A错误；对于B，由解得，即，则，解得，B正确；对于C，依题意，，C正确；对于D，当时，直线重合，D错误.故选：BC10.已知数列满足，且，则下列正确的有（）A.B.数列的前项和为C.数列的前项和为D.若数列的前项和为，则10.【答案】ACD【解析】对A，由可得，故数列是以为首项，1为公差的等差数列，故，即，则，故A正确；对B，，故数列的前项和为，故B错误；对C，，则前项和为，故C正确；对D，，则，又易得随的增大而增大，故，即，故D正确.故选：ACD11．对于数列（），定义为，，…，中最大值（）（），把数列称为数列的“M值数列”.如数列2，2，3，7，6的“M值数列”为2，2，3，7，7，则（）A.若数列是递减数列，则为常数列B.若数列是递增数列，则有C.满足为2，3，3，5，5的所有数列的个数为8D.若，记为的前n项和，则11.【答案】ABD【解析】若数列是递减数列，则是，，…，中最大值（）（），所以，为常数列，A选项正确；若数列是递增数列，则是，，…，中最大值（）（），所以，即，B选项正确；满足为2，3，3，5，5，则，，可以取1，2，3，，可以取1，2，3，4，5，所有数列的个数为，C选项错误；若，则数列中奇数项构成递增的正项数列，偶数项都是负数，则有，所以，D选项正确.故选：ABD.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知是公比为的等比数列，若，则______.12.【答案】25【解析】因为所以故答案为：25若直线过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为______．13.【答案】或【解析】当截距为0时，设直线的方程为，将代入得，，解得，故直线的方程为，当截距不为0时，设直线的方程为，将代入得，，解得，故直线的方程为，故直线的方程为或.故答案为：或已知数列满足，若不等式对任意的都成立，则实数的取值范围是______.14.【答案】【解析】由，，可得，整理得，，所以数列表示首项为2，公差为1的等差数列.，则，又由恒成立，即，对恒成立，令，当且仅当，即时等号成立，又，当时，，当时，，由对勾函数的单调性，得，所以.所以实数的取值范围是.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知中，，，边所在直线方程为，边上的高所在直线方程为.（1）求边所在直线的方程；（2）求边的中线所在直线的方程.15．（13分）【解析】（1）因为边所在直线方程为，故可设，因为边上的高所在直线方程为，所以，所以，所以，故所求为，即；（2）因为，，设中点为，所以，因为，所以，故所求为，即.16．（15分）在等差数列中，的前项的和为．（1）求数列的通项公式；（2）求取最大值时的值；（3）设，求．16．（15分）【解析】（1）由题意知在等差数列中，，设公差为d，则，则，故，故通项公式．（2）结合（1）可得，当时，取最大值．（3），由，得，即时有，时有，若，，若时，，综合上述．17．（15分）已知直线和直线交于点，求满足下列条件的一般式直线方程.（1）过点且与直线平行；（2）过点且到原点的距离等于2；（3）直线关于直线对称的直线.17．（15分）【解析】（1）联立方程，解得，．设与直线平行的直线为，由题意得：，，故满足要求的直线方程为：．（2）①当所求直线斜率不存在时，直线方程为，满足到原点的距离为2；②当所求直线斜率存在时，设直线方程为，即，原点到该直线的距离为，解得，直线方程为，综上所述，符合题意的直线方程为或．（3）在上取一点，设点关于直线的对称点为点，则，解得，，又，则直线的方程即所求直线方程，为，化简得，.故所求的直线方程为：．18．（17分）如图，将一块等腰直角三角板置于平面直角坐标系中，已知，点是三角板内一点，现因三角板中部分（内部，不含边界）受损坏，要把损坏的部分锯掉，可用经过的任意一直线将其锯成．（1）求直线的斜率的取值范围；（2）若点满足，这样的直线是否存在，如不存在，请说明理由；若存在，求出此时直线的方程；（3）如何确定直线的斜率，才能使锯成的的面积取得最大值和最小值？并求出最值.18．（17分）【解析】（1）依题意，得MN方程为：，即，∵AB⊥OB，|AB|＝|OB|＝1，∴直线OA方程为：y＝x，直线AB方程为：x＝1，联立，得．联立，得.所以，解得；（2）若，可得，解得，所以直线的方程为，整理得（3）在中，由（1）知：S△AMN＝＝．设，设．∴f（t）在是单调递增．∴当时，，即当1﹣k＝时即k＝时，（S）max＝当时，，即当1﹣k＝时即k＝时，（S）min＝，面积的取值范围.19．（17分）在数列中，按照下面方式构成“次生数列”，…，，其中表示数列中最小的项.若数列中各项均不相等，只有4项，，且，请写出的所有“次生数列”；（2）若满足，且为等比数列，“次生数列”为.（i）求的值；（ii）求的前项和.19．（17分）【解析】（1）因为，，中各项均不相等，所以，若，此时“次生数列”为，若，此时“次生数列”为，若，此时“次生数列”为，所以“次生数列”的定义可知有3个，分别为或或.（2）（i）设数列公比为，因为为等比数列，且，所以，即，解得，所以，则.由“次生数列”的定义，可知，，故.（ii）由（i）可知当为偶数时，，①，②由①-②得，所以.当时，，当为奇数且时，为偶数，则，显然当时，也符合上式，故

2025-2026学年高二数学上学期第一次月考卷参考答案第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。12345678BDCABBCB二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．91011BCACDABD第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．25 13．或 14．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）【解析】（1）因为边所在直线方程为，故可设，因为边上的高所在直线方程为，所以，（2分）所以，所以，（4分）故所求为，即；（6分）（2）因为，，设中点为，所以，（8分）因为，所以，（10分）故所求为，即（13分）16．（15分）【解析】（1）由题意知在等差数列中，，设公差为d，则，则，故，故通项公式．（4分）（2）结合（1）可得，当时，取最大值．（8分）（3），由，得，即时有，时有，（10分）若，，（12分）若时，，（14分）综合上述.（15分）17．（15分）【解析】（1）联立方程，解得，．（2分）由题意得：，