第12章 概率初步 章末大总结（高效培优讲义）数学沪教版2020必修第三册（原卷版）

2/37第12章概率初步章末大总结教学目标通过对随机事件、必然事件、不可能事件概念、样本空间、古典概型、频率与概率的学习，培养学生数学抽象、数学建模、数学运算素养.教学重难点教学重点：结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义．两个随机事件独立性的含义。理解概率的性质．理解古典概型。教学难点：理解随机事件与样本点的关系．能计算古典概型中简单随机事件的概率。会用频率估计概率知识点01样本点与样本空间(1)定义：我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验的样本空间．(2)表示：一般地，我们用表示样本空间，用表示样本点．如果一个随机试验有个可能结果，，…，，则称样本空间为有限样本空间．【即学即练】写出下列试验的样本空间：随意安排甲、乙、丙、丁4人在4天值班，每人值班1天，记录值班的情况．知识点02古典概率1.古典概型具有以下特征的试验叫做古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等.2.古典概型的概率公式一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝eq\f(k,n)＝eq\f(n（A）,n（Ω）).其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.【即学即练】抽取某车床生产的8个零件，编号为，，…，，测得其直径（单位：cm）分别为：1.51，1.49，1.49，1.51，1.49，1.48，1.47，1.53，其中直径在区间内的零件为一等品．(1)从上述非一等品的零件中，有放回地依次随机抽取2个，求至少包含一个直径为1.48的零件的概率；(2)从上述一等品零件中，不放回地依次随机抽取2个，用零件的编号列出所有可能的抽取结果，并求这2个零件直径相等的概率．知识点03事件的关系1.包含关系一般地，若事件发生，则事件一定发生，称事件包含事件(或事件包含于事件)，记作：(或)图示2.相等关系如果事件包含事件，事件也包含事件，即且，则称事件与事件相等，记作：；3.并事件(或和事件)一般地，事件与事件至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件中，或者在事件中，我们称这个事件为事件与事件的并事件(或和事件)，记作：(或).图示：4.交事件(或积事件)一般地，事件与事件同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件中，也在事件中，我们称这样的一个事件为事件与事件的交事件(或积事件)，记作：(或).图示：5.互斥事件一般地，如果事件与事件不能同时发生，也就是说是一个不可能事件，即，则称事件与事件互斥(或互不相容)，符号表示：.图示：6.对立事件一般地，如果事件和事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，即，且，那么称事件与事件互为对立，事件的对立事件记为，符号表示：，且.图示：【即学即练】如果事件A，B互斥，且事件C，D分别是A，B的对立事件，那么（

）A．是必然事件 B．是必然事件C．C与D一定互斥 D．C与D一定不互斥知识点04可加性性质3：如果事件与事件互斥，那么；注意：只有事件与事件互斥，才可以使用性质3，否则不能使用该加法公式.性质4：如果事件与事件互为对立事件，那么，；【即学即练】已知随机事件和互斥，和对立，且，则（

）A． B． C． D．知识点05相互独立事件的概念对任意两个事件与，如果成立，则称事件与事件相互独立(mutuallyindependent)，简称为独立．性质1：必然事件、不可能事件与任意事件相互独立性质2：如果事件与相互独立，则与，与，与也相互独立则：，，【即学即练】抛掷两枚质地均匀的硬币，设“第一枚正面朝上”，“第二枚反面朝上”，则事件与事件（

）A．相互独立 B．互为对立事件C．互斥 D．相等知识点06相互独立事件的概率乘法公式（1）若A与B相互独立，则，同时，，;(2)若两两独立，则【即学即练】连续抛掷一颗质地均匀的正方体骰子两次（正方体六个面上的点数分别为），记录抛掷结果向上的点数.设事件：第一次点数为1，事件：两次点数之和为，若事件与事件互斥，则的最小值为；若事件与事件相互独立，则的值为.题型01样本点与样本空间【典例1】在如下图的的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有1个方格被选中，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最小值是.8273262323376362738665263966【变式1】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，观察抽得的2张卡片上的数字，设抽得的第1张卡片上的数字大于第2张卡片上的数字为事件Q，则事件Q含有的样本点个数为（

）A．8 B．10 C．11 D．15【变式2】一个家庭中两个孩子性别的样本空间（年龄大的孩子写左边，年龄小的孩子写右边）．【变式3】写出下列试验的样本空间：(1)随意安排甲、乙、丙、丁4人在4天节日中值班，每人值班1天，记录值班的情况；(2)从一批产品（次品和正品的个数均大于3件）中，依次任选三件，记录出现正品与次品的情况.【变式4】连续抛掷3枚硬币，观察朝上的面．(1)写出这一随机试验的样本空间；(2)写出“恰有两枚正面向上”这一事件相应的样本空间的子集．题型02计算古典概型【典例1】某商场举办有奖促销活动，在抽奖盒中放有7张抽奖券，其中3张抽奖券有奖品，若小李从中一次性随机抽出2张抽奖券，则小李能获得奖品的概率为（

）A． B． C． D．【变式1】某运动员每次投掷飞镖命中靶心的概率为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中靶心，5，6，7，8，9，0表示未命中靶心；再以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：02

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07据此估计，该运动员两次掷镖恰有一次命中靶心的概率为（

）A．0.50 B．0.45 C．0.40 D．0.35【变式2】抛掷一红一绿两颗质地均匀的六面体骰子，记下骰子朝上面的点数，若用x表示红色骰子的点数，用y表示绿色骰子的点数，设“两个点数之和等于8”，“至少有一颗骰子的点数为5”；(1)分别求事件A，B的概率；(2)求事件的概率.【变式3】将一枚质地均匀的正方体骰子（点数分别为1，2，3，4，5，6）连续抛掷三次，求下列事件的概率.(1)点数都为奇数；(2)至少出现一次3点；(3)三个点数之和为8.【变式4】10．某班元旦联欢会上开展趣味抽奖小游戏，在不透明的盒子里装有标号为1，2的两个红球和标号为3，4，5的三个白球，五个小球除颜色和标号外完全相同，参与游戏的同学从中任取1个，有放回地抽取2次，根据抽到小球的情形分别设置一，二，三等奖．班委会讨论了以下两种规则：规则一：若抽到两个红球且标号和为偶数获一等奖，抽到两个白球且标号和为偶数获二等奖，抽到两个球标号和为奇数获三等奖，其余不获奖；规则二：若抽到两个红球且标号和为奇数获一等奖，抽到两个球的标号和为5的倍数获二等奖，抽到两个球标号和为偶数,且不是5的倍数获三等奖，其余不获奖．(1)求两种规则下获得二等奖的概率；(2)请问哪种规则的获奖概率更大，并说明理由．题型03有放回与无放回概率【典例1】一个盒子中装有标号为1，2，3，5的4张标签，依次随机选取两张标签，用数组表示可能的结果，其中m表示第一次取出的标签上的数字，n表示第二次取出的标签上的数字．(1)若标签的选取是不放回的，写出样本空间，并求的概率；(2)若标签的选取是有放回的，写出样本空间，并求的概率．【变式1】一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的5张标签，随机地选取两张标签并求标签上的数字之和．记不放回地选取且和为6的概率为，有放回地选取且和为6的概率为，则的值为（

）A．2 B．1 C． D．【变式2】袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中有放回地依次随机摸出2个球，那么这2个球同色的概率为（

）A． B． C． D．【变式3】口袋内有红、白、黄大小完全相同的三个小球，若从袋中摸出一个后放回，再摸出一个，求第一次摸出红球，第二次摸出白球的概率．【变式4】口袋内有红、白、黄大小完全相同的三个小球，求：(1)从中任意摸出两个小球，摸出的是红球和白球的概率；(2)从袋中摸出一个后放回，再摸出一个，两次摸出的球是一红一白的概率．题型04判断事件的互斥，对立关系【典例1】从一批产品（其中正品､次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数和次品件数，下列事件是互斥事件的是.①恰好有1件次品和恰好有2件次品；②至少有1件次品和全是次品；③至少有1件正品和至少有1件次品；④至少有1件次品和全是正品.【变式1】某人连续投篮两次，下列事件中与事件“恰有一次投中”互斥的为（

）A．至多有一次投中 B．至少有一次投中C．恰有一次没有投中 D．两次都投中【变式2】某学校实验室培育红豆与绿豆种子各三颗，若每颗种子是否发芽是随机的，则下列各组事件中，是互斥事件的是（

）A．“恰有一颗红豆种子不发芽”与“至多两颗红豆种子不发芽”B．“恰有四颗种子发芽”与“至少两颗红豆种子、两颗绿豆种子发芽”C．“至少五颗种子发芽”与“至多一颗绿豆种子发芽”D．“恰有两颗红豆种子发芽”与“恰有一颗绿豆种子发芽”【变式3】抛掷一枚骰子，记事件为“落地时向上的点数是奇数”，事件为“落地时向上的点数是偶数”，事件为“落地时向上的点数是4的倍数”，则上述事件是互斥事件但不是对立事件的两个事件是．题型05互斥事件的概率加法公式【典例1】已知为随机事件，与互斥，与互为对立，且，则（

）A． B． C． D．【变式1】已知两个互斥事件A，B满足，，则（

）A．0.4 B．0.3 C．0.6 D．0.1【变式2】设A、B、C为三个随机事件，其中A与B是互斥事件，B与C互为对立事件，，，则.【变式3】已知事件和事件互斥，若且，则.题型06独立事件的判断【典例1】在一个质地均匀的正方体骰子的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，连续抛掷这个骰子两次，并记录每次骰子向上一面的点数，记事件A为“第一次记录的数字为偶数”，事件B为“第二次记录的数字为偶数”，事件C为“两次记录的数字之和为偶数”，则下列结论正确的是①事件A与事件B是相互独立事件，②事件A与事件C是互斥事③④【变式1】已知下列各组事件：①抛掷1枚质地均匀的骰子一次，事件M：出现的点数为奇数，事件N：出现的点数为偶数；②袋中有除颜色外完全相同的5个白球5个黄球，依次不放回地摸两次，事件M：第1次摸到白球，事件N：第2次摸到白球；③分别抛掷2枚相同的硬币，事件M：第1枚为正面朝上，事件N：两枚朝上的结果相同；④一枚硬币抛掷两次，事件M：第一次为正面朝上，事件N：第二次为反面朝上．其中M、N是独立事件的序号为．【变式2】一个口袋中装有3个白球和3个黑球．①事件A：第一次摸出的是白球，事件B：第一次摸出的是黑球；②摸出后放回，事件A：第一次摸出的是白球，事件B：第二次摸出的是黑球；③摸出后不放回，事件A：第一次摸出的是白球，事件B：第二次摸出的是黑球；④一次摸两个球，共摸两次，事件A：第一次摸出颜色相同的球，事件B：第一次摸出颜色不同的球．以上各组事件是独立事件的序号为．【变式3】分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A是“第一枚为正面朝上”，事件B是“第二枚为正面朝上”，事件C是“两枚结果相同”，则下列事件具有相互独立性的有（用数字①②③作答）①事件A与事件B；②事件A与事件C；③事件C与事件B.【变式4】当时，若，则事件与事件为事件（选填互斥，对立或者相互独立）题型07独立事件的乘法公式【典例1】一个工人看管三台自动机床，在一小时内第一、二、三台机床不需要照顾的概率为0.9，0.8，0.8，在一小时的过程中，求至少有一台机床需要照顾的概率．【变式1】已知事件与事件独立，且，，则=.【变式2】经过多年的技术积累，我国在车床加工零件方面取得长足进步.某工厂加工的产品按技术指标从高到低可分为优品，良品，合格品和不合格品四个等级.按以往统计数据：100个零件中有40件优品，50件良品，5件合格品和5件不合格品.现该工厂向某地发货1000件产品.对方验货的规则如下：如果抽检的第一件产品是优品或良品，则接收全部产品；如果抽检的第一件产品是合格品，则再检验两件，如果都是优品或良品，则接收整批产品.其余情况拒收整批产品.若用频率代替概率，用随机抽样的方法采样，问本批产品被拒收的概率是.【变式3】已知事件和事件相互独立，，则．【变式4】某同学从家到学校要经过三个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，该同学在各路口遇到红灯的概率分别为，则该同学从家到学校遇到两次红灯的概率为.题型08独立事件的实际应用【典例1】2020年1月，教育部发布《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（简称“强基计划”），明确从2020年起强基计划取代原有的高校自主招生方式．某高校笔试环节要求考生参加三个科目考核，考生通过三个科目的笔试考核才能进入面试环节．考生甲通过三个科目的笔试考核的概率分别为，且每个科目考核相互独立，则甲顺利进入面试环节的概率为（

）A． B． C． D．【变式1】如图，甲乙做游戏，两人通过划拳（剪刀、石头、布）比赛决胜谁首先到达第3格，并规定从0格出发，每次划拳赢的一方往右前进一格，输的一方原地不动，平局时两人都往右前进一格．如果一方连续赢两次，那么他将额外获得右前进一格的奖励，除非已经到达第3格，当有任何一方到达第3格时游戏结束，则游戏结束时恰好划拳3次的概率为（

）0123A． B． C． D．【变式2】概率论起源于博弈游戏17世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏每局比赛都能分出胜负，没有平局双方约定，各出赌金180枚金币，先赢3局者可获得全部赎金；但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局.问这360枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方案.该分配方案是（

）A．甲180枚，乙180枚B．甲288枚，乙72枚C．甲240枚，乙120枚D．甲270枚，乙90枚【变式3】概率论起源于博弈游戏17世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：博弈水平相当的甲､乙两人进行博弈游戏每局比赛都能分出胜负，没有平局.双方约定，各出赌金150枚金币，先赢3局者可获得全部赎金；但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局.向这300枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方案.该分配方案是（

）A．甲150枚，乙150枚 B．甲225枚，乙75枚C．甲200枚，乙100枚 D．甲240枚，乙60枚【变式4】已知甲、乙两人射击的命中率分别是和．现二人同时向同一猎物射击，发现猎物只中一枪，则甲、乙分配猎物的比例应该是（

）A． B．C． D．1．已知事件，互斥，且事件发生的概率，且事件发生的概率，则事件，都不发生的概率是.2．在某市举办的城市运动会的跳高比赛中，甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别是0.7，0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响．若甲、乙各试跳两次，则两人中恰有一人第二次才成功的概率为．3．抛掷两枚质地均匀的正四面体骰子，每枚骰子的四个面上分别印有“”，“”，“”，“”四个数字．分别查看底面上的数字，则两个数字之和等于的概率为4．甲、乙两名同学参加某项测试，已知甲达标的概率为，乙达标的概率为，两人能否达标互不影响，则至少有一人达标的概率为.5．甲､乙两运动员进行乒乓球比赛，采用7局4胜制.在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，但打到平后，先多得2分者为胜方.在平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球.若在某局比赛中，甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立，在双方平后，甲先发球，则甲以赢下此局的概率为.6．某校美术社团在校园文化节期间制作了“金面罩”“锅神兽”“铜太阳神器”3枚三星堆文物图案印章，并为每位学生随机选择1枚盖章留念，则学生甲得到“金面罩”图案的概率为；学生乙和学生丙都得到“铜神兽”图案的概率为.7．如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或向右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到11：就是一条移动路线.从1移动到数字n（）的不同路线条数记为，从1移动到11的事件中，跳过数字n（）的概率记为，则的值为.8．某商场举行有奖问答游戏，每名参加者要依次回答