高二数学上学期第三次月考（沪教版2020必修第三册+空间向量及其应用高效培优·强化卷）（全解全析）

1/182025-2026学年高二数学上学期第三次月考卷强化卷·全解全析（考试时间：120分钟，分值：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：沪教版2020必修第三册（全部）+空间向量及其应用。一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。1．某景点对30天内每天的游客人数（单位：万人）进行统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的第75百分位数是.【答案】51【分析】根据百分位数的定义求解即可.【详解】因为，所以该样本的第75百分位数是按照从小到大的顺序排列的第23个数，即为51.故答案为：51.2．一颗质地均匀的骰子，它的六个面上分别有1点、2点、…、6点的标记，若掷两次骰子，则向上的一面出现的点数至少有一次是6点的概率是．【答案】【分析】求出掷两次骰子的试验含有的基本事件总数，再求出所求概率的事件含有的基本事件数，进而求出概率.【详解】掷两次骰子的试验有个基本事件，向上的一面出现的点数至少有一次是6点的事件含有的基本事件为：，共11个，所以向上的一面出现的点数至少有一次是6点的概率.故答案为：3．掷一枚质地均匀的骰子，观察其向上的点数，事件表示“出现小于的偶数点”，事件表示“出现小于的点”，则一次试验中，事件发生的概率为．【答案】【分析】利用列举法结合古典概型的概率公式可求出.【详解】由题意可知，样本空间为，，，故，由古典概型的概率公式可得.故答案为：.4．若事件与事件相互独立，，，则.【答案】【分析】先利用对立事件概率公式和独立事件乘法公式求得，再利用对立事件概率公式求解即可.【详解】因为，所以，所以，所以.故答案为：5．某校数学组老师的年龄分布茎叶图如图所示，则该校数学组老师年龄的中位数与极差之和为．【答案】68【分析】根据中位数和极差的计算公式即可求解.【详解】老师的年龄分别为27，28，32，33，36，36，38，40，45，52，54，58，故中位数为，极差为，故，故答案为：686．袋中有红球､黑球､黄球､绿球共12个，它们除颜色外完全相同，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，则得到黄球的概率是.【答案】【分析】设事件分别表示事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”，根据题意结合互斥事件的概率加法公式，列出方程组，即可求得答案.【详解】解：设事件分别表示事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”，则事件两两互斥，根据题意，得，即，解得，所以得到黄球的概率是.故答案为：.7．若，，则，.【答案】【分析】根据题意，存在实数，使得，列出方程组，即可求解.【详解】由向量，因为，则存在实数，使得，即，可得，解得.故答案为：；.8．已知数据，，，，的方差是4，则，，，，的方差为．【答案】16【分析】根据方差与平均数的计算公式，可得答案.【详解】由题意可得，，则，.故答案为：.9．设点在点确定的平面上，则实数．【答案】/【分析】根据题意，可得存在实数，使得，列出方程组，即可求解.【详解】由，，，，可得，因为点在点确定的平面上，则存在实数，使得，即，可得，解得.故答案为：.10．已知四面体，空间的一点满足，若共面，则实数的值为．【答案】【分析】利用四点共面的性质即可求解参数.【详解】空间的一点满足，由共面，可得，故答案为：11．在四棱柱中，平面ABCD，，，点E，F满足，，则直线EF与底面ABCD所成角的正弦值为.【答案】【分析】构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求直线EF与底面ABCD所成角的正弦值.【详解】如图，以A为坐标原点，AB、AD、所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，故，，，由，，所以，由题知是平面ABCD的一个法向量，设直线EF与底面ABCD所成角为，则，即直线EF与底面ABCD所成角的正弦值为故答案为：12．如图，已知正方体的棱长为2，为正方形底面内的一个动点，则以下结论正确的是.（填写所有正确结论的序号）（1）三棱锥的体积为定值；（2）若点为的中点，满足平面的点的轨迹长度为2；（3）以点为球心，为半径的球面与面的交线长为

【答案】（1）（3）【分析】利用等体积法，将三棱锥的体积转化为的体积，即可判断（1）；通过证明平面平面，说明当点在上时，有平面，求出的长，即可判断（2）；设点到平面的距离为，通过等体积法求出，说明以点为球心，为半径的球面与面的交线是一个圆，求出圆的周长，即可判断（3）.【详解】对于（1），设到上底面的距离为，则等于棱长2，，三棱锥的体积为定值，故（1）正确；对于（2），如图所示，取，的中点分别为，，连接，，，，

，.是正方体，，，，.又平面，平面，平面，同理可证平面，，平面平面，当点在上时，有平面.正方体棱长为2，，的中点分别为，，，故（2）错误；对于（3），设点到平面的距离为，为正三角形，点到平面的距离为2，由，可得，即，解得.，以点为球心，为半径的球面与平面的交线是一个圆，圆的半径，圆的周长为，故（3）正确.故答案为：（1）（3）二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．13．从装有2个白球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件（）A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B．“至少有一个黑球”与“至少有一个白球”C．“至少有一个黑球”与“都是白球”D．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”【答案】D【分析】根据互斥事件与对立的事件的概念判断即可.【详解】事件“至少有一个黑球”与“都是黑球”可同时发生，不是互斥事件，故A错误；“至少有一个黑球”与“至少有一个白球”可同时发生，不是互斥事件，故B错误；“至少有一个黑球”与“都是白球”，是互斥事件且对立，故C错误；“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”，互斥又不对立，故D正确；故选：D.14．已知有一组样本数据为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，若删掉其中的两个数据和，得到新的一组样本数据，则下列说法中一定错误的是（

）.A．若，则极差不变 B．若，则第75百分位数不变C．若，则平均数不变 D．若，则中位数不变【答案】B【分析】利用极差、百分位数、平均数和中位数的概念和性质对选项逐一判断即可.【详解】对于选项A：极差表示的是数据中最大值与最小值之差，因为删掉的两个数据满足，所以一定不是1和10.所以此时极差仍为，保持不变，所以A正确；对于选项B：删除两个数据前，因为，所以第75百分位数为第8个数：8.删除两个数据后，因为，所以可能是2和9，3和6.因为，所以第75百分位数为第6个数和第7个数的平均值.当是2和9时，第75百分位数为；当是3和6时，第75百分位数为；可以发现，第75百分位数变了，所以B错误；对于选项C：删除数据前，平均数为.删除数据后，因为，所以平均数为，保持不变，C正确；对于选项D：删除数据前，中位数为.删除数据后，因为，所以可能是.此时中位数为5.5，保持不变，所以D正确.故选：B.15．某商场推出抽奖活动，在甲抽奖箱中有四张有奖奖票，六张无奖奖票；乙抽奖箱中有三张有奖奖票，七张无奖奖票.每人能在甲乙两箱中各抽一次，以表示“在甲抽奖箱中抽奖中奖的事件”，表示“在乙抽奖箱中抽奖中奖的事件”，表示“两次抽奖均未中奖的事件”，下列结论中不正确的是（

）A．B．与相互独立C．D．与互斥【答案】D【分析】分别求出，，进一步求出与，从而判断AC选项，在甲抽奖箱抽奖和在乙抽奖箱抽奖互不影响，故事件A和事件B相互独立，判断BD选项.【详解】由题意可知：，，，，因为在甲抽奖箱抽奖和在乙抽奖箱抽奖互不影响，可知事件A和事件B相互独立，故B正确，D错误；可得，故A正确；又因为，所以，故C正确；故选：D.16．在棱长为1的正方体中，为底面的中心，是棱上一点，且，，为线段的中点，给出下列命题，其中正确的是（

）A．与是异面直线；B．三棱锥的体积跟的取值有关；C．当时，；D．当时，过，，三点的平面截正方体所得截面的周长为．【答案】BD【分析】由为的中点，得到，可判断A；由到平面的距离为定值，且的面积为定值，根据可判断B；当时，根据可判断C；由时，得到三点的正方体的截面是等腰梯形可判断D．【详解】在中，因为为的中点，所以，所以与共面，所以A错误；由，因为到平面的距离为定值，且的面积为定值，根据可知三棱锥的体积跟的取值无关，所以B正确；当时，可得为的中点，为的中点，，则，所以不成立，所以C不正确；当时，在上取点E，使，连接，根据正方体的性质可知，，故过，，三点的平面截正方体所得截面为，由知截面是等腰梯形，所以平面截正方体所得截面的周长为，所以D正确．故选：D三、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点.

(1)求证:平面；(2)求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）依据线面平行的判定定理，找出面内的直线平行于即可证明平面；（2）根据等积法，即可算出．【详解】（1）连接与交于点，连接，因为为的中点，为的中点，所以，又平面，平面，所以平面；（2）因正方体的棱长为2，点为的中点，平面，则点到平面的距离等于到平面的距离的一半，距离为1，因，即三棱锥的体积为．

18．有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．(1)写出这个试验的一个等可能的样本空间；(2)事件A表示“第一次取出的球的数字是1”，事件B表示“两次取出的球的数字之和是5”．判断事件A和事件B是否相互独立，并说明理由．【答案】(1)答案见解析；(2)相互独立，理由见解析.【分析】（1）根据题意，用列举法进行求解；（2）根据相互独立事件的定义，结合古典概型公式进行求解.【详解】（1）依题意，样本空间为（2）事件A和事件B相互独立，理由如下：因为，，所以，，因为，所以，因为，所以事件A和事件B相互独立.19．如图，已知圆锥的底面圆的半径，且圆锥侧面展开图中扇形的中心角为，点是母线的中点，，垂足为上的点，点在底面圆上，且.(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用线面垂直证得，，结合是的中点证得，由余弦定理求出，证明，最后由线线垂直证明平面；（2）先证明平面，由条件求出圆锥的母线长，进而求得三棱锥的体积和的面积，利用等体积法可求得点到平面的距离.【详解】（1）因为平面，平面，则，，又，则.又为中点，则为中点，，又，由余弦定理，，由，可得,又，平面，所以平面；（2）因为平面，，所以平面，因为圆锥侧面展开图中扇形的中心角为，设母线长为，则,又，则，所以,又,在中，，故,所以，设点到平面的距离为，则，解得.20．某学校为提高学生对《红楼梦》的了解，举办了“我知红楼”知识竞赛，现从所有答卷卷面成绩中随机抽取100份作为样本，将样本数据（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，，并作出如图所示的频率分布直方图.

(1)求频率分布直方图中a的值；(2)求样本数据的第62百分位数所在区间的组中值；(3)若落在中的样本数据平均数是52，方差是6；落在中的样本数据平均数是64，方差是3，求落在中的样本数据的平均数和方差.【答案】(1)0.030(2)75(3)，【分析】（1）根据每组小矩形的面积之和为1列式即可求解；（2）由频率分布直方图求第百分位数的计算公式即可求解；（3）利用分层抽样的平均数和方差的计算公式即可求解.【详解】（1）由，解得；（2）因为，，所以样本数据的第62百分位数在内，样本数据的第62百分位数所在区间的组中值分；（3）样本数据落在的个数为，落在的个数为，，总方差.故落在中的样本数据的平均数和方差.21．如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面，且，，，，.

(1)证明：平面；(2)若，四棱锥的各个顶点均在球的表面上，求球的表面积；(3)求平面与平面夹角的余弦值的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）依题意，延长，交于点，连接，证明，推得平面，即可证平面.（2）根据（1）中的结论，建立空间直角坐标系，由球心到的距离相同，且为球半径，列方程即可求出球心坐标和球的半径，即得球的表面积.（3）根据（2）中的坐标系，求出平面与平面的法向量，然后计算夹角的余弦值，化简后