专题1.2 椎体（高效培优讲义）数学沪教版2020必修第三册（原卷版）

2/37专题1.2椎体教学目标1、探究锥体的体积公式的关系2、使学生能够运用体积公式求锥体的体积。教学重难点教学重点：通过对实物模型的观察，归纳认知棱锥、棱台、圆锥、圆台的结构特征教学难点：①理解棱锥、棱台、圆锥、圆台之间的关系．②能运用棱锥、棱台圆锥、圆台的结构特征描述现实生活中简单物体的结构和有关计算知识点01棱锥有一个面是三角形或平面多边形，且不在这个面上的棱都有一个，这样的多面体叫做；棱锥的底面：这个三角形或平面多边形；棱锥的侧面：其余的面；棱锥的侧棱：不在底面上的棱；棱锥的顶点：所有侧棱的；棱锥的高：顶点到底面的距离按照底面多边形的边数，棱锥可以分别称为三棱锥、四棱锥、五棱锥等如果棱锥的底面是正多边形，且底面中心与顶点的连线垂直于底面，那么这个棱锥叫做正棱锥；【说明】依据定义，正棱锥的每个侧面都是全等的等腰三角形，我们把这些等腰三角形底边上的高称为棱锥的斜高；【即学即练】关于正九棱锥，下列判断错误的是（

）A．正九棱锥有18条棱 B．正九棱锥的侧棱都相等C．正九棱锥有18个面 D．正九棱锥的底面是正九边形知识点02圆锥以直角三角形的一条所在直线为，其余两边旋转一周形成的面所围成的轴：旋转轴叫做圆锥的轴底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边锥体：棱锥和圆锥统称为锥体（2）圆锥的图形（3）圆锥的表示用表示它的轴的字母表示，如图，【即学即练】已知圆锥底面半径为，侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的母线长为知识点03棱台用一个于棱锥底面的平面去截棱锥，我们把和之间的那部分多面体叫做上底面：原棱锥的截面下底面：原棱锥的底面侧面：除上下底面以外的面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点（2）棱台的图形（3）棱台的分类及表示由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……用各顶点字母表示棱柱，如棱台【即学即练】已知正四棱台的上底面边长为2，侧棱长为，高为1，则该正四棱台的下底面边长为．知识点04圆台用于圆锥底面的平面去截圆锥，和之间的部分叫做轴：圆锥的轴底面：圆锥的底面和截面侧面：圆锥的侧面在底面与截面之间的部分母线：圆锥的母线在底面与截面之间的部分台体：棱台和圆台统称为台体（2）圆台的图形（3）圆台的表示用表示它的轴的字母表示，如图，【即学即练】已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为5，侧面积为，则圆台的高为.知识点05椎体、台体体积锥体的体积公式(为底面面积，为高)；台体的体积公式(,分别为上下底面面积，为台体的高)【即学即练】已知圆台的上底面半径和母线长均为2，下底面半径为3，则圆台的体积为．知识点06椎体、台体表面积和侧面积1.棱锥、棱台的表面积棱锥、棱台是由多个平面图形围成的多面体，它们的表面积就是各个面的面积和；（4）正棱台：被平行于底面的平面所截，和之间的部分叫做正棱台．2、几种简单几何体的侧面展开图与侧面积几何体侧面展开图侧面积公式直棱柱S直棱柱侧＝chc为底面周长；h为高正棱锥S正棱锥侧＝eq\f(1,2)ch′c为底面周长；h′为斜高，即侧面等腰三角形的高正棱台S正棱台侧＝eq\f(1,2)(c＋c′)h′c′为上底面周长，c为下底面周长h′为斜高，即侧面等腰梯形的高圆柱S圆柱侧＝2πrlr为底面半径，l为侧面母线长圆锥S圆锥侧＝πrlr为底面半径，l为侧面母线长；圆台S圆台侧＝π(r1＋r2)lr1为上底面半径，r2为下底面半径，l为侧面母线长【即学即练】已知圆锥的母线长为，若轴截面为等腰直角三角形，则圆锥的表面积为.题型01棱锥的结构特征【典例1】在三棱柱中，截去三棱锥后，剩余的部分是（

）A．五棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．三棱台【变式1】下列说法中正确的是（

）①棱锥的各个侧面都是三角形；②四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面；③棱锥的侧棱平行．A．① B．①② C．② D．③【变式2】两个三棱锥、一个四棱锥拼在一起不可能拼成的是（

）A．一个三棱锥 B．一个四棱锥C．一个三棱柱 D．一个四棱柱【变式3】下列棱锥有6个面的是（）A．三棱锥 B．四棱锥 C．五棱锥 D．六棱锥【变式4】用一个平面去截一个三棱锥，截面形状可能是．(填序号)①三角形；②四边形；③五边形；④不可能为四边形．题型02圆锥的结构特征【典例1】如图，直角三角形绕直角边旋转，所得的旋转体为（

）A．圆锥 B．圆柱 C．圆台 D．球【变式1】下列关于圆锥的说法中，错误的是（

）A．圆锥的轴截面是等腰三角形 B．圆锥的侧面展开图是扇形C．以直角三角形一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥 D．用平行于圆锥底面的平面截圆锥可以得到圆台【变式2】正方形绕对角线所在直线旋转一周所得到的几何体为（

）A．由两个圆台组成 B．由一个圆锥和一个圆台组成C．由两个圆锥组成 D．由两个棱台组成【变式3】以一个等边三角形的底边所对应的中线为旋转轴旋转一周所得的几何体是（

）A．一个圆柱 B．一个圆锥 C．一个圆台 D．两个圆锥题型03棱锥的展开图【典例1】如图，在正四棱锥中，，．从A拉一条细绳绕过侧棱PB到达C点，则细绳的最短长度为．【变式1】如图，在正四棱锥中，是棱上的动点，一只蚂蚁从A点出发，经过E点，爬到C点，则这只蚂蚁爬行的路程的最小值是（

）A． B． C． D．【变式2】如图，在四棱锥中，侧棱长均为，正方形的边长为，，分别是线段，上的一点，则的最小值为（

）A．2 B．4 C． D．【变式3】如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC＝2，，A为锐角，侧棱PA＝PB＝PC＝2，一只小虫从A点出发，沿侧面绕棱锥爬行一周后回到A点，则小虫爬行的最短距离为（

）

A． B．C． D．【变式4】如图，在三棱锥中，，，过点A作截面，分别交侧棱PB，PC于E，F两点，则△AEF周长的最小值为．题型04棱锥中的截面问题【典例1】在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，.过点A作与棱PC垂直的平面α，则四棱锥P﹣ABCD截平面α所得截面的面积为.【变式1】已知正四棱锥的所有棱长都等于3，点是的重心，过点作平面，若平面平面，则平面截正四棱锥的截面面积为（

）A． B． C． D．【变式2】已知四棱锥中，平面，四边形为正方形，，平面过，，的中点，则平面截四棱锥所得的截面面积为（

）A． B． C． D．【变式3】如图，空间四边形的边，成的角，且，，平行于与的截面分别交，，，于，则截面面积的最大值为.【变式4】已知正三棱锥底面面积=6，点在高上且，则经过点且平行于底面的截面面积为.作出截面方法：①两条平行直线确定唯一平面②两条相交直线确定唯一平面③将椎体补充为柱体，寻找截面题型05圆锥中的截面有关的计算【典例1】已知圆锥的顶点为，底面圆周上的两点、满足为等边三角形，且面积为，又知圆锥轴截面的面积为8，则圆锥的侧面积为.【变式1】已知圆锥的母线长为，过圆锥的顶点作圆锥的截面，若截面面积的最大值为，则该圆锥底面半径的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式2】已知圆锥的母线长为10，高为5，则圆锥的轴截面的面积为.【变式3】若圆锥的侧面展开图是半径为1，圆心角为的半圆，则这个圆锥的轴截面面积等于.【变式4】某圆锥的侧面展开图是面积为，圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积是.题型06圆锥中的展开图和最短距离问题【典例1】圆锥的底面半径为，母线长，一只蚂蚁自底面圆周上一点沿圆锥表面爬到过母线的轴截面上另一条母线的中点，问这只蚂蚁爬行的最短距离为.【变式1】已知圆锥的高为，底面直径的长为，那么从点A出发沿该圆锥的表面到点B的最短路径长为．【变式2】如图，圆锥的底面直径，母线长，点在母线上，且，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点到达点，则这只蚂蚁爬行的最短距离为．

【变式3】如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为5公里，侧棱长为20公里，B是上一点，且公里，为了发展旅游业，要建设一条最短的从A绕山一周到B的观光铁路，这条铁路从A出发后首先上坡，随后下坡，则下坡段铁路的长度为公里【变式4】暑假将临，大学生小明同学准备利用假期探访名胜古迹．已知某座山高耸入云，整体呈圆锥形，其半山腰（母线的中点）有一座古寺，与上山入口在同一条母线上，入口和古寺通过一条盘山步道相连，且当时为了节省资金，该条盘山步道是按“到达古寺的路程最短”修建的．如图，已知该座山的底面半径，高，则盘山步道的长度为，其中上山（到山顶的直线距离减小）和下山（到山顶的直线距离增大）路段的长度之比为.

将圆锥展开，在平面图形中，根据两点之间线段最短求解题型07椎体的体积【典例1】在棱长为2的正方体中，为线段的中点，则四面体的体积为．【变式1】已知三棱锥的底面ABC是等腰直角三角形，侧面PBC是等边三角形，且，，若平面PBC与底面ABC的夹角为30°，则三棱锥的体积为．【变式2】如图1，在梯形中，，，，将沿折起，使得点落在点的位置，得到三棱锥，如图2所示，则三棱锥体积的最大值为.【变式3】已知正四棱台的上底面的四个顶点都在圆锥的侧面上，下底面的四个顶点都在圆锥的底面圆周上，且，则圆锥的体积为.【变式4】已知平行六面体中，各棱长均为，，则四棱锥的体积为.题型08椎体的侧面积和表面积【典例1】如图已知点A，在圆锥SO的底面圆周上，S为圆锥顶点，O为圆锥的底面中心，且圆锥SO的底面积为4π，∠ASB=30°，若AB与截面SAO所成角为60°，则圆锥SO的侧面积为【变式1】已知正四面体的体积为，则其表面积为．【变式2】已知圆锥底面半径为2，母线长为3，则此圆锥的侧面积为．【变式3】有一正四面体木料，现欲对其进行加工处理，将木料固定并将其过中心完整切开，若所得截面是边长为2的正方形，则该木料的表面积为【变式4】一个腰长为2的等腰直角三角形绕着它的一条直角边所在的直线旋转弧度，形成的几何体的表面积为．正棱锥相关结论①正棱锥的底面为正多边形；②正棱锥的顶点在底面上的射影为底面中心；③正棱锥的侧面积等于它的底面周长和斜高乘积的一半；④正三棱锥的对棱互相垂直．正四面体相关结论当正四面体的棱长为时，有以下结论：①正四面体的高为；②正四面体的表面积为，正四面体的体积为；③正四面体的内切球半径为，外接球半径为；④正四面体的侧棱与底面夹角的余弦值为，相邻两个面组成的二面角的余弦值为．1．已知底面圆直径为的圆锥的表面积与其侧面积之比为，则该圆锥的高为．（用含的式子表示）2．已知点，，，在半径为的同一球面上，且，，则三棱锥体积的最大值为．3．现有一块棱长为2的正四面体木料，用平行于该木料底面的一个平面将木料截成两部分，若这两部分的表面积相等，则该平面在木料上的截面面积为．4．已知圆锥的母线长为3，其侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为．5．已知某圆锥的高为2，其侧面展开图为半圆，则该圆锥底面圆的半径为．6．已知圆锥的底面半径，高为，则这个圆锥的表面积是.7．联结正方体各表面的中心构成一个正八面体，则正八面体的体积和正方体的体积之比为.8．已知圆锥的底面积为，高为，则该圆锥的侧面积为．9．如图，水平的广场上有一盏路灯挂在高9m的电线杆顶上，记电线杆的底部为点.把路灯看作一个点光源，身高1.5m的女孩站在离点5m的点处，若女孩沿方向前行5m到达点，此时为的中点，然后从点出发沿着以为对角线的正方形走一圈，则女孩走一圈时头顶影子的轨迹围成图形的面积为.

10．已知一个底面半径为的圆锥侧面展开图形的面积是底面面积的2倍，则该圆