第七章提升课35尺规作图间接作图的三种思路

第七章图形的变化提升课35尺规作图—间接作图的三种思路对接中招·多设问串核心例李老师在课堂上提出这样一个问题：已知△ABC是直角三角形，

∠A＝90°，请用无刻度的直尺和圆规作BC边上的高AD.

甲，乙，丙，丁四位同学分别给出四种作法，请你根据作图痕迹给出四

位同学的作图依据.作图依据：

⁠图①到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上

乙同学：如图②，以点C为圆心，小于AC长为半径作弧，分别交AC，

BC边于点P，Q；以点A为圆心，CP(或CQ)长为半径作弧，交AB于点

M；以点M为圆心，PQ长为半径作弧，交前弧于点N；连接AN并延长

交BC于点D；作图依据：

⁠

⁠作等角，即∠BAD＝∠C，利用相似三角形对应角相等，

得AD是BC边上的高图②丙同学：如图③，以点B为圆心，AB长为半径在BC下方作弧；以点C

为圆心，AC长为半径在BC下方作弧与前弧交于点A'；连接AA'交BC于

点D；作图依据：

⁠

⁠作点A关于BC对称的点A'，利用对称的性质，对应点所连

接的线段被对称轴垂直平分图③

图④直径所对的圆周角是直角.

满分技法遇到间接作图时，常有以下三种作图思路：1.从结论判断可否用五种基本尺规作图直接解决；2.

利用图形性质作图：思考哪些几何图形具备求作图形的性质，作该几

何图形即可；3.

利用对称性作图：中心对称可以找到线段中点，轴对称可以找到垂直

关系或线段中点.题后反思除了上述的几种方法，你还有其他的方式可以作BC边上的高吗？尝试一

下吧！解：如解图，AD即为所求作(作法不唯一).解图【作法提示】作一个以AB为腰的等腰三角形，再利用等腰三角形三线合

一的性质作图.课堂巩固·中等题固考法请用多种作图方法完成以下作图！1.

如图，已知△ABC，请用无刻度的直尺和圆规在BC上找一点D，连接AD，使得AD将△ABC平分为面积相等的两部分.(保留作图痕迹)一题多解法解法一：如解图①，点D即为所求作(作法不唯一).解图①【作法提示】作BC的垂直平分线确定中点即可.解法二：如解图②，点D即为所求作.解图②【作法提示】分别以点B，C为圆心，AC，AB长为半径作弧，交点与

点A的连线即为所求.利用平行四边形对角线互相平分的性质.2.

(2022年版课标新增要求)如图，已知☉O，P为☉O外一点，请用无刻度的直尺和圆规过点P作☉O的切线.(保留作图痕迹)解法一：如解图①，直线PD1，PD2即为所求

作.(作法不唯一)解图①一题多解法解法二：如解图②，作点P关于点O的对称点P'，以点O为圆心，OP长为半径作圆，连接PP'交小☉O于点A，B，以点P'为圆心，AB长为半径作圆，交弧PP'于点Q，作直线PQ，交小☉O于点D，PD即为所求作，同理可得点P与☉O的另一条切线(中位线能证明OD是小☉O的半径且OD⊥PQ).解图②2.

(2022年版课标新增要求)如图，已知☉O，P为☉O外一点，请用无刻度的直尺和圆规过点P作☉O的切线.(保留作图痕迹)一题多解法解法三：如解图③，连接PO交☉O于点M，过点M作PO的垂线.再以点O为圆心，OP长为半

径作弧交垂线于点N，连接ON交☉O于点D，作直线PD，PD即为所求作，同理可得点P与☉O的另一条切线(利用全等三角形的性质).解图③2.

(2022年版课标新增要求)如图，已知☉O，P为☉O外一点，请用无刻度的直尺和圆规过点P作☉O的切线.(保留作图痕迹)一题多解法3.

如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，D为AB上一点.(1)尺规作图：过点D作BC的平行线l，交AC于点E；(要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母)解法一：(1)如解图①，直线l即为所求作(作法不唯一)；解图①一题多解法解法二：如解图②，解图③，直线l即为所求作；解图②解图③3.如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，D为AB上一点.(1)尺规作图：过点D作BC的平行线l，交AC于点E；(要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母)一题多解法在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，D为AB上一点.(2)在(1)所作的图中，若AD＝4，求DE的长.

解图①4.

(2025河南19题9分)如图，四边形ABCD是平行四边形，以BC为直径

的圆交AD

于点

E.

(1)请用无刻度的直尺和圆规作出圆心O；(保留作图痕迹，不写作法)一题多解法【作法提示】∵BC是圆的直径，∴运用尺规作直径

BC的垂直平分线交BC于点O，∴点O即为所求点的位置.解法一：如解图①所示，点O即为所求作(作法不唯一)；解图①解法二：如解图②，点O即为所求作；【作法提示】分别以点B，C为圆心，AC，AB长为半径作弧，交点与