沪教版高中二年级数学上册期末试卷

沪教版高中二年级数学上册期末试卷考试时间：120分钟满分：150分得分：________班级：________姓名：________学号：________一、填空题（本题共12小题，每题4分，共48分）1.函数\(f(x)=\sqrt{2x-4}\)的定义域为________。2.已知幂函数\(y=x^k\)的图像过点\((2,4)\)，则\(k=\)________。3.函数\(f(x)=x^2-4x+3\)的单调递减区间为________。4.已知向量\(\vec{a}=(2,3)\)，\(\vec{b}=(m,-1)\)，若\(\vec{a}\perp\vec{b}\)，则\(m=\)________。5.若直线\(2x+my-3=0\)与直线\(x-2y+1=0\)平行，则\(m=\)________。6.圆\(x^2+y^2-2x+4y-4=0\)的圆心坐标为________，半径为________。7.已知圆锥的底面半径为2，高为3，则该圆锥的体积为________。8.若函数\(f(x)=2^x+a\)是奇函数，则\(a=\)________。9.已知点\(A(1,2)\)，\(B(3,4)\)，则线段\(AB\)的垂直平分线方程为________。10.若函数\(f(x)=\log_a(x+1)\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)）在\([0,1]\)上的最大值与最小值之和为1，则\(a=\)________。11.已知正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为5，则该正四棱锥的侧面积为________。12.若关于\(x\)的不等式\(x^2-ax+1>0\)对任意\(x\in\mathbb{R}\)恒成立，则实数\(a\)的取值范围为________。二、选择题（本题共4小题，每题5分，共20分）13.下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（）A.\(y=x^3\)B.\(y=3^x\)C.\(y=\log_3x\)D.\(y=\frac{1}{x}\)14.已知直线\(l:y=kx+1\)与圆\(C:x^2+y^2-2x-3=0\)相交于\(A,B\)两点，若\(|AB|=2\sqrt{3}\)，则\(k=\)（）A.\(\pm\frac{\sqrt{3}}{3}\)B.\(\pm\sqrt{3}\)C.\(\pm1\)D.\(\pm2\)15.已知空间中两条直线\(m,n\)和平面\(\alpha\)，下列命题正确的是（）A.若\(m\parallel\alpha\)，\(n\parallel\alpha\)，则\(m\paralleln\)B.若\(m\perp\alpha\)，\(n\perp\alpha\)，则\(m\paralleln\)C.若\(m\parallel\alpha\)，\(m\perpn\)，则\(n\perp\alpha\)D.若\(m\perp\alpha\)，\(m\paralleln\)，则\(n\parallel\alpha\)16.已知函数\(f(x)=\begin{cases}x^2+1,&x\geq0\\-x+1,&x<0\end{cases}\)，则满足\(f(x)=2\)的\(x\)的值为（）A.1B.-1C.1或-1D.1或2三、解答题（本题共6小题，共82分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本题满分12分）计算下列各式的值：（1）\(2^{\log_23}+\log_39-10^{\lg2}\)；（2）已知\(\tan\theta=2\)，求\(\frac{\sin\theta+\cos\theta}{\sin\theta-\cos\theta}\)的值。________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________18.（本题满分14分）已知函数\(f(x)=x^2-2ax+2\)（\(a\)为常数），\(x\in[-1,1]\)。（1）当\(a=1\)时，求函数\(f(x)\)的最大值和最小值；（2）求函数\(f(x)\)在区间\([-1,1]\)上的最小值。________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________19.（本题满分14分）已知在平面直角坐标系中，点\(A(0,3)\)，\(B(4,0)\)，\(C\)是线段\(AB\)上的动点。（1）求直线\(AB\)的方程；（2）若点\(C\)的坐标为\((x,y)\)，求\(xy\)的最大值；（3）若圆\(P\)以\(C\)为圆心，半径为1，求圆\(P\)与坐标轴有公共点时，点\(C\)横坐标的取值范围。________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________20.（本题满分14分）如图，在直三棱柱\(ABC-A_1B_1C_1\)中，\(AB=AC=2\)，\(\angleBAC=90^\circ\)，\(AA_1=3\)，\(D\)是\(BC\)的中点。（1）求证：\(AD\perp\)平面\(BCC_1B_1\)；（2）求直线\(A_1D\)与平面\(ABB_1A_1\)所成角的正弦值。________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________21.（本题满分14分）已知函数\(f(x)=\log_2(x^2-ax+3a)\)在区间\([2,+\infty)\)上单调递增。（1）求实数\(a\)的取值范围；（2）若函数\(g(x)=f(x)-\log_2(x+1)\)在区间\([2,4]\)上有零点，求实数\(a\)的取值范围。________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________22.（本题满分14分）已知函数\(f(x)=\frac{1}{2}x^2-(m+1)x+m\lnx\)（\(m\in\mathbb{R}\)）。（1）当\(m=1\)时，求函数\(f(x)\)的极值；（2）若函数\(f(x)\)在区间\((0,2)\)上有且只有一个极值点，求实数\(m\)的取值范围。________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________参考答案及评分标准一、填空题（每题4分，共48分）1.\([2,+\infty)\)2.23.\((-\infty,2]\)4.\(\frac{3}{2}\)5.-46.\((1,-2)\)，37.\(4\pi\)8.-19.\(x+y-5=0\)10.211.3212.\((-2,2)\)二、选择题（每题5分，共20分）13.A14.C15.B16.A三、解答题（共82分）17.（12分）（1）解：原式\(=3+\log_33^2-2=3+2-2=3\)（6分）（2）解：原式\(=\frac{\tan\theta+1}{\tan\theta-1}=\frac{2+1}{2-1}=3\)（6分）18.（14分）（1）当\(a=1\)时，\(f(x)=x^2-2x+2=(x-1)^2+1\)（2分）因为\(x\in[-1,1]\)，所以当\(x=1\)时，\(f(x)_{\min}=1\)；当\(x=-1\)时，\(f(x)_{\max}=(-1)^2-2\times(-1)+2=5\)（4分）（2）函数\(f(x)=(x-a)^2+2-a^2\)，对称轴为\(x=a\)（2分）①当\(a\leq-1\)时，\(f(x)\)在\([-1,1]\)上单调递增，\(f(x)_{\min}=f(-1)=1+2a+2=3+2a\)（2分）②当\(-1<a<1\)时，\(f(x)_{\min}=f(a)=2-a^2\)（2分）③当\(a\geq1\)时，\(f(x)\)在\([-1,1]\)上单调递减，\(f(x)_{\min}=f(1)=1-2a+2=3-2a\)（2分）综上，当\(a\leq-1\)时，最小值为\(3+2a\)；当\(-1<a<1\)时，最小值为\(2-a^2\)；当\(a\geq1\)时，最小值为\(3-2a\)（2分）19.（14分）（1）设直线\(AB\)的方程为\(\frac{x}{4}+\frac{y}{3}=1\)，整理得\(3x+4y-12=0\)（4分）（2）由（1）知\(3x+4y=12\)（\(x\geq0,y\geq0\)），则\(y=\frac{12-3x}{4}\)（2分）\(xy=x\cdot\frac{12-3x}{4}=\frac{12x-3x^2}{4}=-\frac{3}{4}(x^2-4x)=-\frac{3}{4}(x-2)^2+3\)（3分）当\(x=2\)时，\(xy\)的最大值为3（1分）（3）圆\(P\)的方程为\((x-x_0)^2+(y-y_0)^2=1\)（\(x_0,y_0\)为点\(C\)坐标）（1分）若与x轴有公共点，则\(|y_0|\leq1\)；若与y轴有公共点，则\(|x_0|\leq1\)（2分）由\(3x_0+4y_0=12\)，当\(|y_0|\leq1\)时，\(\frac{12-4}{3}\leqx_0\leq\frac{12+4}{3}\)，即\(\frac{8}{3}\leqx_0\leq\frac{16}{3}\)（舍去，与\(x_0\in[0,4]\)矛盾）；当\(|x_0|\leq1\)时，\(\frac{12-3}{4}\leqy_0\leq\frac{12+3}{4}\)，即\(\frac{9}{4}\leqy_0\leq\frac{15}{4}\)（舍去）（此处修正：正确思路应为圆与x轴有公共点则圆心到x轴距离≤半径，即\(|y_0|≤1\)，代入直线方程得\(3x_0=12-4y_0\)，当\(y_0∈[0,1]\)时，\(x_0∈[2,4]\)；与y轴有公共点则\(|x_0|≤1\)，代入得\(y_0∈[\frac{9}{4},3]\)，综上公共点时\(x_0∈[0,1]∪[2,4]\)）（3分）20.（14分）（1）证明：因为直三棱柱\(ABC-A_1B_1C_1\)，所以\(BB_1\perp\)平面\(ABC\)，又\(AD\subset\)平面\(ABC\)，故\(BB_1\perpAD\)（3分）因为\(AB=AC\)，\(D\)是\(BC\)中点，所以\(AD\perpBC\)（2分）又\(BB_1∩BC=B\)，\(BB_1,BC\subset\)平面\(BCC_1B_1\)，故\(AD\perp\)平面\(BCC_1B_1\)（3分）（2）解：以\(A\)为原点，\(AB,AC,AA_1\)为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则\(A_1(0,0,3)\)，\(D(1,1,0)\)（2分）平面\(ABB_1A_1\)的法向量为\(\vec{n}=(0,1,0)\)（2分）\(\vec{A_1D}=(1,1,-3)\)，设直线与平面所成角为\(\theta\)，则\(\sin\theta=|\cos<\vec{A_1D},\vec{n}>|=\frac{1}{\sqrt{1+1+9}}=\frac{\sqrt{11}}{11}\)（2分）21.（14分）（1）设\(t=x^2-ax+3a\)，则\(f(x)=\log_2t\)，因为\(\log_2t\)单调递增，故\(t\)在\([2,+\infty)\)单调递增且\(t>0\)（2分）\(t\)的对称轴为\(x=\frac{a}{2}\)，故\(\frac{a}{2}\leq2\)且\(t(2)=4-2a+3a>0\)（4分）解得\(-4<a\leq4\)（2分）（2）\(g(x)=0\)即\(\log_2(x^2-ax+3a)=\log_2(x+1)\)，故\(x^2-ax+3a=x+1\)，即\(a=\frac{x^2-x-1}{x-3}\)