2025年下学期高一数学二倍角公式的简单应用试题

2025年下学期高一数学二倍角公式的简单应用试题一、选择题（每题5分，共60分）已知$\sin\alpha=\frac{3}{5}$，$\alpha\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)$，则$\sin2\alpha$的值为（）A.$\frac{12}{25}$B.$-\frac{12}{25}$C.$\frac{24}{25}$D.$-\frac{24}{25}$化简$\cos^2\frac{\pi}{8}-\sin^2\frac{\pi}{8}$的结果是（）A.$\frac{\sqrt{2}}{2}$B.$\frac{\sqrt{3}}{2}$C.$\cos\frac{\pi}{4}$D.$\sin\frac{\pi}{4}$若$\tan\alpha=2$，则$\tan2\alpha$的值为（）A.$-\frac{4}{3}$B.$\frac{4}{3}$C.$-\frac{3}{4}$D.$\frac{3}{4}$下列各式中，值为$\frac{1}{2}$的是（）A.$\sin15^\circ\cos15^\circ$B.$\cos^2\frac{\pi}{12}-\sin^2\frac{\pi}{12}$C.$\frac{2\tan22.5^\circ}{1-\tan^222.5^\circ}$D.$1-2\sin^275^\circ$已知$\cos\theta=-\frac{1}{3}$，$\theta\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)$，则$\cos2\theta$的值为（）A.$-\frac{7}{9}$B.$\frac{7}{9}$C.$-\frac{2\sqrt{2}}{3}$D.$\frac{2\sqrt{2}}{3}$在$\triangleABC$中，若$\sinA=\frac{4}{5}$，$\cosB=\frac{5}{13}$，则$\cos2A$的值为（）A.$-\frac{7}{25}$B.$\frac{7}{25}$C.$-\frac{24}{25}$D.$\frac{24}{25}$若$\alpha$为锐角，且$\sin\left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{3}$，则$\sin2\alpha$的值为（）A.$\frac{2\sqrt{6}-1}{9}$B.$\frac{4\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{9}$C.$\frac{4\sqrt{6}-1}{18}$D.$\frac{4\sqrt{6}+1}{18}$函数$f(x)=\sinx\cosx+\cos^2x-\frac{1}{2}$的最小正周期是（）A.$\frac{\pi}{2}$B.$\pi$C.$2\pi$D.$4\pi$已知$\tan\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)=3$，则$\tan2\alpha$的值为（）A.$-\frac{3}{4}$B.$\frac{3}{4}$C.$-\frac{4}{3}$D.$\frac{4}{3}$若$\sin2\alpha=\frac{1}{4}$，且$\alpha\in\left(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}\right)$，则$\cos\alpha-\sin\alpha$的值为（）A.$-\frac{\sqrt{3}}{2}$B.$\frac{\sqrt{3}}{2}$C.$-\frac{\sqrt{5}}{2}$D.$\frac{\sqrt{5}}{2}$化简$\frac{\sin4\alpha}{2\sin\alpha}$的结果是（）A.$\cos\alpha\cos2\alpha$B.$2\cos\alpha\cos2\alpha$C.$\sin\alpha\cos2\alpha$D.$2\sin\alpha\cos2\alpha$在$\triangleABC$中，若$\tanA\tanB=1$，则$\sin2A+\sin2B$的值为（）A.$1$B.$\sqrt{2}$C.$2$D.$\frac{\sqrt{2}}{2}$二、填空题（每题5分，共30分）计算$\sin15^\circ\cos15^\circ=$________。已知$\cos\alpha=\frac{1}{3}$，则$\cos2\alpha=$，$\sin^2\alpha=$。若$\tan\theta=3$，则$\sin2\theta+\cos2\theta=$________。函数$f(x)=\cos2x+2\sinx$的最大值为________。在$\triangleABC$中，若$A=60^\circ$，$b=2$，$c=3$，则$\sin2B+\sin2C=$________。已知$\alpha$为第二象限角，且$\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{1}{5}$，则$\sin2\alpha=$，$\cos2\alpha=$。三、解答题（共60分）（10分）已知$\sin\alpha=\frac{3}{5}$，$\alpha\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)$，求$\cos2\alpha$和$\tan2\alpha$的值。（10分）化简：（1）$\frac{\sin2\theta}{1+\cos2\theta}\cdot\frac{\cos\theta}{1+\cos\theta}$；（2）$\sin^2\left(x-\frac{\pi}{6}\right)+\sin^2\left(x+\frac{\pi}{6}\right)-\sin^2x$。（12分）已知$\tan\alpha=-\frac{1}{3}$，$\alpha\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)$，（1）求$\tan2\alpha$的值；（2）求$\sin2\alpha+\cos2\alpha$的值。（14分）在$\triangleABC$中，角$A$，$B$，$C$的对边分别为$a$，$b$，$c$，已知$\cosA=\frac{4}{5}$，$\cosB=\frac{5}{13}$。（1）求$\sinC$的值；（2）若$a=13$，求$\triangleABC$的面积。（14分）已知函数$f(x)=\sin2x-2\sin^2x$。（1）求$f(x)$的最小正周期；（2）求$f(x)$在区间$\left[-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\right]$上的最大值和最小值；（3）若$f(x)=\frac{1}{2}$，求$\cos\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)$的值。（14分）已知$\alpha$，$\beta$为锐角，且$\tan\alpha=\frac{1}{2}$，$\tan\beta=\frac{1}{3}$，（1）求$\tan(\alpha+\beta)$的值；（2）求$\alpha+2\beta$的大小。（12分）已知函数$f(x)=\cos^2x-\sin^2x+2\sqrt{3}\sinx\cosx$。（1）求$f(x)$的最小正周期和单调递增区间；（2）当$x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$时，求$f(x)$的值域。（12分）在$\triangleABC$中，角$A$，$B$，$C$所对的边分别为$a$，$b$，$c$，且满足$\sinB=2\sinA\cosC$。（1）求证：$\triangleABC$为等腰三角形；（2）若$a=3$，$c=2$，求$\cos2B$的值。（14分）已知$\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{1}{5}$，$\alpha\in(0,\pi)$，（1）求$\sin2\alpha$和$\cos2\alpha$的值；（2）求$\sin\left(\alpha+\frac{\pi}{3}\right)$的值。（14分）已知函数$f(x)=2\cos^2x+\sin\left(2x-\frac{\pi}{6}\right)$。（1）求$f(x)$的最小正周期；（2）求$f(x)$在区间$\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$上的最大值和最小值；（3）若$f(x)=\frac{3}{2}$，求$x$的值。（12分）已知$\alpha$为锐角，且$\sin\alpha=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，求$\tan2\alpha+\sin\left(2\alpha+\frac{\pi}{4}\right)$的值。（14分）在$\triangleABC$中，角$A$，$B$，$C$的对边分别为$a$，$b$，$c$，已知$a=2$，$b=3$，$\cosC=\frac{1}{3}$。（1）求$c$的值；（2）求$\sin2A$的值。（12分）已知函数$f(x)=\sinx\cosx+\sqrt{3}\cos^2x-\frac{\sqrt{3}}{2}$。（1）求$f(x)$的最小正周期；（2）求$f(x)$在区间$\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$上的单调递减区间。（14分）已知$\tan\alpha=2$，求下列各式的值：（1）$\frac{\sin2\alpha-\cos2\alpha}{1+\cos^2\alpha}$；（2）$\sin^2\alpha+\sin\alpha\cos\alpha-2\cos^2\alpha$。（12分）在$\triangleABC$中，角$A$，$B$，$C$所对的边分别为$a$，$b$，$c$，且$a\cosC+\frac{1}{2}c=b$。（1）求角$A$的大小；（2）若$a=1$，求$\triangleABC$的周长$l$的取值范围。（14分）已知函数$f(x)=\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)+\cos2x$。（1）求$f(x)$的最小正周期；（2）求$f(x)$在区间$\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$上的最大值和最小值；（3）若$f(x)=\frac{3}{5}$，求$\cos\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)$的值。（12分）已知$\alpha$，$\beta$为锐角，且$\cos\alpha=\frac{3}{5}$，$\cos(\alpha+\beta)=-\frac{5}{13}$，求$\cos2\beta$的值。（14分）已知函数$f(x)=2\sinx\cosx+2\cos^2x-1$。（1）求$f(x)$的最小正周期和对称轴方程；（2）求$f(x)$在区间$\left[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right]$上的最大值和最小值。（12分）在$\triangleABC$中，角$A$，$B$，$C$所对的边分别为$a$，$b$，$c$，已知$\sinA+\sinC=2\sinB$，且$B=60^\circ$，若$a=1$，求$\triangleABC$的面积。（14分）已知函数$f(x)=\sin2x-2\cos^2x+1$。（1）求$f(x)$的最小正周期；（2）求$f(x)$在区间$\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$上的最大值和最小值；（3）若$f(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}$，求$x$的值。（12分）已知$\tan\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)=2$，求$\sin2\alpha+\cos2\alpha$的值。（14分）在$\triangleABC$中，角$A$，$B$，$C$所对的边分别为$a$，$b$，$c$，已知$\cosB=\frac{3}{5}$，$a=7$，$c=3$。（1）求$b$的值；（2）求$\sin2A$的值。（12分）已知函数$f(x)=\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)+2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$。（1）求$f(x)$的最小正周期；（2）求$f(x)$在区间$\left[-\frac{\pi}{12},\frac{\pi}{2}\right]$上的值域。（14分）已知$\alpha$为锐角，且$\sin\alpha=\frac{3}{5}$，求$\cos\left(2\alpha+\frac{\pi}{6}\right)$的值。（12分）在$\triangleABC$中，角$A$，$B$，$C$所对的边分别为$a$，$b$，$c$，已知$a=2$，$b=3$，$\cosC=\frac{1}{4}$。（1）求$c$的值；（2）求$\sin2A$的值。（14分）已知函数$f(x)=\sin2x+\sqrt{3}\cos2x$。（1）求$f(x)$的最小正周期和单调递增