（人教A版）必修第一册高一数学上学期期末考点复习训练05函数的概念及其表示（解析版）

第05讲函数的概念及其表示(重点题型方法与技巧)目录类型一：函数关系的判断类型二：求函数的定义域角度1：求常规函数的定义域角度2：求抽象函数、复合函数的定义域类型三：函数的值域角度1：一次、二次、反比例函数的值域角度2：根式型值域角度3：分式型值域角度4：根据值域求参数角度5：根据值域求定义域类型四：求函数的解析式角度1：待定系数法：角度2：换元法：角度3：配凑法：角度4：方程组（消去）法：角度5：赋值法求抽象函数的解析式类型五：分段函数的求值角度1：分段函数求值角度2：分段函数求值域角度3：根据分段函数值域求参数类型六：新定义问题类型一：函数关系的判断典型例题例题1．下列图形是函数图像的是（

）A．B．C．D．【答案】C【详解】按照函数的定义，一个自变量只能对应一个函数值.对于A：当x=0时，，不符合函数的定义.故A错误；对于B：当x=0时，，不符合函数的定义.故B错误；对于C：每一个x都对应唯一一个y值，符合函数的定义.故C正确；对于D：当x=1时，y可以取全体实数，不符合函数的定义.故D错误；故选:C同类题型演练1．若函数的定义域为，值域为，则函数的图像可能是（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】对于A选项，当时，在集合中，没有对应的实数，所以不构成函数，不符合题意；对于B选项，根据函数的定义本选项符合题意；对于C选项，出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，不符合题意；对于D选项，值域当中有的元素在集合中没有对应的实数，不符合题意.故选：B．类型二：求函数的定义域角度1：求常规函数的定义域典型例题例题1．函数的定义域为（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】解：由已知得，解得且，所以函数的定义域为，故选：B.例题2．函数的定义域为（

）A．B．C．D．【答案】C【详解】由，解得：且.故选：C同类题型演练1．函数的定义域是（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】因为，所以要使式子有意义，则，解得，即.所以函数的定义域是.故A，C，D错误.故选：B.角度2：求抽象函数、复合函数的定义域典型例题例题1．的定义域为，则的定义域为（

）A．B．C．D．【答案】C【详解】因为，所以，所以，所以的定义域为，所以由，得，所以的定义域为，故选：C例题2.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A．B．C．D．【答案】C【详解】因为函数的定义域为，所以的定义域为.又因为，即，所以函数的定义域为.故选：C.同类题型演练1．已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________．【答案】【详解】由解得，所以函数的定义域为.故答案为：类型三：函数的值域角度1：一次、二次、反比例函数的值域典型例题例题1．函数的值域是（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】解：函数，对称轴为，在上单调递减，在上单调递增，，，即函数的值域为．故选：．例题2．函数的值域为________.【答案】【详解】解：由题得且.因为,且.所以原函数的值域为.故答案为：同类题型演练1．作出下列函数的图象，并根据图象求其值域：(1)，；(2)，．【答案】(1)图象见解析，(2)图象见解析，（1）该函数的图象如图所示，由图可知值域为；（2）作出函数，的图象，如图所示，由图象可知值域为.角度2：根式型值域典型例题例题1．函数的值域为（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】令，则且又因为，所以，所以，即函数的值域为，故选：B.例题2．求函数的值域______．【答案】【详解】令，则，所以．又，所以，即函数的值域是．故答案为：.同类题型演练1．函数的值域为（

）A．B．C．D．【答案】D【详解】解：令，当时，，又，所以，，即所以，故选：D．2．求下列函数的值域：(1)；(2)．【答案】(1)(2)（1）因为，所以，所以函数的值域为.（2）设（换元），则且，令.因为，所以，即函数的值域为.角度3：分式型值域典型例题例题1．函数的值域为（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】解：函数f(x)=1-的定义域为，所以，则，所以函数f(x)=1-的值域为，故选：A例题2．函数的值域是__________．【答案】【详解】，因为，所以，所以，所以，故答案为：例题3．求函数的值域.【答案】【详解】因为，所以当时，；当时，原函数化为，所以，整理得，解得即或，∴综上，函数的值域为.例题4．求函数的值域.【答案】.【详解】，因，即，则，当且仅当，即时等号成立，于是得，所以原函数的值域为.同类题型演练1．求下列函数的值域：(1)；(2)；【答案】(1)(2)（1）因为，，所以恒成立，所以，所以所求函数的值域为；（2）因为，且，所以，所以函数的值域为；2．函数；①的值域是__________；②的值域是__________．【答案】

【详解】，其图像可由反比例函数的图像先向左平移2个单位，再向上平移2个单位得到，如下：当时，当时，所以的值域是，因为当时，当时，所以的值域是，故答案为：；角度4：根据值域求参数典型例题例题1．若函数的值域为，则的取值范围为（

）A．B．C．D．【答案】C【详解】当时，，即值域为，满足题意；若，设，则需的值域包含，，解得：；综上所述：的取值范围为.故选：C.例题2．若函数的值域为，则实数的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】解：，当时，在上单调递增，所以，此时，当时，由，当且仅当，即时取等号，因为在上单调递增，若的值域为，则有，即，则，综上，，所以实数的取值范围为故选：A例题3．已知函数，，若对，，使成立，则实数的取值范围为___________.【答案】【详解】记函数在上的值域为集合，函数在上的值域为集合，由题意得，，.当时，，，满足；当时，在上单调递增，，∵，，解得，∴；当时，在上单调递减，，∵，∴，解得，∴.综上，实数的取值范围为.故答案为：同类题型演练1．已知函数的值域是，则实数的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】C【详解】由于函数的值域是，则函数的值域包含.当时，，此时函数的值域为，合乎题意；当时，，要使得二次函数的值域包含.则，解得或.综上所述，实数的取值范围是.故选：C.2．（多选）若函数与的值域相同，但定义域不同，则称和是“同象函数”，已知函数，，则下列函数中，与是“同象函数”的有（

）A．，B．，C．，D．，【答案】ACD【详解】当时，单调递增，所以，即当时，单调递减，所以，即，所以A选项正确；当时，单调递减，此时，所以，B选项错误；当时,的图象如图所示，在单调递减，在单调递增，所以在处取得最小值，，因为，，所以在处取得最大值，故，C选项正确；当时，，画出图象，如图显然，，故D选项正确故选：ACD3．若f

（x）＝x2－2x，g（x）＝ax＋2(a>0)，∀x1∈[－1，2]，∃x0∈[－1，2]，使g(x1)＝f

(x0)，求实数a的取值范围．【答案】【详解】由于函数g（x）在定义域[－1，2]内是任意取值的，且必存在x0∈[－1，2]，使得g(x1)＝f

(x0)，因此问题等价于函数g（x）的值域是函数f

（x）值域的子集．，，函数f

（x）的值域是[－1，3]，因为a>0，所以函数g（x）的值域是[2－a，2＋2a]，则有2－a≥－1且2＋2a≤3，即．故a的取值范围是．角度5：根据值域求定义域典型例题例题1．已知函数．若的定义域为，值域为，则__________．【答案】【详解】因为，对称轴为，当时：在上单调递减，所以，无解；当时：在上单调递增，所以，解得：或，或，又，所以，;当时：在上单调递增，在上单调递减，此时，与矛盾；综上所述：，，此时故答案为：.类型四：求函数的解析式角度1：待定系数法：典型例题例题1．已知是一次函数，，，则（

）A．B．C．D．【答案】D【详解】依题意，设，则有，解得，所以.故选：D例题2．若二次函数满足，，求.【答案】.【分析】由于已知是二次函数，所以用待定系数法即可.【详解】因为二次函数满足；所以设，则：；因为，所以；∴；∴；∴，；∴.故答案为：.同类题型演练1．（多选）一次函数满足：，则的解析式可以是（

）A．B．C．D．【答案】AD【详解】设，则，所以，解得或，即或．故选：AD．2．二次函数（）满足，且，（1）求的解析式；【答案】（1）；（2）.【详解】（1）由，，则，又，则，整理可得，即，解得，所以.角度2：换元法：典型例题例题1．已知函数满足，则（

）A．1B．9C．D．【答案】D【详解】令，则，所以，所以函数的解析式为.所以故选：D.例题2．已知，则的解析式为___________.【答案】【详解】设，则，，，∴．故答案为：．同类题型演练1．已知，则________．【答案】，【详解】令，则，且，可得，所以().故答案为：，．2．已知函数.求函数的解析式；【答案】，．【详解】设，则，，所以，所以，．角度3：配凑法：典型例题例题1．已知，则（

）．A．B．C．D．【答案】A【详解】因为，所以．故选：A同类题型演练1．已知函数，则（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】因为，所以.故选:B2．已知，则_______．【答案】【详解】因为，所以，故答案为：角度4：方程组（消去）法：典型例题例题1．已知，，则的解析式为________．【答案】【详解】由题知，，①；又，②；由①②得，，则，故答案为：例题2．已知函数的定义域为，且，则_______【答案】【详解】考虑到所给式子中含有和，故可考虑利用换元法进行求解．在，用代替，得，将代入中，可求得．故答案为：.同类题型演练1．若函数，满足，且，则________．【答案】【详解】由，可知，联立可得，所以，又因为，所以，所以.故答案为：2．已知，则的解析式是________．【答案】.【详解】将等式中的换为得到：故有解得：，故答案为：角度5：赋值法求抽象函数的解析式典型例题例题1．设函数满足，且对任意，都有，则=_________.【答案】2021【详解】令，得，令得，即，所以，所以，故答案为：2021例题2．）设是定义在上的函数，且满足对任意等式恒成立，则的解析式为_____________．【答案】【详解】是定义在上的函数，且对任意，恒成立，令，得，即，，．故答案为同类题型演练1．若函数满足，写出一个符合要求的解析式_________．【答案】x(答案不唯一)【详解】因为函数满足，所以x，故答案为：x,答案不唯一2．已知函数对一切实数都有成立，且.（1）求的值；（2）求的解析式；【答案】（1）；（2）；（3）或.试题解析：（1）令，，则由已知，有（2）令，则，又∵，∴类型五：分段函数的求值角度1：分段函数求值典型例题例题1．已知函数，则___________.【答案】9【详解】解：根据题意，故答案为：9例题2．已知函数，则___________.【答案】【详解】，.故答案为：.同类题型演练1．已知函数则________.【答案】0【详解】因为，所以，所以故答案为：2．已知函数，则=_________【答案】【详解】.故答案为：-3.角度2：分段函数求值域典型例题例题1．函数的值域为（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】解：,当，，当，，所以，故选：A例题2．已知函数(1)求，的值；(2)作出函数的简图；(3)由简图指出函数的值域；【答案】(1)，；(2)作图见解析；(3)；(1)由解析式知：，.(2)由解析式可得：0120010∴的图象如下：(3)由（2）知：的值域为.同类题型演练1．求函数在－的最值.【答案】最大值是，最小值是.【详解】在上递增，对称轴是，在上递减，在上递增，，，，，所以当时，函数最大值是；当时，函数最小值是.2．已知函数.(1)画出函数的图像并写出它的值域；【答案】(1)由图可知，函数的值域为角度3：根据分段函数值域求参数典型例题例题1．已知函数无最大值，则实数a的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】D【详解】解：由题可知，当时，，其对称轴为，当时，函数有最大值为，当时，函数有最大值为，当时，，在单调递减，故，因为函数无最大值，故当时，需满足，解得，不符合题意，当时，需满足，解得，（舍去）.综上，实数a的取值范围是.故选：D.例题2．若函数的值域为，则实数的取值范围是______.【答案】【详解】解：当时，，当时，，，，，则此时函数的值域不是，故不符合题意；当时，，，，，则此时函数的值域不是，故不符合题意；当时，，，，，因为函数的值域为，所以，解得，综上所述实数的取值范围是.故答案为：.例题3．（多选）设函数，存在最小值时，实数的值可能是（

）A．2B．-1C．0D．1【答案】BC【详解】解：当时，，所以当时，，若，则，所以此时，即存在最小值，若，则当时，，无最小值，若，则当时，为减函数，则要使存在最小值时，则，解得，综上或.故选：BC.同类题型演练1．已知函数，若存在实数，使得对于任意的实数都有成立，则实数的取值范围是___________.【答案】【详解】分别作出、的图象中下图所示，由图可以看出当时，有确定的最大值，所以这时存在，使得对于任意都有.故答案为：.2．函数的值域为，则实数的取值范围是_____________．【答案】【详解】由题意，当时，显然单调递减，则；当时，是开口向，对称轴为的二次函数，则，又函数的值域为，所以只需，解得.故答案为：.类型六：新定义问题典型例题1．德国数学家狄利克雷（1805~1859）在1837年时提出：“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的值与之对应，那么是的函数．”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个，有一个确定的和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示，例如狄利克雷函数，即：当自变量取有理数时，函数值为1；当自变量取无理数时，函数值为0．以下关于狄利克雷函数的性质：①；②的值域为；③为奇函数；④，其中表述正确的个数是（

）A．1B．2C．3D．4【答案】C【详解】因为是无理数，所以，①正确；的函数值是1或0，所以的值域为，②正确；若是有理数，则是有理数，则，若是无理数，则是无理数，则，综上：是偶函数，③错误；若是有理数，则是有理数，则，若是无理数，则是无理数，，④正确，所以表述正确个数为3.故选：C2．中文“函数（function）”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译出来的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列四组函数，表示同一函数的是（

）A．，B．与