（人教A版）必修第一册高一数学上学期期末考点复习训练09指数与指数函数（解析版）

第1讲：指数与指数函数(重点题型方法与技巧)目录类型一：条件求值类型二：指数函数的图象及应用角度1：指数型函数图象过定点问题角度2：指数函数图象的识别角度3：画指数函数的图象类型三：指数函数的单调性角度1：利用指数函数的单调性比较大小角度2：利用指数函数的单调性解不等式角度3：指数型复合函数的单调性类型四：与指数函数（指数型复合函数）有关的定义域类型五：与指数函数（指数型复合函数）有关的值域类型六：可化为一元二次函数型类型七：与指数函数的相关的综合问题类型一：条件求值典型例题例题1．已知，且，求下列各式的值：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)(1)解：因为，且，所以；(2)解：因为，所以，则，因为，所以舍去）；(3)解：.例题2．若，求的值．【答案】23.【详解】因为，则有，所以的值23.同类题型演练1．已知，求的值．【答案】.【详解】因为，两边平方得即．所以即．又，所以．2．已知，求的值；【答案】；【详解】（1）∵∴，∴，∴；类型二：指数函数的图象及应用角度1：指数型函数图象过定点问题典型例题例题1．若且，则函数的图象一定过点（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：令.当时，，所以函数的图象过点.故选：C.例题2．已知曲线且过定点，若且，则的最小值为（

）.A． B．9 C．5 D．【答案】A【详解】定点为,，当且仅当时等号成立，即时取得最小值.故选A同类题型演练1．对任意实数且关于x的函数图象必过定点(

)A． B． C． D．【答案】C【详解】∵且，∴1－a＞0且1－a≠1，故函数是指数函数，过定点(0，1)，则过定点(0，5).故选：C.2．已知函数(且)的图象恒过定点A，则点A的坐标为（

）A．(0，1) B．(2，3) C．(3，2) D．(2，2)【答案】B【详解】任意且，当，即时，恒有，即，所以函数的图象恒过定点A(2，3)，即A的坐标为(2，3).故选：B3．已知函数（且）的图象过定点，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】当时，，故，所以不等式为，解得，所以不等式的解集为.故选：D角度2：指数函数图象的识别典型例题例题1．函数①；②；③；④的图象如图所示，，，，分别是下列四个数：，，，中的一个，则，，，的值分别是（

）A．，，， B．，，，C．，，，， D．，，，，【答案】C【详解】由题图，直线与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，而.故选：C．例题2．函数(是自然底数)的大致图像是（

）A．B．C．D．【答案】C【详解】解析，函数为偶函数，且过，，函数在上递增，在上递减，故C符合.故选：C.例题3．如图所示，函数的图像是（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】，时，时，.故选：B.同类题型演练1．函数的大致图像是（

）A．B．C．D．【答案】C【详解】解：由函数，得，所以函数为偶函数，故排除AB，当时，，所以函数在上是减函数，故排除D.故选：C.2．函数的图象的大致形状是（

）A．B．C．D．【答案】C【详解】∵，又，∴根据指数函数图像即可判断选项C符合.故选：C.角度3：画指数函数的图象典型例题例题1．已知函数|.(1)作出图象；【答案】(1)图像见解析(1)解：先作函数的图象，再作函数图象.作法：将函数图象在y轴左侧去掉，保留右侧，再把右侧沿y轴翻折到左侧得到函数图象（下图中虚线），再将函数图象向左平移1个单位得到函数图象，函数图象如下图所示：例题2．根据函数的图像，画出下列函数的图像．（1）；

（2）；

（3）．【详解】（1）函数的图像与的图像关于轴对称（2）函数的图像与的图像关于直线对称（3）将的图像位于轴左侧的图像去掉，再将轴右侧的图像对称过来，同类题型演练1．已知的图象，指出下列函数的图象是由的图象通过怎样的变化得到：(1)；(2)；(3)；(4)；(5).【答案】(1)向左平移1个单位；(2)向右平移1个单位；(3)向上平移1个单位；(4)关于轴对称；(5)保留时，的图象，再作关于轴对称.（1）解：的图象是由的图象向左平移1个单位得到.（2）解：的图象是由的图象向右平移1个单位得到．（3）解：的图象是由的图象向上平移1个单位得到．（4）解：∵与的图象关于轴对称，∴作的图象关于轴的对称图形便可得到的图象．（5）解：∵为偶函数，故其图象关于轴对称，故先作出当时，的图象，再作关于轴的对称图形，即可得到的图象．类型三：指数函数的单调性角度1：利用指数函数的单调性比较大小典型例题例题1．已知，则的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】∵是减函数，，所以，又，∴．故选：C．同类题型演练1．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：是增函数，故，而，故.故选：A.2．已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】，又函数单调递增，故，即，故选：D. 角度2：利用指数函数的单调性解不等式典型例题例题1．不等式的解集为__________.【答案】【详解】由，得，所以，即，得，解得或，所以不等式的解集为，故答案为：例题2．不等式恒成立，则的取值范围是_________．【答案】【详解】解：因为在R上递增，所以不等式恒成立，即，恒成立，亦即恒成立，则，解得，故的取值范围是．故答案为：同类题型演练1．不等式的解集为_____________.【答案】【详解】不等式为，即，解得，所以不等式的解集为，故答案为：2．已知若，求x的取值范围．（结果用区间表示）【答案】

【详解】（1）因为，所以，解得，即x的取值范围为.角度3：指数型复合函数的单调性典型例题例题1．函数的单调递减区间是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】设，在单调递增，在单调递减，在单调递增，根据“同增异减”可得，函数的单调递减区间是.故选：A.例题2．已知函数，则（

）A．是偶函数，且在是单调递增 B．是奇函数，且在是单调递增C．是偶函数，且在是单调递减 D．是奇函数，且在是单调递减【答案】B【详解】解：定义域为，且，所以为奇函数，又与在定义域上单调递增，所以在上单调递增；故选：B例题3．若函数在单调递减，则的取值范围（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】依题意函数在单调递减，在上递减，的开口向上，对称轴为，根据复合函数单调性同增异减可知，.故选：C同类题型演练1．函数y＝的单调递减区间为（

）A．（－∞，0] B．[0，＋∞）C．（－∞，] D．[，＋∞）【答案】B【详解】解:函数y＝u在R上为减函数，欲求函数y＝的单调递减区间，只需求函数u＝x2－2的单调递增区间，而函数u＝x2－2的单调递增区间为[0，＋∞），故所求单调递减区间为[0，＋∞）.故选:B2．函数的单调递增区间为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为函数的单调递增区间为，所以根据复合函数单调性可知，的单调递增区间为故选：A类型四：与指数函数（指数型复合函数）有关的定义域典型例题例题1．函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意得，即，解得．故选：C.例题2．函数的定义域为______．【答案】【详解】因为，所以，则，即，解得，故函数的定义域为．故答案为：.同类题型演练1．函数的定义域是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：由题意得：，故，故，解得：，故函数的定义域是，故选：B．2．函数的定义域为______________．【答案】【详解】换元，得出，解得（舍去）或，即，解得.因此，函数的定义域为，故答案为.类型五：与指数函数（指数型复合函数）有关的值域典型例题例题1．已知函数．当时，的值域为______；若的最大值为16，则的值为______．【答案】

-2【详解】当时，，设，则，因为在R上是增函数，所以，即，所以函数的值域是；要使函数的最大值为16，则的最大值为4，故，解得．故答案为：；例题2．已知函数（，且），求函数在上的值域．【详解】令，则可化为．当，时，，又在上单调递增，∴，即；当，时，，又在上单调递增，∴，即．综上，当时，函数在上的值域是；当时，函数在上的值域是．例题3．已知且，函数，(1)求的单调区间和值域；(2)若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围；(3)若对于任意，任意，都有恒成立，求的取值范围．【答案】(1)函数的递增区间为，递减区间为，(2)(3)(1)则，为偶函数设，则函数等价为若，当时，单调递增，且，此时函数在上单调递增，根据复合函数的单调性可知此时单调递增．若，当时，单调递减，且，此时函数在上单调递减，根据复合函数的单调性可知此时单调递增．综上当时，函数单调递增，函数是偶函数，当时，函数单调递减．故函数的递增区间为，递减区间为．函数的值域为]．(2)且，的对称轴为，函数在时，函数单调递减．，．即，若对于任意，总存在，使得成立，即且，则，即，此时，且，，即的取值范围是；(3)若对于任意，任意，都有恒成立，即则，，，解得且即的取值范围同类题型演练1．函数在的值域为______．【答案】【详解】解：，设，当时，，所以，所以在的值域为．故答案为：．类型六：可化为一元二次函数型典型例题例题1．函数的值域为____.【答案】【详解】解：令，函数化为，即函数的值域为．故答案为：例题2．已知（其中且为常数）有两个零点，则实数的取值范围是___________.【答案】【详解】设，由有两个零点，即方程有两个正解，所以，解得，即，故答案为：.同类题型演练1．给定函数，若对于定义域中的任意x，都有恒成立，则称函数为“爬坡函数”.(1)证明：函数是“爬坡函数”；(2)若函数是“爬坡函数”，求实数m的取值范围；【答案】(1)证明见解析；(2).（1）恒成立，则是“爬坡函数”.（2）依题意，恒成立，令，即在恒成立，当，即，则只需满足，当，即，则只需满足，综上所述，实数m的取值范围为2．函数且，函数.(1)求的解析式；(2)若关于的方程在区间上有实数根，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).(1)由，可得：，解得：，∴；(2)由，可得，令，则，则原问题等价于y＝m与y＝h(t)＝在上有交点，数形结合可知m∈[h()，h(4)]＝.故实数的取值范围为：.类型七：与指数函数的相关的综合问题典型例题例题1．已知函数.(1)用函数单调性的定义证明在区间上单调递增；(2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)证明见详解；(2).（1）任取，且，则，，所以，所以在区间上单调递增.（2）不等式在上恒成立，等价于在上恒成立，令，因为，所以，则有在恒成立，令，则，所以，所以，所以实数的取值范围为.例题2．已知定义域为的函数为奇函数．(1)求的值；(2)，恒成立，求的取值范围．【答案】(1)1(2)（1）因为是定义在上的奇函数，所以，则（经检验，时为奇函数，满足题意）．（2）因为是奇函数，所以不等式等价于，又由（1）知，易知是上的减函数，所以，即对任意的有恒成立，从而对应方程的根的判别式，解得．所以的取值范围为．例题3．已知函数.(1)求与，与的值；(2)由（1）中求得的结果，猜想与的关系并证明你的猜想；(3)求的值.【答案】(1)），，，(2)，证明见解析(3)(1)解：因为，故，，，.(2)解：猜想：，证明：∵对于任意的，都有∴.故.(3)解：由（2）得，故，，，所以.同类题型演练1．已知函数.(1)判断函数的奇偶性并加以证明；(2)，不等式成立，求实数的取值范围.【答案】(1)为奇函数，证明见解析(2)（1）解：函数为奇函数，证明如下：函数的定义域，因为，所以为上的奇函数；（2）解：因为，因为在定义域上单调递增，且，又在上单调递增，所以在上单调递增，则不等式恒成立，即恒成立，即恒成立，所以恒成立，即恒成立，所以，解得，所以的范围为．2．已知函数．(1)判断并证明在其定义域上的单调性；(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)在上单调递增；证明见