（人教A版）必修第一册高一数学上学期期末考点复习训练14三角恒等变换（解析版）

第3讲：三角恒等变换(重点题型方法与技巧)目录类型一：三角函数式求值类型二：已知三角函数值求角问题类型三：三角函数式化简类型四：和（差）角公式逆应用类型五：利用半角公式、万能公式求值类型六：辅助角公式的应用类型七：角的变换（拼凑角）类型八：三角函数的实际应用类型一：三角函数式求值典型例题1．已知，则等于（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因，则，而，于是得，所以.则故选：B2．（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】.故选：C3．若，，则_____.【答案】【详解】，由于，所以，所以.故答案为：4．设，，则______．【答案】【详解】解：因为，所以，又，所以，所以．故答案为：5．（1）已知，求的值；（2）已知，且，，求角的值．【答案】（1）；（2）.【详解】（1）；（2）因为，所以，所以，，.同类题型演练1．已知角的终边经过点，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题可知，，解得，故．故选：A.2．已知，则______．【答案】##【详解】由，则，即，故答案为：3．若是锐角，且，则=________.【答案】【详解】因为是锐角，所以，又，所以，所以，所以.故答案为：.4．已知角的终边经过点，则___________.【答案】【详解】因角的终边经过点，则，所以.故答案为：类型二：已知三角函数值求角问题典型例题1．若角，，且，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：令，因为，所以，所以．所以，，故，所以，因为函数单调递增，所以的范围是，因为，，所以，即，解得，所以，，因为，，所以，所以，所以，．又因为，且，所以．又因为，，所以，所以．所以，所以．故选：D2．写出满足的的一个值：______．【答案】（答案不唯一，只要满足或，即可）【详解】因为，所以，解或，，解得或，．故答案为：3．已知．(1)求的值；(2)若，且，求的值．【答案】(1)(2)（1），解得，所以．（2）由（1）知，又因为，所以；因为，所以，又，所以，于是，又，所以．同类题型演练1．已知，则_____.【答案】【详解】因为，，所以，因为，解得：，所以，由，得，解得：，因为，所以．故答案为：2．已知都是锐角，，则___________.【答案】【详解】、为锐角，，，由于为锐角，故答案为：3．已知，(1)求和的值(2)若，，求的大小．【答案】(1)，；(2)（1），；（2），，∵，∴.类型三：三角函数式化简典型例题1．若，则（

）A．1 B． C． D．【答案】B【详解】解：因为，所以，所以．故选：B2．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由.故选：B.3．已知角的终边经过点，则___________.【答案】【详解】因角的终边经过点，则，所以.故答案为：4．计算下列各式的值：(1)；(2).【答案】(1)(2)（1）解：原式.（2）解：因为，则原式.同类题型演练1．若，则（）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：∵，∴，∴，故选：B．2．的值为（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【详解】原式=.故选：C.3．若，，则_________．【答案】【详解】因为，，∴，∴.故答案为：.4．已知为三角形的内角，且，则___________.【答案】【详解】由，可得，故.故答案为：．类型四：和（差）角公式逆应用典型例题1．（

）A．0 B． C． D．1【答案】A【详解】解：.故选：A2．的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】.故选：C3．的值为（

）A．0 B． C． D．【答案】D【详解】①②得：．故选：D4．____．【答案】##【详解】解：．故答案为：5．____________．【答案】【详解】．故答案为：.6．求下列各式的值(1)(2)(3)(4)【答案】(1)0；(2)；(3)；(4).(1).(2).(3).(4).7．（1）计算的值；（2）已知为锐角，，求.【答案】（1）（2）【详解】（1）；（2）∵为锐角，所以，又，所以.同类题型演练1．（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】.故选：D2．（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】．故A，C，D错误.故选：B.3．计算（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：因为=-.故选：A.4．化简：______．【答案】【详解】.故答案为：.5．____________.【答案】【详解】原式故答案为：6．下列式子计算结果为的是_______．①；

②；③；

④【答案】①②③【详解】对于①，，，则，①正确；对于②，，②正确；对于③，，③正确；对于④，，④错误.故答案为：①②③.7．求值：【答案】1【详解】.类型五：利用半角公式、万能公式求值典型例题1．的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】．故选：B．2．已知，，则A． B． C． D．【答案】D【详解】，，，，，故选D.3．已知锐角满足，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由得，所以，又，所以，由，解得，或（舍去，此时不是锐角），，是锐角，，，则，所以．故选：C．4．已知sin2θ＝，0＜2θ＜，则＝________．【答案】【详解】因为，所以，所以，因为所以，即故答案为：5．已知，，，，则的值为___________；的值为___________.【答案】

【详解】因为，，所以，因为，所以，因为，所以，所以，则，所以同类题型演练1．已知，，则（

）A．3 B． C． D．【答案】D【详解】由，又，，则，所以.故选：D2．已知，则___________.【答案】【详解】因为，所以，所以，所以，故答案为：.3．已知，则________．【答案】【详解】因为，由诱导公式得：所以．，．故答案为：4．利用半角公式，求的值．【答案】【详解】解：因为，所以、，所以5．已知，，，(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)(2)(1)∵，∴，∴，，，∴，∵∴∴(2)由得∴①将①式两边平方得∴②∵∴，③由①和③得.类型六：辅助角公式的应用典型例题1．若对任意恒成立，则的最大值为（

）A． B．2 C． D．【答案】C【详解】解：由题意，得，，令，，则只需即可，令，因为，所以，则，且，所以，，则在上为减函数，所以，所以，即的最大值为；故选：C．2．设，则=（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：即，所以即，所以，故选：D3．已知，且，则____________．【答案】【详解】，，因为，所以，，所以．故答案为：4．已知函数.设，.(1)求的最小正周期；(2)求的值.【答案】(1)；(2)（1），所以的最小正周期为；（2）因为，所以，因为，所以，因为，所以，所以5．已知函数.(1)求函数的单调递增区间；(2)若，且，求的值.【答案】(1)(2)（1）解：，令，则，所以，函数的单调递增区间为（2）解：因为，即，所以，因为，所以，所以，所以，同类题型演练1．函数的最大值是（）A． B． C．1 D．【答案】A【详解】，，所以函数的最大值为，故选：A.2．（多选）下列各式中，值为的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【详解】对于A，，故A错误；对于B，，，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，.故选：BCD.3．已知函数．(1)求的最小正周期和对称轴：(2)当时，求的最大值和最小值．【答案】(1)，(2)最大值为2，最小值为．（1）．的最小正周期为．令，，解得，，故对称轴为，．（2）当时，有，可得，故，则的最大值为2，最小值为．4．已知函数.(1)求函数的单调递减区间；(2)当时，能成立，求的取值范围.【答案】(1)，；(2)（1），令，，解得，，所以的单调递减区间为，；（2）因为，则，所以，故，当时，能成立，即，所以，故的取值范围为.类型七：角的变换（拼凑角）典型例题1．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：因为，所以；故选：A2．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：因为，所以，所以.故选：B.3．已知，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】，.又，，，故选：B．同类题型演练1．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，所以，平方后可得，整理得，所以.故选：D.2．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】，.故选：C3．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，所以，所以，所以，所以，所以，即，所以，故选：A4．已知，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由，平方可得，可得，因为，可得，则，所以.故选：D.类型八：三角函数的实际应用典型例题1．三相交流电是我们生活中比较常见的一种供电方式，其瞬时电流（单位：安培）与时间（单位：秒）满足函数关系式：（其中为供电的最大电流，单位：安培；表示角频率，单位：弧度/秒；为初始相位），该三相交流电的频率（单位：赫兹）与周期（单位：秒）满足关系式．某实验室使用5赫兹的三相交流电，经仪器测得在秒与秒的瞬时电流之比为，且在秒时的瞬时电流恰好为1安培，若，则该实验室所使用的三相交流电的最大电流为（

）A．2安培 B．安培 C．3安培 D．安培【答案】A【详解】由题意，∴，，∴，从而∵在秒与秒的瞬时电流之比为∴∴∴，即∵，∴，从而∵在秒时的瞬时电流恰好为1安培∴，即，解得．故选：A．2．在西双版纳热带植物园中有一种原产于南美热带雨林的时钟花，其花开花谢非常有规律.有研究表明，时钟花开花规律与温度密切相关，时钟花开花所需要的温度约为，但当气温上升到时，时钟花基本都会凋谢.在花期内，时钟花每天开闭一次.已知某景区有时钟花观花区，且该景区6时时的气温（单位：）与时间（单位：小时）近似满足函数关系式，则在6时时中，观花的最佳时段约为（

）（参考数据：）A．时时 B．时时C．时时 D．时时【答案】C【详解】当时，，则在上单调递增.设花开､花谢的时间分别为.由，得，解得时；由，得，解得时.故在6时时中，观花的最佳时段约为时时.故选：C3．与图中曲线对应的函数可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】对于A选项，当时，，A选项不满足条件；对于B选项，当时，，，B选项不满足条件；对于C选项，当时，，C选项不满足条件；对于D选项，令，该函数的定义域为，，故函数为偶函数，当时，，D选项满足条件.故选：D.同类题型演练1．（多选）如图，一个半径为的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心距离水面的高度为．设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水面下则为负数）．若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，与时间（单位：之间的关系为，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【详解】振幅即为半径，即；因为逆时针方向每分转1.5圈，所以；；.故选：AC.2．（多选）如图为一半径为3m的水轮，水轮圆心O距水面2m，已知水轮每分钟转5圈，水轮上的点P到水面距离y（m）与时间x（s）满足关系式，则有（

）A． B． C． D．【答案】BCD【详解】由题意可知，可得，该函数的周期为，∴.故选：BCD.3．某游乐场的摩天轮示意图如图所示，已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆