等腰三角形课件湘教版数学八年级上册

第4章

三角形4.5等腰三角形

第4章

三角形随堂演练课堂小结情景引入知识回顾获取新知4.5第1课时

等腰三角形及其性质例题讲解1.定义:两条边相等的三角形叫做等腰三角形.

如图AB=AC,

△ABC就是等腰三角形

2.等腰三角形的基本要素:相等的两边叫做腰另一边叫做底边

两腰的夹角叫做顶角

腰和底边的夹角叫做底角

ABC腰腰底边顶角底角底角知识回顾3.线段是轴对称图形吗？请在本子上画出一条线段的对称轴．情景引入如图,把一张长方形纸片按图中的虚线对折,然后沿着虚线剪去一部分,再把它展开,得△ABC.AC和AB有什么关系?这个三角形有什么特点?思考在等腰

△ABC中，已知AB=AC，AD是

△ABC的中线，则∠B=∠C吗？

∠BAD=∠CAD吗？AD是△ABC的高线吗？获取新知

由此可得等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简称

“等边对等角”)，底边上的高线、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”).你能找出等腰三角形的对称轴吗？结论等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线.等腰三角形性质定理1等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线重合(简称“三线合一”)等腰三角形性质定理2等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”）等腰三角形性质定理3“三线合一”适用条件：

（1）必须是等腰三角形；

（2）必须是底边上的高、底边上的中线和顶角的平分线才相互重合。例1如图，在△ABC中，AB=AC，D为AB的中点，点E在AC上，且BE=BC=AE.求证：（1）求证：ED⊥AB；（2）求△ABC各角的度数.例题讲解ABC12DE解：（1）

因为BE=AE，D为AB的中点，所以ED是等腰△EAB的边AB上的中线，从而ED⊥AB（三线合一）.（2）

因为AB=AC，BE=BC=AE，所以∠ABC=∠C，∠C=∠1，∠A=∠2（等边对等角）.于是∠1=∠A+∠2=2∠A，从而∠ABC=∠C=∠1=2∠A.又∠A+∠ABC+∠C=180°，于是∠A+2∠A+2∠A=180°，从而∠A=36°，因此∠A，∠ABC，∠C的度数分别为36°，72°，72°.如图

的三角测平架中,AB=AC,在BC的中点D挂一个重锤,自然下垂,调整架身,使点A恰好在铅垂线上．(1)AD与BC是否垂直,试说明理由;(2)这时BC处于水平位置,为什么?议一议垂直，三线合一AD为铅垂线，BC垂直于AD，所以BC处于水平位置想一想如图，△ABC是等边三角形，那么∠A，∠B，∠C的大小之间有什么关系呢？因为△ABC是等边三角形，所以AB＝BC＝AC,从而∠C＝∠A＝∠B由三角形内角和定理可得：∠A＝∠B＝∠C＝60°．获取新知1、

如图，在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的高，∠BAC=49°，BC=4，求∠BAD的度数及DC的长.答：∠BAD=24.5°，DC=2.随堂演练2.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，垂足为点D.求证：∠DBC=∠BAC.解:

作AF⊥BC于F

∵AB=AC

AF⊥BC

∴∠CAF=∠BAF=∠BAC

∵AF⊥BC

BD⊥AC

∴∠CAF+∠C=∠DBC+∠C=90°

∴∠DBC=∠CAF

∴∠DBC=∠BAC.F课堂小结等腰三角形的性质等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在直线等腰三角形的两底角相等等腰三角形“三线合一”第4章

三角形课堂小结获取新知知识回顾例题讲解4.5第2课时

等腰三角形的判定随堂演练知识回顾1、等腰三角形的定义？有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。③等腰三角形是轴对称图形。②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合。(简称“三线合一”).①等腰三角形的两个底角相等。

(简写成“等边对等角”)2、等腰三角形有哪些性质？DABC

任意画∠EBC，在线段BC的同侧，以C为顶点作∠FCB，

使∠FCB=∠EBC，BE与CF交

于

点A，得到△ABC，如图所示.用圆规量一量AB和AC，它们相等吗？由此，你能发现什么？探

究可以发现AB=AC，从而△ABC是等腰三角形.下面对探究得出的结论进行证明.解：在△ABC中，∠B=∠C，以过点A的一条直线为折痕对折，使得射线AC与射线AB重合，折痕与BC的交点记作D，则AD为∠BAC的平分线.D

例2.如图

，在△ABC中，AB=AC，D，E分别是AB，AC上的点，且DE∥BC.求证：△ADE为等腰三角形.

证明：因为AB=AC，所以∠B=∠C（等边对等角）.又因为DE∥BC，所以∠ADE=∠B，∠AED=∠C.因此∠ADE=∠AED.于是△ADE为等腰三角形（等角对等边）例题讲解DE例3.求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形.已知：如图

，∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC.求证：AB=AC.例题讲解证明:因为AD∥BC，所以∠1=∠B（两直线平行，同位角相等），∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）.又因为∠1=∠2，所以∠B=∠C.因此AB=AC（等角对等边）.1、已知：等腰三角形ABC的底角∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O.

求证：△OBC为等腰三角形.ABCDEO证明因为∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，所以

∠ABD=∠DBC=，∠ACE=∠ECB=，所以

∠DBC=∠ECB，所以

△OBC是等腰三角形.又因为

△ABC是等腰三角形，所以

∠ABC=∠ACB，随堂演练2.如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°.分别计算∠1，∠2的度数，并找出图中所有的等腰三角形.解：∠ABC=180°-36°-72°=72°，∠2=72°-36°=36°，∠1=180°-36°-72°=72°，因为∠ABC=∠C=72°，所以ΔABC为等腰三角形；因为∠A=∠2=36°，所以ΔABD为等腰三角形；因为∠1=∠C=72°，所以ΔBDC为等腰三角形；等腰三角形两边相等两角相等(选择其中一种)课堂小结第4章

三角形课堂小结获取新知知识回顾例题讲解4.5第3课时

等边三角形的性质与判定随堂演练知识回顾等腰三角形的性质：1.“等边对等角”；2.“三线合一”.等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是底边和腰相等的等腰三角形，即等边三角形具有等腰三角形的所有性质.等边三角形还有哪些其他特殊的性质呢？想一想如图，△ABC是等边三角形，则AB=AC=BC.由于AB=AC，则根据等腰三角形的性质定理得，∠B=∠C.同理，由于AC=BC，因此∠A=∠B，从而∠A=∠B=∠C.根据三角形内角和定理得，∠A+∠B+∠C=180°，因此∠A=∠B=∠C=60°.由此可得等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°.获取新知等边三角形的三个内角的大小之间有什么关系呢？等边三角形的性质（1）等边三角形具有等腰三角形的一切性质。（2）等边三角形的三个内角相等，且都等于60°。（3）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，三个内角的平分线所在的直线都是它的对称轴。结论说一说由上可知，等边三角形的三个角相等，其逆命题成立吗？逆命题成立.如，在△ABC中，由于∠A=∠B，则AC=BC.同理可由∠B=∠C得AB=AC.于是AB=AC=BC.因此△ABC是等边三角形.由此可得等边三角形的判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形.思

考有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形吗？如图，在△ABC中，AB=AC.情形1设∠A=60°.根据三角形内角和定理得∠B+∠C=180°-∠A=180°-60°=120°.由于AB=AC，因此∠B=∠C=60°.于是△ABC是等边三角形.情形2

设∠B=60°.由于AB=AC，因此∠C=∠B=60°，从而∠A=180°-∠B-∠C=180°-60°-60°=60°.因此△ABC是等边三角形.情形3

设∠C=60°.与情形2类似，同理可证△ABC是等边三角形.由此可得等边三角形的判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.例4如图

，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BA，CA的延长线上，且AD=AE.求证：△ADE是等边三角形.例题讲解证明因为△ABC是等边三角形，所以∠BAC=60°（等边三角形的性质定理）.因为∠EAD=∠BAC=60°，AD=AE，所以△ADE是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）.1、

如图，在△ABC中，AB=AC=BC，AD为BC边上的高，求∠BAD的度数.答：∠BAD=30°.随堂演练2、

如图，点P为等边三角形ABC的边BC上一点，且∠APD=80°，AD=AP，求∠DPC的度数.答：∠DPC=20°.3.

如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数．解：∵△ABC是等边三角形，