2023-2025北京高一（上）期末数学汇编：函数与方程、不等式之间的关系（人教B版）

2023-2025北京高一（上）期末数学汇编

函数与方程、不等式之间的关系（人教B版）

一、单选题

1.（2025北京丰台高一上期末）已知定义在R上的奇函数"X）满足”27）寸（x）,且在区间［0,1］上单调

递减，则下列结论正确的是（）

A./（2）=1

B.是以2为周期的周期函数

C./（八）在区间［10,11］上单调递减

D.若关于x的方程/（%）=，〃在区间［-8,-6］上有两个实数根，分别记为芭,/，贝心+々=-14

2.（2023北京H学校高一上期末）函数”的零点个数是（）

A.0B.1C.2D.3

二、填空题

3.（2025北京北师大附中高一上期末）对于函数/*）,若集合｛Xx>0"（x）=/（T）｝中恰有4个元素，则

称函数/（#是x阶准偶函数已知函数

2x,x>a.

（1）若。=0,则函数/（幻是“阶准偶函数”；

（2）若函数/*）是“1阶准偶函数”，则。的取值范围是.

4.（2024北京丰台高一上期末）能说明“关于x的不等式2a>0在R上恒成立"为假命题的实数。的

一个取值为.

5.（2023北京四十四中高一上期末）关于x的方程（丁一1了52T+2=。，给出下列四个命题：

①不存在实数3使得方程恰有2个不同的实根；

②存在实数3使得方程恰有4个不同的实根：

③不存在实数3使得方程恰有5个不同的实根；

④存在实数3使得方程恰有8个不同的实根.

其中正确命题的序号是.（写出所有正确命题的序号）

三、解答题

6.（2025北京清华附中高一上期末）已知二次函数/（工）=/-2侬+1,其中6>0.

⑴若/"）的最小值为-1，求肥的值；

⑵若/（X）有两个不同的零点七，石，求证：汇;曹6>4.

7.（2025北京丰台高一上期末）设函数/（刈=/+伽-4）…+5,其中〃>0.

（1）当〃=1时，求/（“在区间［0,3］上的最大值和最小值：

⑵若/（X）在区间［1,4］上不单调，求〃的取值范围；

⑶若/口)在区间(T,2)内存在零点，求〃的取值范围.

8.(2025北京北师大附中高一上期末)设函数/(幻=依2-2x7,关于x的不等式/。)40的解集为S.

(1)当a=3时，求解集S；

(2)是否存在实数a,使得S=(y,-2]~宗2)?若存在，求出。的值；若不存在，说明理由.

(3)求函数y=/(x)的零点.

9.(2024北京西城高一上期末)已知函数/(力=/+,3+〃，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作

为已知，使/(“存在并且唯一，并完成下列问题.

⑴求的值；

⑵已知函数双刈=八幻-(，〃-2»有两个不同的正数零点玉,5.

(i)求利的取值范围;

(ii)若lx-苍1=2,求利的值.

条件①：八。)=4；条件②：VxeR,/(l+x)=/(l-x)；条件③：VxeR,/*)之/⑴.

注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.

参考答案

1.D

【分析】对于选项A,定义在R上的奇函数/（工），则/（（））=（）.令x=0得出/（2）=0判定；对于选项B,

要通过已知条件推导出函数的周期：对于选项C,根据函数的后期性和已知区间的单调性来判断指定区间

的单调性；对于选项D,利用函数的对称性来确定方程两根的和.

【详解】对于A,由于函数〃戈）是定义在R上的奇函数/（工），则/（0）=0.

由〃2r）=/（x）,取x=0可得/（2）=/（0）=0,故A错误；

对于B,因为/a）是定义在R上的奇函数,则/（-力=-/（力,

又因八2-x）=/（x）,则f（2-x）=-f（-x）.

用x替换r可得/（2+x）=—/（x）,故有/（4+x）=—〃2+x）=/（x）.

所以/*）是以4为一个周期的周期函数，故B错误；

对于C,已知/“）在。1］上单调递减，因于"）是奇函数,故/（.v）在上也单调递减，即于x）在［-1,1］

上单调递减.

由于/*）的周期是4,那么/"）在［10,11］上的单调性与［2,3］上的单调性相同.

由f（2-幻=/（x）可知/（x）的图象关于直线x=1对称，

所以在［1,3］上的单调性与［T1］上的单调性相反，即以"）在［L3］上单调递增,所以/⑴在［10,11］上单

调递增，故C错误；

对于D,因八刈的图象关于直线x=l对称，且周期可取为-8,故/*）的图象关于直线工=-7对称.

若关于x的方程f（x）=，〃在区间［-8,-6］上有两个实数根七,x2,

根据函数图象的对称性可知笥土"=-7,则x+毛=74,故D正确.

故选：D.

2.D

【分析】分解因式求解方程的根即可.

【详解】函数y=F-9x的零点，即方程V-9x=0的实数根.

由%3—9工=工（1+3）0—3）=0解得，x=0或±3.

故函数），=/9%的零点个数是3.

故选：D

3.2［-2,-l）|J［l，2）

【分析】（1）根据'〃阶准奇函数”的定义，可将问题转化为将=2%的根的问题;

（2）根据“1阶准偶函数”定义，分4V0,。>0,〃=0三种情况分析即可得答案.

【详解】①当。=0时，函数="X）的取值为2x,/（7）的取值为口「，即23根

2x,x>0

据题意得2'=2x,解得x=2或x=l,

则集合｛Xx>°，fM=f(-x)｝中恰有2个元素，

故"。是“2阶准偶函数”

2x,x>0

②根据题意，函数/(工)=、(5)‘支""'是“1阶准偶函数''，

2x,x>a.

则集合何X>0J(x)=/(-x)｝中恰有1个元素，

当〃=0时,〃x)h(5)是"2阶准偶函数”，不合题意;

2x,x>0

根据“1阶准偶函数”的定义得了(M的可能取值为2.r,/(-X)的可能取值为(£|“=21

由题意知八幻=/(-幻，

所以24=2、解得x=l或x=2

要使得集合3工>0,/("=/(一刈中恰有1个元素，则需要满足lv-。£2,

BP-2<«<-l

HY<

当。>0时，困数八刈=•"一”的图像如图②所示，

2x,x>a.

图②

根据“1阶准偶函数”的定义得了（"的可能取值为2x或6J，/（T）为61=2'，

由题意知f（x）=f（-x）,

当（gj=2、，解得x=0不符合题意

当2x=2'，解得x=2或x=l,

要使得集合｛dx＞Oja）=f（r）｝中恰有1个元素，则需要满足叱。＜2.

综上,若函数/J）是“1阶准偶函数”,则4的取值范围是［-2,-1）11口，2）.

故答案为:2；范围是［U）.

【点睛】解题的关键是根据新定义的“女阶准偶函数”，将问题转化为研究函数/（x）,/（-力可能取何值,

求出方程/（X）=/（T）的解，通过分类讨论根据/U）=/（-X）方程的解的个数确定。的取值范围.

4.0（答案不唯一）

【分析】将关于X的不等式d—奴+2〃＞0在R上恒成立问题转化为△＜（）,从而得到。的取值范围，命题

为假命题时〃的取值范围是真命题时的补集，即可得。的取值.

【洋解】若不等式f一如+%＞。在R上恒成立，则△=（-af-4x2a＜（）,

解得0＜。＜8,

所以该命题为假命题时实数。的取值范围是。＜0或a＞8,

所以实数。的一个取值为0.

故答案为：0（答案不唯一，只要满足“aWO或。之8”即可）.

5.②④

【分析】将方程（炉-1）2_,_1+&=0,转化为卜2_1）2_卜2_1卜此,

令，=f_1之一1,转化函数一上|与y=一攵的交点情况，

分±=o,-k＞（）,-k=~,讨论求解.

44

【详解】方程（V-炉---1|+攵=0,可化为卜2-1丫+2_］卜”

令，=入2_1之一1,则y=f2T4，3=.k,在同一坐标系中，作出其图像，如图所示：

4

当力=0时，交点的横坐标为-1,0,1,且T0,l在f的值域［-1,依）中,

令X2—1=-l,x2—1=0.x2-1=1»解得A-=0,X=±l,x=±5/2♦

故方程恰有5个不同的实根；

当也<0,即-2>0时，图像有两个不同的交点,设交点的横坐标为京明且6>1冉<-1，

令解得*=±阮，故方程恰有2个不同的实根；

当仁［即必=-：时，图像有两个不同的交点，设交点的横坐标为g*且y（-1，。），公（0』），

令4=/_1,令解得_¥=±小1+小*=±\/1+1,

故方程恰有4个不同的实根；

当OvAvg,即-!<-k<0时，图像有四个不同的交点，设交点的横坐标为“人必小，

44

且彳也丘（-1，0）山，4丘（。，1）,

22

令g=f,z6=x-1,r7=x-1,4=/_］,

解得x=土J1+&,x=±J1+%,x=土炉x=土J1+&

故方程恰有8个不同的实根；

故答案为：②④

6.（1）72

（2）证明见解析.

【分析】（1）根据二次函数性质求解；

（2）利用韦达定理把不等式左边表示为，”的函数，再结合基本不等式可证.

222

【详解】（1）/（x）=x-2mx+l=（x-m）+l-mt

所以f（X）min==-1，解得〃?=血（负值舍去）;

（2）由题意f（X）=/一〃八-1=0的两根为xpx2且玉#西，

所以△=〃『-4>0,因为〃>0,故解得〃?>2,

%+工2=〃?,西工2=1，

LL,,X：+X：+6（X,4-x,）2+6ni2+44、J4-

所以—---£——=———=------———=------=7//+—>2m•一=4,

X1+X,N+%mmVfn

4

当且仅当加=即〃?=2时等号成立.

7.（1）最小值为3,最大值为7.

⑵目)

(3)|。，汕…).

【分析】(1)根据二次函数的性质得出最值；

(2)根据函数不单调列不等式计算求参；

(3)解法1：分△=()及△>()两种情况分类讨论求零点或结合零点存在定理计算范围；解法2：先计算对

称轴为工=?，再分/(T)=°，/(2)=0及〃-1)/(2)/0,结合零点存在定理计算求解.

【详解】(1)当时，/(x)=r-2x+4,

所以/("的对称轴为x=l,

所以f(x)在区间［0,3］上的最小值为"1)=3,最大值为"3)=7.

(2)由已知,得〃力的对称轴为"=三.

因为"在区间［1,4］上不单调，

所以1<三<4.

a

2

由4〉0,解得<1,

故”的取值范围是

(3)解法1：由己知，得△=(2a-4)2-4a(5—a)=4(2。—l)(a-4).

1)当△=()即〃=:，或。=4时，

2

由“心1，得f(x)=#1-3X+o1,此时小)的零点为3,不符合题意：

由〃=4,得/(力=4/+41+1,比时f(x)的零点为-；，符合题意.

2)当△>()即0<4<2，或〃>4时，

2

①若”>4,此时/(X)的对称轴1=平="|一16(—1,一31

且“2)=73>0

所以在区间(-1,2)内存在零点，符合题意

②若此时/(X)的对称轴1=?=1-1€(3，+8)，

所以/(同在区间(-1,2)内单调递减.

又因为/(T)=9一为>0,

所以在区间(T2)内存在零点只需满足/(2)=7〃-3<0,

3

解得0<代亍

综上，〃的取值范围是(o，]u[4,+e).

解法2：由己知,得〃-1)=9J⑵=7a-3J(x)的对称轴为1=宁

△=(2«-4)2-4a(5-a)=4(2a-lj(a-4).

1)当/(—1)=0即〃=£时，/(A-)=1X2+5A+1,

此时外力在区间(-1,2)内有零点为符合题意.

2)当"2)=0即”[时,/(力/若若,

此时/")在区间(-1,2)内无零点，不符合题意，

QQ

3)当/(一1)/(2)工0即“W，且"严，

由f(x)在区间(-1,2)内存在零点，则有以下两种情况:

ag

@/(-l)/(2)<0,解得0<〃<去或经看

/4

/（2）>0,

②）.2-a.解得44a<大

-1<----<2,2

a

A>0.

综上，4的取值范围是(0,5]=[4，+3).

【点睛】关键点点睛：解题的关键点是应用零点存在定理列不等式关系计算求参.

8.(l)5={x|-^x^l)

3

⑵存在，«=--

4

⑶答案见解析

【分析】(1)将。=3代入函数解析式，由/(外工0得关于％的一元二次不等式，求解即可；

(2)将一元二次不等式解集的端点值转化为一元二次方程的解，利用韦达定理求解即可；

⑶令/(x)=0,得方程加-2<-1=0,先根据•。是否等于零分类讨论，再结合一元二次方程的△判别

式，求根公式求解即可.

【详解】(1)当。=3时，函数/a)=3f-2x-1.

由f(x)KO,得3f—2x—l«0,Bl(3x+l)(x-l)<0,解得一；C«1.

所以解集S={x|-g«xQ}.

9

(2)假设存在实数使得S=(。,-2][-余内)，

2

则〃<0,并且-2,是方程加-2x-1=0的两个根，

a<0

223

所以-2-工=一,解得〃:

3a4

因此，存在。=-3,使得S=(-oo,-2][-^,-KO).

43

(3)令/*)=(),彳导关于x的方程以2—2X—1=0.

①当a=0时，有-2x-l=0,解得户」.

2

②当。工0时，关于刀的一元二次方程加-2%-1=。的判别式为D=4+W.

(i)当A<0,即av—1时，方程无实数解；

(ii)当△=0,即。=—1时,解得x=—1；

(iii)当△>(),即。>一1且〃工0时，解得、=生叵.

a

综上所述，当。<-1时，/(X)没有零点；

当。=T时，/(*)的零点为T；

当〃=0时，/(X)的零点为一(；

当〃>-1且