2021北京高一（上）期中数学汇编：不等式的性质

2021北京高一（上）期中数学汇编

不等式的性质

一、单选题

1.（2021•北京市第四十三中学高一期中）若则下列不等式一定成立的是（）

A.B.4ci>4bC.a'>b~D.a-c>b-c

ab

2.（2021.北京师大附中高一期中）若则下列不等式一定成立的是（）

A.->-B.a2<b2C.a3c护D.\a\>\b\

ab

3.（2021•北京市第三中学高一期中）下面结论正确的是（）

A.若aNb,则有,之!B.若a>b，则有

C.若1讨切，则有.2〃D.若aNb,则有021

b

4.（2021.北京・东直门中学高一期中）已知以〃,ceR,且a>〃，则下列不等式中一定成立的是（)

A.ac>hcB.a+c>b+c

D.ac~>be2

5.（2021•北京十五中高一期中）设mb£R,若依>0,则下歹!不等式中正确的是（）

A.b-a>0B.a2-b2<（）C.a3-/r?<0D.h+a>0

6.（2021・北京・101中学高一期中）已知。力是实数，则“a>0且人>0”是的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.即不充分也不必要条件

7.（2021•北京市第九中学高一期中）设a,0cR,下列命题中的真命题是（）

A.若《>），则|。|>|0|B.若贝

ab

C.若。>〃，则/D.若a>b,则

b

8.（2021•北京・中关村中学高一期中）已知a、b、c€/e,a>b,则下列不等式恒成立的是（）

A.-<-J-B.a2>b2C.«|cj>Z?|c|D.

ahc+1c+\

9.（2021•北京市第十三中学高一期中）已知aeR,则“•+c>〃+d”是“〃>力且c>d”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

（•北京市第五十七中学高一期中）若则下列不等式：①；②|。|>回;

10.2021*<0,a+b<ab@a<b-,④

中，正确的不等式有（）

A.①②B.③④C.®®D.©@®

11.（2021•北京市第一二五中学高一期中）下列命题为真命题的是（）

A.若a>b>0,WOa^bc2B.若a>b,WOa2>h2

C.若“vbvO,则加〜从炉D.若兴从0,则

ab

12.（2021•北京•中关村中学高一期中）若。力eR,则“。+6>4”是人至少有一个大于2”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

13.（2021•北京广渠门中学教育集旺高一期中）若。，"〃，则下列不等式一定成立的是'：）

A.a-ic>b+cB.ac>beC.ac<beD.a1>b'

14.（2021•北京市海淀区尚丽外国语学校高一期中）下列命题正确的是（）

A.若a>b,则acfbc。B.若a>b,c>d,则

C.ac2>be2»则D.若a>b,c>d,则

15.（2021.北京・景山学校高一期中）如果a>〃，那么下列不等式一定成立的是

A.B.a3>byC.D.2"<2'

ah

16.（2021•北京育才学校高一期中）下列不等式正确的是（）

A.若a>b,则B.若a.c?>b•c?,则

C.若则D.若a>Z>,则a/"/

ab

二、填空题

17.（2021♦北京育才学校高一期中）设alwO,使命题“若则,为假命题的一组小〃的值依次为

三、解答题

18.（2021•北京市第五十七中学高一期中）（1）已知证明：2（/+/）>（%2+/）2；

（2）用反证法证明：三个数中a,2/-l,a+l至少有一个大于或等于-：.

19.（2021•北京市第九中学高一期中）解决下列问题

（1）已知力>0,C<d<0,<0,求［正：

a-cb-a

（2）已知关于x的方程/+2（〃一2h+〃/+4=0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21,求

”的值；

（3）已知是定义在R上的奇函数，且xNOH寸，/（X）=X2+2X,求在R上的解析式.

20.（2021•北京•首都师范大学附属中学高一期中）（1）比较I与£的大小；

x~+\

⑵求方程组h4-t23-y9v=25=15的解集:

(3)己如数轴上，A(x),欧-1),且线段A8的中点到原点的距离大于5,求x的取值范围.

参考答案

1.D

【解析】

根据不等式的性质或取特殊值即可判断.

【详解】

若。=0或〃=0,无意义，，A错误；

若。，£?<0,6、扬无意义，，B错误；

若0>a>b,则/<//,，C错误；

a>b,^a-c>b-c»；.D正确.

故选：D.

2.C

【解析】

ABD三个选项举出反例即可判断，C选项做差结合立方差公式即可判断.

【详解】

A若a=-l力=2,则,<!，故A错浜；

ab

B若。=-2力=1,则故B错误；

C/一"'=(4-〃)(/+"+//)=.-〃)a+；b+]?,因为+3〃>0恒成立，又因为av〃，则

12/4\2/4

a-b<0,故a3cb3,故C正确.

D若a=-L〃=2,则M<|4，故D错误.

故选：C.

3.C

【解析】

根据不等式的基本性质和作差比较法，以及举例法，逐项判定，即可求解.

【详解】

对于A中，由。可得。一匕之0,乂由,一1=?，

其中面的符号不确定，所以A错误；

对于B中，当时=0时，可得a|c|=〃|c|,所以B不正确；

对于C中，当bNO时，由。才。|,可得成立；

当力<()时，由。斗力|,可得a>0,此时aNb成立,

综上可得，若。>1〃1,则有。之〃，所以C正确；

对于D中，当〃=2,人=一1时，满足。之人，但;=一2,所以D不正确.

故选：c.

4.B

【解析】

根据题意，结合不等式的性质，一一判断即可.

【详解】

对于选项A,当0Vo时，acvbc,故A错;

对于选项B,由得〃+<?>方+<:,故B正确；

对于选项C,当a>0>Z?时，->7,故C错；

ab

对于选项D,当c=0时，ac1=be2»故D错.

故选：B.

5.D

【解析】

依题意可得。>网，即可得到“>)，〃>“,再根据不等式的性质判断可得;

【详解】

解：因为〃一例>。，即。>回，又回泊且回2一。，

所以a>b,a>-bya2>|/?|2,ay>b',即/>/??

所以〃一。<0,«2-b~>0，a+〃>0，ay-b3>0

故选：D

6.A

【解析】

由不等式的性质结合充分、必要条件的定义可判断.

【详解】

当“a>0且。>0"时，可得"〃〃>()“

当“而>0”，可能得到“<0且8<0,故不一定得到“4>0且A>0”

所以“a>0月.。>0"是“">0”的充分不必要条件

故选：A

7.C

【解析】

根据基本不等关系，结合具体实例对选项一一判断即可.

【详解】

对于A,若。="=-2,满足。>力，此时|。|<|〃|,故A错误；

对于B,若a=2,b=l,满足此时L<4,故B错误；

对于C,若0b,则">步，故C正确;

对于D,若。=l,b=-2,满足°>力，此时:<1,故D错误；

b

故选：C

8.D

【解析】

通过反例。=1,b=-[,c=0可排除ABC；利用不等式的性质可证得D正确.

【详解】

若。=1,b=-\,则/=/=],则AB错误；

ab

若〃>b,c=o,则4d=Md=。，则C错误；

c2+1>1»0<?<1,又a>b,：.>—r—>则D正确.

c-+\r4-1c2+\

故选：D

9.B

【解析】

根据不等式的性质，结合充分条件、必要条件的定义即可求解.

【详解】

充分性：取。=2,。=3,c=8,(1=5,贝lJ“a+c>Z?+d"成立，但“a>〃且c>d”不成立，即充分性不成立;

必要性：若且c>d,由同向不等式的可加性可知a+c>Z?+d,即必要性成立.

因此，％+c>h+d”是且c>d”的必要不充分条件.

故选：B.

10.C

【解析】

取。=-1,b=-2,可排除②©,由,<:<0,可得。vav。，分析可得①④成立

ab

【详解】

取。=-1,b=-2,满足，<!<0

但瓦a>〃，故排除②③；

=,<,<0,同乘出?>0

ab

:.b<a<0,

故④成立；

\a+b<0,ab>0

故a+b<ab

所以①成立.

故选：C

11.D

【解析】

举反例说明ABC不正确，依据不等式的性质可知D正确，从而得出选项.

【详解】

对于A,当c=0时，ac^bc2,所以A不是真命题；

对于B,当〃=0,〃=-2时，〃，但a2<//,所以B不是真命题；

对于C,当。=~4,6-1时，a2>ab>b2,所以C不是真命题；

对于D,若a<〃<0,则,>?,所以D是真命题.

ab

故选:D.

12.A

【解析】

根据充分不必要条件的定义进行判断即可.

【详解】

当〃+4>4时，假设都不大于2,BP«<2,b<2,

贝+这与a+Z?>4矛盾，

所以“。+匕>4"是％,〃至少有一个大于2”的充分条件；

但是，当时至少有一个大于2,如“=3,b=\,。+〃=4,

所以7+〃>4”不是％,〃至少有一个大于2”的必要条件，

故选：A.

【点睛】

结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如卜.规则判断：

（1）若〃是夕的必要不允分条件，则9对应集合是〃对应集合的真于集；

（2）〃是4的充分不必要条件，则。对应集合是q对应集合的真子集；

（3）P是4的充分必要条件，则〃对应集合与9对应集合相等；

（4）〃是夕的既不充分又不必要条件，4对的集合与〃对应集合互不包含.

13.A

【解析】

利用不等式的性质逐一判断即可.

【详解】

a,b,ceR,a>b,

对于A,a>b=>a+c>b+c,故A正确；

对于B,当cK0时，ac=be或acvbe,故B不正确；

对于C,当c>0时，ac>be,故CK正确；

对于D,当。=1,方=-2时，则/,故D不正确.

故选：A

14.C

【解析】

通过反例可得A、B、D均不正确，可证明C正确.

【详解】

对于A,取c=0,则女工二尻上，故A不正确.

对于B,取a=-l,〃=-2,c=l,d=-2,则。>匕，c>d成立，

但=-1<4=讥/,故B不正确.

对于C,因为力d，故c、00,故。2>0，所以4>〃，故C正确.

对rD,=-\,b=-2,C=\,d=-2,l|llja>b,c>d成立，

但a-c=-2<0=b-d,故D不正确.

故选：C.

【点睛】

本题考查不等式的性质，注意说明一个不等式不成立，只需举出一个反例，本题属于基础题.

15.B

【解析】

分析：根据幕函数y=Y的单调性，即可判定得到答案.

详解：当。=1/=一2时，此时但同〈回，且！>《，所以A、C不正确；

ab

由函数），=2'为单调递增函数，当〃,〃时，2“>2J所以D不正确，

由函数），=/是R上的单调递增函数，所以当8时，成立，所以B是正确的，故选B.

点睛：本题主要考杳了不等式的比较大小问题，其中熟记寻函数的单调及其应用是解答的关键，着重考查了推理与

论证能力.

16.B

【解析】

试题分析：A.若c<0,则不等号改变，若c=0,两式相等，故A错误；B.若〃/A5/,则。2>0,故。>1）,故B

正确；C.若b=0,则表达是不成立故C错误；D.c=O时错误.

考点：不等式的性质.

17.1,-1（答案不唯一）

【解析】

根据题意〃，〃使命题“若则为真命题，则取正数〃，和负数”即可.

ab

【详解】

使命题“若”>〃，则为假命题，即使命题“若〃>/）,则,>!”为真命题，

abab

则〃力异号即可

故。=1,方=一1

故答案为：1，一】（答案不唯一）

18.（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）直接通过作差法计算证明；

（2）假设三个数中以2"-1.〃+1全部小于-：，必有。+2/—12，但推出

62

a+2a2-\+a+\=2a2+2a＞--,矛盾，则可证明.

2

【详解】

（1）2（x4+/）-（x2+），2）2=2X4+2/*-（父+2xR+力=丁+）/_2x2/

=（x2-y2）2＞0,当且仅当N=N时取等号，

/.2（x4+y4）＞（x:+＞（2）2,得证；

（2）假设三个数中1全部小于

0

则必有4+2/-1+67+1<-—x3=-—,

62

但a+2a2-1+a+l=2cr+2a=2a+-————,与a+2。~-1+a+l<—矛盾,

l2J222

.•.三个数中O皿I至少有一个大于或等于J

19.（1）证明见解析:

(2)m=-\

x24-2x,x>0

⑶/。）=〈

2X-X2,X<0

【解析】

（1）根据不等关系判断出从而判断证明的不等式关系;

（2）根据二次方程根的情况满足△20,结合韦达定理求得参数值；

（3）根据奇函数的定义求得函数解析式.

（1）

由题知，-c＞一d＞0,则a-c＞Z?-d＞0,

从而（）＜一!一＜丁二，又加＜0,

a-cb-d

mm，十

则rhl——;得证.

a-cb-d

⑵

由题知，A=[2(/»-2)J2-4(/n2+4)>0,解得〃?40,

2

由韦达定理知，％+W=-2(机一2),,I-X2=W+4,

222

由条件知,汇+石―%玉=21,即(x,+x2)-3X[X2=