2021-2025年高考数学试题分类汇编：等式与不等式及一元二次不等式9种常见考法归类（全国）解析版

\\五年真题（202L2025）

与题03等式易不等灰、寒中不等式及一无二次

系等灰9种召见考依检类

五年考情•探规律

知识五年考情（2021-2025）命题趋势

考点01由已知条件判断所给不等式是否正确

知识1等式与2025•北京2022•新高考全国H卷

不等式

（5年2考）考点02利用不等式求值或取值范围

2022•上海

考点03由基本不等式比较大小

2022•全国甲卷2021•浙江

考点04基本不等式求积的最大值

知识2基本不2021•新高考全国I卷

等式

考点05基本不等式求和的最小值

（5年5考）1.对于不等式的性质，主要以应用

2025•上海2024•北京2023•天津

的形式考查.

2023•新课标I卷2022•新高考全国I卷

2.关于基本不等式的考查，有两方

2022•全国甲卷2021•全国乙卷2021•上海

面，一是具有一定综合性的独立考

2021•天津

查；二是作为工具，在求最值、范

考点（）6解不含参数的一元二次不等式

围问题中出现.

2024上海2023•新课标I卷2021•上海

2021•新高考全国II卷

知识3一元一

考点07分式不等式

次不等式

2025•上海2025•全国二卷2021•上海

（5年4考）

考点（）8一元二次不等式在某区间上的恒成立问

题

2025•天津

知识4线性规考点09线性规划（拓展）

划（拓展，已2024•全国甲卷2023•全国甲卷2023•全国乙卷

不做要求）2022•浙江2022•全国乙卷2021•浙江

（5年4考）2021•全国乙卷

分考点•精准练

考点01由已知条件判断所给不等式是否正确

1.（2025・北京•高考真题）己知。>0/>0,则（）

,,I1、1

A.a'+b'>2abB.—+—>—

abab

l1I2

C.a+b>\[abD.—+7^-7=

ab7ab

【答案】C

【分析】由基本不等式结合特例即可判断.

【详解】对于A,当。=6时，a1+b2=Tab，故A错误；

4丁..1.1..,—+—=2+4=6<,,=8=—

对于BD,MX«=-,/>=-,此时vlqb11ab，

24—x-

故BD错误;

对于C,由基本不等式可得a+822打>疯\故C正确.

故选：C.

2.（2022・新高考全国II卷•高考真题）若x,y满足/+»2-中=1,则（）

A.x+y<\B.x+y>-2

C.x2+y2<2D.x2+y2>\

【答案】BC

【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假.

【详解】因为（等）〈《■亨（dbiR）,由/+/一切,=1可变形为，（x+y）2—1=3k43（亨j,

解得—24x+y«2,当且仅当x=y=-l时，x+y=-2,当且仅当x=y=l时，x+y=2,所以A错误，B

正确；

由工2+/一*）,=1可变形为（/+力_]=肛432,解得/+/42,当且仅当x=y=±l时取等号，所以

2

C正确:

因为』+),2一昼=]变形可得卜用\方2=],设x/=cos9，¥y=sine，所以

।2、、，5,21J।

222

x=cosO+—j=sinOyy=—7=sin^,因止匕/+y=cos^+—sin6^4—sinOcosO=1-\—j=sin20-cos204-

x/3\/33x/3v333

=l+|sinf2^-^Lr1,2'|,所以当=一如时满足等式，但是工2+/之1不成立，所以D错误.

3316八3」33

故选：BC.

考点02利用不等式求值或取值范围

3.(2022•上海•高考真题)x-yWO,x+y-l>0,贝I」z=x+2,的最小值是.

【答案】1/1.5

【分析】分析可得x+2j，=«|(x+P)-：(x—>)，利用不等式的基本性质可求得z=x+2)，的最小直

3

1m=一

【详解】设x+2y=〃?(x+y)+〃&-j，)=(〃?+〃)x+a〃-〃)y,贝“，解得《,

n=----

2

所以，Z=X+2JV=-|(X+_F)-^-y)-

因此，z=x+2y的最小值是

3

故答案为：—.

考点03由基本不等式比较大小

4.(2021•浙江•高考真题)己知万夕〃是互不相同的锐角,则在sinacos夕,sin£cosy,sinycosa三个值中，

大于“勺个数的最大值是()

A.0B.IC.2D.3

【答案】C

【分析】利用基本不等式或排序不等式得sinacos/7+sin/?cosy+sinycosawW，从而可判断三个代数式不

可能均大于;，再结合特例可得三式中大于;的个数的最大值.

【详解】法I：由基本不等式有sinacos尸W‘in2°；-s?R

・ml.0,sin,夕+cos2y.sin2y+cos2a

In1J^tsinpcosy<--------------------,sin/cosa<--------------------,

所以力=8硒一9<81°必9一9=0.综上，a>O>b.

［方法二］:【最优解】(构造函数)

由9=10,可得〃?=log910e(l,L5).

根据。力的形式构造函数/(x)=x"-x-I(x>l),则八=

令/'(x)=0,解得,由M=log910w(l,L5)知/w(0,l).

/3在(1,位)上单调递增，所以/。。)>/(8),即a>b,

乂因为/(9)=93。-10=0,所以〃>0>6.

故选：A.

【点评】法—：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；

法二：利用。力的形式构造函数/(x)=x"-x-根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该

题的最优解.

考点04基本不等式求积的最大值

6.(2021・新高考全国I卷・高考真题)已知片，乃是椭圆C：二+亡=1的两个焦点，点M在C上，则|历讣阿周

94

的最大值为()

A.13B.12C.9D.6

【答案】C

【分析】本题通过利用椭圆定义得至制+|M周=2a=6,借助基本不等式I”;讣眼国也叫曲"1］即

可得到答案.

【详解】由题,/=9斤=4,则|加用+也用=2。=6,

所以卜明|.|M周4r因:"国］=9(当且仅当他用|=|“段=3时，等号成立).

12,

故选：C.

【点睛】

考点05基本不等式求和的最小值

7.(2021・全国乙卷•高考真题)下列函数中最小值为4的是()

，I.I4

A.V=X2+2X+4B.V引smx+及一；

J|sinx|

4

C.y=2x+22~xD.y=\nx+—

Inx

【答案】C

【分析】根据二次函数的性质可判断A选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出

民D不符合题意，C符合题意.

【详解】对于A,y=x2+2x+4=（x+l）2+3>3,当且仅当x=-1时取等号，所以其最小值为3,A不符合

题意：

对于B,因为0〈卜inx|Kl,y=kinN+£i22"=4.当且仅当卜inx|=2时取等号，等号取不到，所以其

isinx\

最小值不为4.B不符合题意：

41—

对干C,因为函数定义域为〃，而2、>0，y=2x+22~x=2x+—>2^4=4,当且仅当2=2,即x=l时取

2

等号，所以其最小值为4,C符合题意；

4

对于D,^=lnx+--,函数定义域为（01）U（l,+8）,而Inxe火且InxHO,如当lnx=-l,尸一5,D不

\nx

符合题意.

故选：C.

【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的

性质即可解出.

8.（2021•上海•高考真题）已知函数/。）=3、+号（。>0）的最小值为5,则。=.

【答案】9

【分析】配方得/&）=3'+±（1>0）=3'+1+±-1,结合基本不等式即可求解

3+13+1

【详解】/（力=3，+看■伍〉0）=3，+1+六一122」:1=5=>。=9,当且仅当x=1。&2时等号满足，

故答案为：9

9.（2025•上海•高考真题）设。力>0,。+!=1,则6的最小他为_________.

ba

【答案】4

【分析】灵活利用T将"5=卜+：|1+3展开利用基本不等式计算即可.

【详解】易知6+，=（6+上（0+口=。6+-~~I-2>2%b.--I-2=4,

a\a八h）cihVab

当且仅当帅=1,即4=,1=2时取得最小值.

2

故答案为：4

10.（2021•天津•高考真题）若则1+W+6的最小值为____________.

ah

【答案】2正

【分析】两次利用基本不等式即可求出.

【详解】•・•。＞0,〃＞0,

-+-^-+b>2J---^-+b=-+/)>2j--b=2>/2,

ab-\ab1b\lb

当且仅当卜本且常，即…”&时等号成立，

所以+b的最小值为20.

ao

故答案为：20.

11.(2024•北京•高考真题)已知(x”y),(》2,为)是函数y=2'的图象上两个不同的点，则()

3+),2；』+£

A.晦%上号B.嗔2

22

乂+为<X]+

C.嗔2x2D.log/；“

2

【答案】B

【分析[根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可.

【详解】由题意不妨设司＜々，因为函数丁=2、是增函数，所以0＜2』＜2-，即0＜必＜为，

对干选项AB：可得"/＞)2"2"2=22，即江巴＞22＞0,

22

根据函数y=bgzX是增函数，所以log?又/＞log222=气强，故B正确，A错误：

对于选项D：例如占=0,工2=1，则M=1,8=2,

可得唳2乂；乃=log[e(Ol)，叩抽2"；％＜1=4+占，故D错误；

对于选项C：例如占=一1/2=-2.则凹=；,%=；,

可得—即log?归匹＞_3=内+与，故C错误，

282

故选:B.

12.(2023•天津•高考真题)在V4AC中，BC=1,N4=60°,~AD-,CE-}-CD,记了豆=1,n=5,

用2万表示衣=;若旃=则万的最大值为.

13

【答案】

4224

【分析】空1：根据向量的线性运算，结合七为C。的中点进行求解；空2：用78表示出万，结合上一空

答案，于是不项酢可由5万表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解.

AE+ED=AD

【详解】空1：因为£为CO的中点，则而+反=0，可得，

7E+~EC=~AC

两式相加，可得到2万=诟+%，

即2/E=1a+G,则%E='a+LA；

242

_1____AFFCC

空2：因为8"=彳8。，则2必+尸。=0，可得\'｛——+~——=7——

3AF+FB=AB

得到箫+京+2（酢+而卜大+2而，

____.2-1-

即34/7=2〃+坂,即4尸=7。+5力.

力二5%及2不

于是止赤=(>+/).(++/)=3%

记AB=x,AC=y,

则近.万后（27+5£石+2町=jy(2x2+5xycos60。+2y2卜/g"?+'2y

在VABC中，根据余弦定理：BC2=x2+y2-2xycos60=x2+-AT=1,

于是灰.而二'《管+2〉

百+2

12

由工2+/一个=1和基本不等式，x2+-xy=1>2xy-xy=xy,

故号K1，当且仅当x=y=l取得等号，

___13

则*=»=1时，有最大值

24

故答案为：力1-+"1-弓13.

4224

C

cosAsin28

13.（2022•新高考全国I卷•高考真题）记VZ8C的内角45,C的对边分别为a,6,c,已知

l+sin/f1+cos2B

（1）若。=学，求B；

Q）求学的最小值.

【答案】（哈

(2)4X/2-5.

【分析】(1)方法一：直接根据待求表达式变形处理，方法二：先二倍角公式处理等式右边，在变形，方

法三：根据诱导公式可将题干同构处理，结合导数判断单调性，推知4+24=］即可求解，方法四：根据半

角公式和两角差的正切公式化简后求解.

(2)由(1)知，4=£-28,再利用正弦定理以及二倍角公式将匚2化成4cos28+^^-5,

22c~cos'B

然后利用基本不等式即可解出.

【详解】(】)方法一：直接法

cosAsin2B

-------=---------可得cosAcos23+cosA=sin2^?+sinAsin2B,

1+sinAl+cos28

则cos力cos28—sin力sin28+cos力;sin28,即8s(4+28)+cos4=sin25,

注意至Ij4+8=T,于是cos（巴+8）+cos（匹-8）=sin28,

333

展开可得2cos'cos6=2sin6cos6,则sin5=—,

乂。<8（=，8=J.

36

方法二：二倍角公式处理+直接法

cos/1sin2B2sin8cos4sinB

|A|y>J~

1+sinA1+cos282cos'Bcos8

即sinB=cosAcos-sinJsinB=cos（J+B）=-cosC=—,

而所以8=?；

方法三：导数同构法

cos--25

cosJsin28cosA（2J

根据可知,

I+sinJ1+cos2814-sinA1+sin^-25

设/爪禹小)…靠瞽。。工一高产,

n_„

cos——28

/\12

则f(x)在0彳上单调递减,cosJ=心）=呜-25

14-sinJl+sin（1-28

故,4+28=5,结合4+8=（解得8吟

方法四：恒等变换化简

24.2彳4A

cos----sin-CD

cosJsin282sin8cos8ocos-7---si7n—^

---------=------------<=>22-------------4=>-------f-------fWan8

I+sinJ1+cos28A.A2cosBA.A

cos—+sincos—+sin—

22J22

,A

1-tan-

2=tan"otan巴上=tanB,

J142)

1t+tan—

2

结合正切函数的单调性，?―则4+24=3,

422

结合"Y，解得

(2)由(1)知，sinB=-cosC>0,所以?<。<再0<8<四,

22

而sin8=_cosC=sin(c-1),

所以C=5+6,即有力二^-2B,所以

a2+b2sin2J+sin2Bcos22^?+l-cos2B

所以

sin2Ccos2B

(2cos28-I1+1-cos2B

=4cos2B4~~——5>278-5=V2

cos2Bcos-B

当且仅当cos?8=①时取等号，所以的最小值为4立-5.

2c2

AC

14.(2022•全国甲卷•高考真题)已知V/8C中，点。在边8c上，/ADB=120FD=2,CD=2BD.当々

AB

取得最小值时，BD=.

【答案】百一"—1+6

【分析】设。。=28。=2/〃〉()，利用余弦定理表示出空后，结合基本不等式即可得解.

AB2

【详解】［方法一］：余弦定理

设CD=2BD=2???>0,

则在△4BD中,AB2=BD2+AD--2BD-ADeosZADB=m1+4+2m，

在△力CO中，AC2=CD2+AD2-2CD-ADcosZADC=4m2+4-4,H，

4.2_4m2+4_4小_4(〃/+4+2〃?)_12(]+间乂口

所以力8?〃/+4+2〃？m2+4+2ni(.3

(〃7+1)+—

12

>4-=­=4-2/3

3

2(〃?+»：

3

当且仅当小+1=即m=G-l时，等号成立,

m+\

所以当二三取最小值时，=1.

AB

故答案为：-1.

［方法二］：建系法

令BD=t,以D为原点，OC为x轴,建立平面直角坐标系.

则C(2t,0),A(1,百)，B(-t,0)

AC2(2/-1)24-3_，-4+4_412

片42/

•萨二”+1『+3=1+2+4一

«+1)+

t+\

当且仅当小1=后,即8。=6-1时等号成立。

［方法三］:余弦定理

设BD=x,CD=2x.由余弦定理得

C2=X2+4+2x,,,

小—2一.1-2c2+b2=\2+6x2,

b'=4+4广-4x

c2=x2+4+lx、、、

/一，一•.•2/+力2=12+6/，

b'=4+4x~-4x

AC

令*t,则2c2+&2=i2+6x2,

AB

12+6/12+6x2

：.r+2==61工>6-2>/3,

x2+2x+43

x+1)+---

X+1>

.-.r>4-2>/3,

3

当且仅当工+1=号，即彳=石-1时等号成立.

x+1

［方法四］:判别式法

设昨X,则CO=2x

在4ABD中，AB2=BD2+AD2-2BD•ADcosZ.ADB=/+4+2x，

2222

在A/1C。中，AC=CD+AD-2CD•力OcosAADC=4x+4—4x,

所以"宏号4.v2+4-4x

记，=

x2+4+2x

则（4一1）/-（4+2/）.r+（4-4z）=0

由方程有解得：△=(4+2。？-4(4-/)(4-4r)>0

即「一8/+4V0，解得：4-2x/3<Z<4+2^

所以4而=4一26,此时工=言=6一1

所以当々AC•取最小值时，x=即百-1.

A3

15.(2023•新课标I卷•高考真题)在直角坐标系xQv中，点P到x轴的距离等于点P到点(0,小的距离，记

动点户的轨迹为力.

⑴求巾的方程：

(2)已知矩形力8co有三个顶点在犷上，证明：矩形力8c。的周长大于3道.

【答案】(l)y=/+!

(2)见解析

【分析】(1)设尸(2)，根据题意列制方程/+(y_gJ=j/,化简即可；

(2)法一：设矩形的二个顶点/2+?.C("2+3.日.分别令£.=4+6=机<:0,

kBc=b+c=n>0,目.小〃=-1,利用放缩法得；C之1+：)^/i7滔■,设函数/(幻=1+3-("/),利用

导数求出其最小值，则得C的最小值，再排除边界值即可.

法二：设直线的方程为歹=以1-。)+/+4，将其与抛物线方程联立，再利用弦长公式和放缩法得

4

利用换元法和求导即“J求出周长最值，再排除边界值即可.

法三：利用平移坐标系法，再设点，利用三角换元再对角度分类讨论，结合基本不等式即可证明.

两边同平方化简得尸人一,

【详解】（1）设尸（x,y）,则例=

故

4

（2）法一：设矩形的三个顶点d％/+1,8,力2+5。（吩2+3在%上，且易知矩形四条边

所在直线的斜率均存在，且不为0,

同理令女叱=b+c=〃>0,且〃〃?=一1,则加=-L

设矩形周长为C,由对称性不妨设|，〃闫〃I，=c-a=〃-"/=〃J,

则;C=|48|+|8C|=S-a)Jl+用2+(c-b)Jl+〃22(c-a)Jl+/=(〃+，)J1+/,易知(〃+，)川+〃2>o

则令/(x)=(x+，(l+x2),x>0,/'(x)=2^x+—12x-—

令小)=0,解得x=正，

2

rw<o,此时〃x）单调递减,

/'（》）>o,此时/（X）单调递增,

27

则f（l濡=

4

,BPC>3V3.

当C=3x/J时,〃=#,m=-及，月.（方一0）/+加2=s-q）Ji+〃2,即/〃=〃时等号成立，矛盾，故C>3方,

得证.

则设84、。/1的斜率分别为左和由对称性，不妨设|攵区1,

K

直线48的方程为尸&(xi)+〃2+!，

4

y=x2+-

则联立4]得/一6+履_/=0,

y=k(x-a)+a2+—

A=k2-4(ka-a1)=[k-la)2>0,则kh2a

则|月8|=J+父|A-2a|，

同理|/0=J1H---F2〃»

Vk~k

:lAB\+\AD\=yl[+k2|A--2a|+Jl+

令尸=〃]，则加G(0,1],设f(m)=。"+°=nf+」•+3,

mm

则/（机）=2〃?+3-」r=Q〃I）,?+1）二令/•，（,〃）=（）,解得m=!，

nTnV2

当勿e（0,；）时，r（w）<0,此时/（〃?）单调递减,

当用e（；,+8）,f\m）>0,此时/（〃?）单调递增,

27

则.—I

.•.I/8|+|力。伊孚,

但Jl+公|A-2t/|+Jl+4-+2a>yJ\+k2(\k-2a\+-+2a\

'此处取等条件为人=L与最终取等时

Nk-kIk

不一致，故|48|+.。|>苧

法三：为了计算方便，我们将抛物线向下移动:个单位得抛物线犷号=犬,

矩形ABCD变换为矩形HB'C'Q',则问题等价于矩形A'B'C'iy的周长大于3石.

设（3；）,C'《2，f；）,根据对称性不妨设#0.

则脑力=4"。，人'丘fo,由丁A'BUB'C,则&+，0几+%）=-1

由于%叫=Jl+(fi+Zo)~hTo|,|fiC[=J+《+4j&ToI，且%介r工1月之间,

则|/叫+忸。卜J1+6+/。y卜小J+匕+上j1To卜令4+/°=tan0、

h+/0=-cot<9,6>e0，T,则右=tanOTo"|=-cot”，o,从而

乙)

|/sj+|^'c|=Vl+cotI?(2^+cot<9)+V1+tan26>(tan。-20

’11\sin。cos。_2。(cosO-sin。)sin'0+cos'。

故|48'卜忸'。=2%

(sin。cos^J+cos20+sin20sincosH----;--------

sin*6cos~0

①当060,日时,

阿小咋需含需+率^^=2不熹之2@

②当6弋图

时，由于4<"<h，从而-cot^-/0<r0<tan6一4,

“一cot。tan。“，、八

从叩一一—</0<—

故0%号,由此回|叼心能消％服臂

sin6(cos8-sine)(sir)ecos6)sid夕+cod91cos8

sin2<9cos3sin2cos20cos9sin20

I________2_____________________2

\sin2Osin?0-2cos20J(1-cos26^)(1-cos2^)-2cos20

同时为了简便运

算，对右边的式子平方后再设新函数求导，最后再排除边界值即可.

考点06解不含参数的一元二次不等式

16.(2024•上海•高考真题)已知工cR,则不等式/一2工一3<0的解集为.

【答案】卜|一1<工<3}

【分析】求出方程』—2x-3=0的解后可求不等式的解集.

【详解】方程/一2%—3=0的解为x=-l或x=3,

故不等式2x—3<()的解集为{x|-l<x<3},

故答案为：{x|-l<x<3}.

17.(2023・新课标1卷・高考真题)已知集合"={-2,-1,0,1,2},\=卜,27一6之0卜则MCI"()

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.{2}

【答案】C

【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N,即可根据交集的运算解出.

方法二：将集合M中的元素逐个代入不等式验证，即可解出.

【详解】方法一：因为'=卜产7-6"}=(。,-2]43,3)，而"={-2,-1,0,1,2

所以MDN={-2}.

故选：C.

方法二：因为，”={-2,-1,012},将-代入不等式/_丫_6对，只有-2使不等式成立，所以

A/nN={-2}.

故选：C.

18.(2021•上海•高考真题)已知集合1={小2r・2K)},B={x\x>-1},则()

A.AQBB.桐qRBC.ACB=(I>D.AUB=R

【答案】D

【分析】先求解集合A中不等式，计算獭，片台，依次判断即可

【详解】由题意,J={x|x2-x-2>0J={x|(x-2)(x+l)>0}={x|x>2或x«T}

:.QA={x|-1<x<2}

由3={x|x>-1}.,.金6={x|xW-1}

和翔4,津不存在包含关系,4c5={x|xN2},不看6=K

故选：D

19.(2021・新高考全国II卷•高考真题)记S.是公差不为()的等差数列{%}的前〃项和，若见=$5,生

(1)求数列{凡}的通项公式勺；

(2)求使S.>为成立的〃的最小值.

【答案】⑴。“=2〃一6；(2)7.

【分析】(1)由题意首先求得为的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；

(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.

【详解】⑴由等差数列的性质可得：邑=5%,则:%=5%,，4=0,

设等差数列的公差为d，从而有：%%=(%-△)(%+1)=-/,

S4=q+%+%+%=(%-2d)+(%-1)+%+(%+4)=-2d,

从而：-d2=-2d,由于公差不为零，故：〃=2,

数列的通项公式为：an=%+(〃-3)4=2〃-6.

(2)由数列的通项公式可得：«,=2-6=-4,则：s“=〃x(—4)+当5X2=/_5〃，

则不等式S“>4”即：〃2一5〃>2〃-6,整理可得:(n-l)(n-6)>0,

解得：〃<1或〃>6,又〃为正整数，故〃的最小值为7.

【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数

列的有关公式并能灵活运用.

考点07分式不等式

r—1

20.(2025・上海・高考真题)不等式二4<0的解集为_________.

x—3

【答案】(1,3)

【分析】转化为一元二次不等式(x-l)(x-3)<0,解出即可.

【详解】原不等式转化为&-1)(工-3)<0,解得l<x<3,

则其解集为(1,3).

故答案为：(1,3).

21.(2025・全国二卷•高考真题)不等式的解集是()

x-1

A.{x|-2<x<l}B.{JAX<-2}

C.{xl-2<x<l}D.{x|x>1}

【答案】C

【分析】移项后转化为求•元二次不等式的解即可.

【详解】—N2即为040即伫2)fT”0,故一2£近1,

x-1x-\[X-1H0

故解集为卜2,1),

故选：C.

22.(2021•上海•高考真题)不等式生2<1的解集为.

【答案】(-7,2)

【分析】移项通分后转化为一元二次不等式求解.

2T+59Y4.5r4-7

【洋舟牟】——-<1=>-----1<0=>——<0=>(x+7)(x-2)<0=>-7<x<2.

x-2x-2x-2

故答案为:(-7,2).

考点08一元二次不等式在某区间上的恒成立问题

23.(2025•天津•高考真题)若“，力cR,对Dxw[-2,2],均有(2a+b*+云一。-14幅成立，则2。+方的最

小值为_______

【答案】-4

【分析】先设Z=2a+人根据不等式的形式，为了消。可以取x=-g,得到壮-4,验证，=-4时，。力是

否可以取到，进而判断该最小值是否可取即可得到答案.

【详解】设/=2〃+心原题转化为求/的最小值，

原木等式可化为对任意的一2<x<2,Zx2+(/—2rz)x—6/-1<0,

不妨代入工=一；，得%-；(，一24)一”一1w0,得4,

242

当f=-4时，原不等式可化为-4/+（-4-2〃）.x-4-”0,

即一2x+（；a+l）］+12Ko,

观察可知，当。=0时，—（2x+l『K0对—2WxW2一定成立，当且仅当》=-；取等号，

此时，。=0力=-4,说明f=T时，均可取到，满足题意，

故Z=2o+b的最小值为-4.

故答案为：-4

考点09线性规划（拓展）（不做要求）

4.r-3^-3>0

24.（2024•全国甲卷•高考真题）若'J满足约束条件2y-2«0,则z=x-5y的最小值为（）

2x+-9<0

A.-B.0C.-D.—

222

【答案】D

【分析】画出可行域后，利用z的几何意义计算即可得.

4x-3y-320

【详解】实数XJ满足2），-240，作出可行域如图：

2x+6y-9<0

由Z=A5J，可得y=《x_"z,

即z的几何意义为yf-gz的截距的-；,

则该直线截距取最大值时，z,有最小值，

此时直线y=gx-gz过点A,

f4x-3y-3=0x=-（3、

联立）工人n，解得2,即“-J,

2x+6y-9Q=0.\2）

U'=]

37

则z=2-5x1=，.

八.m1innhi22

故选；D.

3x-2y<3

25.（2023•全国甲卷•高考真题）若x,j，满足约束条件<-2x+3y43,设z=3x+2y的最大值为

x+y>\

【答案】15

【分析】由约束条件作出可行域，根据线性规划求最值即可.

【详解】作出可行域，如图,

由图可知，当目标函数），=-$+］过点A时，z有最大值,

-2x+3y=3x=3

由3x-2工可得即出3,3),

y=3'

所以z1Mx=3x3+2x3=15.

故答案为：15

x-3y<-1

26.（2023•全国乙卷•高考真题）若x,y满足约束条件•x+2”9,则n=2x-y的最大值为

3x+y>l

【答案】8

【分析】作出可行域，转化为截距最值讨论即可.

【详解】作出可行域如下图所示：

z=2x-y,移项得y=2x-z,

,■

x-3y=-1

联立有｛oc,解得,x=5.，

x+2y=9］》=2

设.4（5,2）,显然平移直线y-2x使其经过点八，此时截距T最小，则z最大，

代人得z=8,

故答案为：8.

x-2>0,

27.（2022•浙江・高考真题）若实数x,y满足约束条件上x+y-7«0,则z=3x+4y的最大值是（）

x-y-2<0,

A.20B.18C.13D.6

【答案】B

【分析】在平面直角坐标系中画出可行域，平移动直线z=3x+4），后可求最大值.

【详解】不等式组对应的可行域如图所示：

,x=2x=2,、

由、.7n可得V故”2,3,

2x+y-7=0[y=3

故小=3x2+4x3=18,

故选:B.