2023-2025年湖北中考数学试题分类汇编：全等三角形、等腰三角形、直角三角形（勾股定理）与相似三角形综合（6大考点40题）解析版

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专题07全等三角形、等腰三角形、

直角三角形（勾股定理）与相似三角形综合

（6大考点40题）

考点01全等三角形的判定及性质

1.（2025•湖北•中考真题）如图，48=4。,47平分/胡。.求证：NB=ND.

【答案】见解析

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.

先根据角平分线得到再由SAS证明△H4C乡ADAC,即“J"得至U=ND.

【详解】证明：:AC平分NBA。，

J^I3AC=ZDAC,

VAB=AD,AC=AC,

・•・IMC（SAS）,

・•・ZB=/D.

2.（2024•湖北武汉•中考真题）如图，在o48CO中，点E,尸分别在边BC,4。上，AF=CE.

（1）求证：AABE学ACDF；

（2）连接E尸.请添加一个与线段相关的条件，使四边形AB£厂是平行四边形.（不需要说明理由）

【答案】⑴见解析

（2）添加=（答案不唯一）

【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定：

3）根据平行四边形的性质得出=ZB=ZD,结合已知条件可得。尸=此，即“J证明

△ABEmACDF；

（2）添加Ab=8E，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可求解.

【详解】（1）证明：•・•四边形A8C。是平行四边形，

AAB=CD,AD=BC,NB=/D,

VAF=CE,

・•・AD-AF=BC-CE即DF=BE,

在,ABE与VC。/中，

AB=CD

ZB=N。，

BE=DF

・•・ABE乡CDF（SAS）；

（2）添加A尸=4E（答案不唯一）

如图所示，连接

•・•四边形A8CD是平行四边形，

:,AD〃BC,即"'〃的

当A尸=8E时，四边形4批「是平行四边形.

3.（2023•湖北黄石•中考真题）如图，正方形ABC。中，点M,N分别在A8,BC＜，且BM=CN,AN

与/W相交于点P.

%----------------1C

O,

B

AM

(1)求证：：.ABNDAM；

(2)求ZAAW的大小.

【答案】(1)见解析

(2)90°

【分析】(1)直接利用SAS证明全等即可；

(2)根据全等的性质，得出/加，再由ZM4P+ZAMP=Z4£>M+ZAMP=900,从而求出ZAPM=90°.

【详解】(1)证明：••,四边形ABC。是正方形，

AB=AD=BC,NDW=NABN=90°,

.BM=CN,

:.BC-CN=AB-BM,BPBN=AM,

在.A8N和△ZMM中，

AB=ADy

ZABN=/DAM,

BN=AM,

]A8NgZMM(SAS)：

(2)解：由(I)知-ABNM.DU/,

:.ZM\P=ZADM,

ZMAP+ZAMP-ZADM+ZAMP-90°,

ZAPM=180°-(^MAP+ZAMP)=93。.

【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关图形的性质和判定.

4.(2023・湖北宜昌•中考真题)如图，已知40,2),仅2,0).点石位于第二象限且在直线)，=-21上，/比)。=90。,

OD=OE,连接A8DE,AE,DB.

⑴直接判断VA08的形状：V4OB是_________三角形:

(2)求证：△AOE出△B00

・•・VAOB是等腰直角三角形,

故答案为：等腰直角三角形

(2)如图，

•・•ZEOD=90°,ZAO13=90°,

ZAOI3-ZAOD=/DOE-ZAOD,

:.^AOE=^BOD,

AO=Oli,OD=OE,

:.AAOE迫ABODISAS)；

(3)①设直线AC的解析式为y=U+h,

X(0,2),C(/,0),

.、b=2

，，＜k/+b=O,

2c

—7+2，

将C&0),B(2,0)代入抛物线下=成+小4得,

0=ar+bf-4

0=4。+2b-4

22

解得a=--,/;=-(/+2),

tt

2,2

/.)■]=一x2+-(r+2)x-4,

222

•J直线=-：x+2与抛物线y二一'/+7«+2)x―4有唯一交点

・•・联立解析式组成方程组解得V-”+3)x+3/=0

/.A=(/+3)2-4x3r=(z-3)2=0

:.t—3

22

②；抛物线y=--X2+-(/+2)x-4向左平移2个单位得到力，

tt

・勘加如2(r-2f(—2)2

••抛物线y2=—[x---H--------->

抛物线X的顶点户(一,写，

(1-2(/-9)2A2

将顶点P二，二^-代入加=-4+2,

rL21//

/.Z2—6/=0»解得4=。,，2=6,

Vz>2,

二./=6；

③过点£作区3_14轴，垂足为M,过点。作。N_Lx轴，垂足为M

二乙EMO=ZOND=90°,

NDOE=90。,

AEOM+/MEO=NEOM+/NOD=90°.

・•・5EO=NNOD,

'：OD=OE,

.・・-OON经EOM(AAS),

・•・ON二EM、DN=OM,

•・•OE的解析式为y=-2x,

・••设EM=2QM=2m,

DN=OM=m,

•：EM_Lx轴，

・•・OA//EM.

/.^CAO-^CEM，

:.OC:CM=OA:EM,

t2

----=——,

t+m2m

t

：.ni=,

t-\

：.EM=ON=2OM=2m=—,DN=OM=

t-1t-\

•・,抛物线必再向下平移岛F个单位，得到抛物线出，

2?2

；・抛物线%=-：/+二（/_2卜一；7^,

tt（I）

2/922

—代入抛物线Mn-7f+vQ-z及-L7,

（f-If—"II（T—1）

.\3r2-19r+6=0,

解得乙=；由=6,

由，＞2,得r=6,

,2/1212/66

…有一言一二百一百一二’

"26]

（55）

【点睛】此题是二次函数和几何综合题，考查了二次函数的平移、二次函数与一次函数的交点问题、待定

系数法求函数解析式、解一元二次方程、全等三角形的判定和性质及相似三角形的判定与性质等知识点，

综合性较强，熟练掌握二次函数的平移和数形结合是解题的关键.

5.（2023•湖北襄阳•中考真题）【问题背景】

人教版八年级下册数学教材第63页”实验与探究”问题1如下：如图，正方形A8CO的对角线相交于点O,

点。又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，无论正方形A&G。绕点。怎样转动，

两个正方形重叠部分的面积.总等于一个正方形面积的I.想一想,这是为什么？（此问题不需要作答）

九年级数学兴趣小组对上面的问题又进行了拓展探究、内容如下：正方形A8CO的对角线相交于点。，点P

落在线段OC上，—=k（&为常数）.

图1图2图3

【特例证明】

（1）如图1,将Rt△尸£尸的直角顶点P与点。重合，两直角边分别与边AA,相交于点仞，N.

①填空：k=；

②求证：PM=PN.（提示：借鉴解决【问题背景】的思路和方法，可直接证明△E4MW△尸8V：也可过

点P分别作A8,8c的垂线构造全等三角形证明.请选择其中一种方法解答问题②.）

【类比探究】

（2）如图2,将图1中的！夕即沿0C方向平移，判断PM与PN的数量关系（用含A的式子表示），并说

明理由.

【拓展运用】

（3）如图3,点N在边上，N8尸N=45。，延长NP交边CD于点E,若EN=kPN,求k的值.

PM

【答案】（1）①1；②见解析；（2）­=k,理由见解析；（3）3

PN

【分析】（1）①利用正方形性质即可得出答案；

②根据正方形的性质可得PA=PB,ZAPM=NBPN,利用ASA证明

即可；

（2）过点尸作PG〃9交8C于G,利用平行线的性质及正方形的性质易证得ZPGC=ZPCG="W,

ZAPM=/GPN,可证明△以利用相似三角形性质即可得出答案；

（3）过点P作PM_LPN交于M,作P”JL8c于〃，作PGJ_/W于G,利用AASi正得,

可得：GM=CN,PG=EC,再证得△8PNs/\BCP,可得。加二时仔，同理可得：，推出

EC=2CN,进而可得lan/£NC="=空=2,令HN=a,则。”=勿，CN=3a,EC=6a,利用勾股定

HNCN

理即可求得答案.

【详解】解・：（1）①由正方形的性质可知：OA=OC,

•・•将RtAPEF的直角顶点”与点。重合，

..PAOA

••左=---=---=1,

PC0C

故?:案为：1:

②证明：:四边形ABC。是正方形，

AZAPB=ZMPN=90°,NPAB=/PBC=45。，PA=PB，

3）B-NPM=ZMPN一/BPM,

即ZAPM=/BPN,

：.APAM出△PBN（ASA）,

・・.PM=PN.

PM

（2）—=k,理由如下：

PN

过点，作PG//BD交BC\G,

ZAOB=ZAPG,/PGC=NOBC,

•・•四边形A8CO是正方形，

/LPAM=ZOCZ?=ZOBC=45°,ZAOB=90°,

AZAPG=^MPN=ZAOB=900fZPGC=4PCG=/PAM,

：.PG=PC,ZAPG-^MPG=ZMPN-ZMPG,

即Z/VW=NGPN,

"AM—APGN,

.PMPAi

••™"=k.

PNPC

（3）过点尸作〃M_L/W交48于M,作PH工BC于H,作PG_LAB于G,

DEC

图3

则/MPN=NGPH=/PGM=ZEGV=90°,

・•・SPN-43PN=4GPH-ZGPN,

&ZMPG=ZNPH,

，乙PMG=4PNH,

由（2）和已知条件可得：PM=kPN,EN=kPN,

：,PM=EN,

：.APG/W^AEC/V（AAS）,

:・GM=CN,PG=EC,

VZBP/V=ZPC®=45°,4PBN=NCBP,

/.△BPNsgCP,

.PBBN

••=,

BCPB

，PB，=BCBN,

同理可得：PB：=BABM,

*/BC=BA,

・•・BM=BN,

:・AM=CN,

AG=2CV,

•・•ZPAB=45°,

PG=AG,

：.EC=2CN,

・•・tanZE^C=—=—=2,

HNCN

令HN=a,贝」iP”=2a,CN=3a,EC=6a,

・•・EN=yj（3a）2+（6a）2=，

“更邛=3.

PN亚a

【点睛】此题是相似三角形综合题，主耍考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，柞似三角形的

判定和性质，作出辅助线构造出相似三角形和全等三角形是解本题的关键.

考点02全等三角形的应用

6.（2023♦湖北•中考真题）如图，ABACADEB和AAEF都是等腰直角三角形，NBAC=NDEB=ZAEF=90°,

点E在VA4c内，BE>AE,连接。尸交AE于点G,。石交A3于点H,连接6.给出下面四个结论：①

NDBA=NEBC；②NBHE=NEGF；③A3=DF；®AD=CF.其中所有正确结论的序号是

［答案］①@④

【分析】由题意易得A8=AC,NABC=45O=N£>8E,AE=EF，DE=BE,Z.DEB=ZAEF=ABAC=90°,

则可证，AEBZFED（SAS）,然后根据全等三角形的性质及平行四边形的性质与判定可进行求解.

【详解】解：•••△84C4OEB和律都是等腰直角三角形，

AAB=AC./ABC=45°=ADBE,AE=EF，DE=BE,ADEB=ZAEF=ABAC=90°,

•・•/DBA=NDBE-NABEZEBC=NABC-NABE,NAEB=NAED+NDEB/FED=NAEF+NAED,

・•.£DBA=ZEBC/AEB=ZFED,故①正确；

A.AEB^,FED（SAS）,

：.AB=DF=AC,ZABE=Z.FDE,ZBAE=ZDFE,故③正确；

,：/ABE+NBHE=90。,NEFD+/EGF=90。,ZBAE+ZEAC=90°,BE>AE,

：・4BHE丰NEGF,NEGF=NEAC；故②错误；

:.DF//AC,

•・•DF=AC,

・・・四边形ADFC是平行四边形，

：.AD=CF,故④正确；

故答案为①®④.

【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质及平行四边形的性质与判定，熟

练掌握全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质及平行四边形的性质与判定是解题的关键.

7.（2023・湖北襄阳•中考真题）如图，在V4BC中，AB=AC,。是AC的中点，。与/W相切于点。,

与8c交于点E,F,OG是《。的直径，弦G尸的延长线交4c于点〃，且G”_LAC.

A

H

BE\O\/FC

(1)求证：AC是。的切线；

(2)若DE=2,GH=3,求的长/.

【答案】(1)见解析

(2)T

【分析】(1)连接0A,过点。作OM_LAC于点根据等腰三角形的性质得A。为/胡C的平分线，

再根据：。与AB相切于点D,OG是1。的直径得。用=。/九进而根据切线的判定可得到结论；

(2)过点石作于点N,先证_ODE且一OG厂得到。石=GE=2,进而得到月”=1,再证

.BNEW-CHF得到EN=FH=1,然而在Rt谢中利用三角函数可求出4/W=3(T,进而得.ODE为等边三

角形，据此得N0OE=6O。，OD=OE=DE=2,则NZX*=120。，最后得到弧长公式即可得到答案.

【详解】(1)证明：连接。4,过点。作QMJ.AC于点M,

AB=AC,。是的中点,

/.40为-84C的平分线，

。与AA相切于点。，QG是1。的吏径,

二。力为〔。的半径，

..OD±AB,

又。M_LAC,

0M=OD,

即。M为，:，。的半径，

二•AC是。。的切线；

(2)解：过点E作EN1.AB于点N,

A

点。为。。的圆心,

:.OD=OG,OE=OF,

在U9Z)石和.OG/7中，

OD=OG

NDOE=/GOF,

OE=OF

:.QDEMOGF(SAS),

:.DE=GF,

DE=2,GH=3,

：.GF=2,

:.FH=GH-GF=3-2=\,

A/3=ACf。是8c的中点,

；.OB=OC/B=NC,

又OE=OF,

:.BE=CF,

GH工AC、ENtAB,

:.NBNE=/CHF=90。，

在4NE和二O中,

/BNE=NCHF

NB=/C

BE=CF

:jmEWCHF〈R0,

：.EN=FH=1,

在RtDEN中，DE=2,EN=1,

s\nZEDN=—=~,

DE2

:.NEDN=30。，

0D1AB,

NODE=900-NEON=90。-300=60。，

又OD=OE,

[ODE为等边三角形，

NDOE=60。,0。=OE=DE=2,

ZDOF=180O-ZDOE=180°-60o=120°,

,60兀x22乃

/./=------=——.

1803

【点睛】此题主要考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形

的判定和性质，弧长的计算公式，熟练掌握切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解答此题的关

键.

8.（2024•湖北•中考真题）如图，在RIA48C中，NACB=90。，点石在AC上，以CE为直径的O经过力B

上的点。，与08交十点产，且BD=BC.

⑴求证：入区是。的切线；

⑵若石,A£=b求C尸的长.

【答案】（1）证明见解析；

【分析】（1）连接0。，可得0r>BWQC8（SSS）,得至lJ/ODB=NOCB=90°,即得OD_L4从即可求证；

（2）设「。的半径为广，则。A=r+1,在RSQ4O中由勾股定理得（「+1『=（6丫+产，可得/=1，即得

tan乙40。=嚓=75,得到/4。。=60。，进而得到N88=4OC=60。，最后利用弧长公式即可求解.

【详解】（1）证明：连接O。，则

B

BD=BC,OB=OB,

ODB^OCB（SSS）,

;"ODB=/OCB=9(r,

:.OD±AB.

・・・。。是。0的半径，

，AB是QO的切线：

(2)解：设C。的半径为「，则。4=尸+1,

•・•AODB=90°,

・•・/044=180。-90。=90。，

在RtZXQA。中，OA2=AD2-¥OD\

(r+1)2=(G)~+,，

解得r=l,

..tan400=处=6,

OD

.\ZAOD=60°,

:.ZDOC=120P

△ODB^AOCB,

:"BOD=/BOC=*。,

田的长为管g

【点睛】本题考直了全等三角形的判定和性质，切线的判定，勾股定理，三角函数及弧长公式，求出

NBOD=NBOC=6()。是解题的关嚏.

9.(2023・湖北武汉•中考真题)问题提出：如图(1),E是菱形A8C。边8C上一点，/XA"是等腰三角

形，AE=EF,4所=乙48。=。(〃之90。),47交。。于点6,探究/6。尸与。的数量关系.

⑴(2)(3)

问题探究：

(1)先将问题特殊化，如图(2),当。=90。时，直接写出NG"的大小；

(2)可探究一般情形，如图(I),求NGC产与。的数量关系.

问题拓展：

⑶将图(1)特殊化，如图(3),当a=12/时，若尝=:，求空的值.

CG2CE

【答案】(1)45。

3

(2)=-90°

c、BE2

(3)—=一

CE3

【分析】⑴延长过点/作F”_L8C,证明.'4班瓦步即可得出结论.

(2)在AB上截取AN,使AN=EC,连接NE,证明ZvVVE也△成尸，通过边和角的关系即可证明.

3

⑶过点八作C。的垂线交CO的延长线于点P,设菱形的边长为3〃?，由⑵知，NGCF=”-90。=90。,

通过相似求出=6巨机，即可蚱出.

5

【详解】(1)延长BC过点/作F”_L8C,

•・•NBAE+ZAEB=900,

NFEH+ZAEB=90°,

・•・^BAE=/FEH,

在△ERA和一中

ZABE=NEHF

•/BAE=NFEH

AE=EF

，一ABE^EHF,

・•・AB=EH,

BE=FH,

/.BC=EH,

・•・BE=CH=FH,

?GCF?FCH45?.

故答案为：45°.

(2)解：在AB上截取AN,使⑷V=EC,连接NE.

ZABC+NBAE+ZAEB=ZAEF+ZFEC+ZAEB=180。.

ZABC=ZAEF,

:"EAN=4FEC.

:AANE^/\ECF.

:.ZANE=ZECF.

.AB=BC,

:.BN=BE

.NEBN=a,

ZBNE=90°--a.

2

NGCF=NECF-/BCD=ZANE-/BCD

(3)解：过点A作。。的垂线交CO的延长线于点尸，设菱形的边长为36,

DG_1

~CG~2"

\DG-m,CG-2m.

在Rt/OP中，

.?ADCABC120?,

.­.Z4DP=60°,

□a

/.PD=二/〃，人P=二yf3tn.

22

3

cr=120°,由（2）知，ZGCF=-67-90°=90°.

2

•.?4Gp?FGC,

\APGS_FCG.

APPG

—=----，

CFCG

CF2m

“k66

..Cr=-----m，

5

在A8上截取AN,使4V=EC,连接NE,作BO上NE于点、0.

由（2）知，AANE^AECF,

・•・NE=CF,

•・•AB=BC,

：,BN=BE,OE=EF=-EN=—m.

25

•・•ZABC=120°,

・•.ZLBNE=/BEN=30。,

OF

Vcos30?—,

BE

BE=—w,.

9

\CE=-m

5

•-B-E-=—2

'CE3.

【点睛】此题考查菱形性质、三角形全等、三角形相似，解题的关键是熟悉菱形性质、三角形全等、三角

形相似.

考点03等腰三角形的判定及性质

10.（2023•湖北荆州•中考真题）如图，AD是等功V48C的中线.以。为圆心，的长为半径画弧，交BC

的延长线于E,连接DE.求证：CD=CE.

【答案】见解析

【分析】利用三线合一和等腰三角形的性质，证出NE=N2,再利用等边对等角即可.

【详解】证明：QBO为等边V4BC的中线，

,-.Z3=3O°

BD=DE，

.-.ZE=Z3=30°

Z2+ZE=Z1=6O°.

.\ZE=Z2=30°

:.CD=CE

【点睛】本题考查了等边三角形，等腰三角形的性质和判定，理解记忆相关定理是解题的关键.

11.(2023•湖北武汉•中考真题)如图，在四边形A8C。中，AD//BC/—D,点E在84的延长线上,

连接CE.

(2)若/七二60。,以平分N3C。，直接写出工ACE的形状.

【答案】(1)见解析

(2)等边三角形

【分析】(1)由平行线的性质得到已知N8=/Z),则NEAO=NO,可判定CD,即可得

到ZE=NEC£＞；

(2)由NE=60。，NE=NECD得到NECD=NE=60。，由CE平分/8CO,得到N8CE=NEC。=60。，

进一步可得ZBCE=NE=ZBEC,即可证明.BCE是等边三角形.

【详解】(1)证明：

/.AEAD=ZB,

.ZB=ND,

：.ZEAD=ZD,

:.BE//CDy

:"E=NECD.

(2)VZE=60°.NE=NECD,

・•・ZECD=ZE=60°,

CE平分/BCD,

・•・ZBCE=ZECD=60°,

J乙BCE=/E=9。，

・•・ZB=180°-ZBCE-ZE=60°,

・•・乙BCE=NE=ZB,

・•・BCE是等边三角形

【点睛】此题考查了平行线的判定和性质、等边三角形的判定、三角形内角和定理、角平分线的定义等知

识，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键.

12.（2025•湖北•中考真题）如图，是VA8C的外接圆，ABAC=45°.过点。作。厂JL48,垂足为E,

交AC于点。，交QO于点尸.过点尸作。。的切线，交C4的延长线于点G.

（1）求证：FD=FG；

（2）若A8=12,/G=10,求。。的半径.

【答案】（1）证明过程见详解

（2）。。的半径葭

【分析】（1）根据垂直，切线的性质得到A3GF,可得-。尸G是等腰直角三角形，由此即可求解；

（2）根据垂径定理得到AE=8E=6,VADE是等腰直角三角形，由（1）得到尸。=1（）,则所=4,如图

所示，连接。4,设OE—x,则O/=OE+EE=x+4=Q4,由此勾股定理即可求解.

【详解】（1）解：・・・。/_148，G尸是］。的切线，即_LGb,

AABGF,

・•・的C=NG=45。，

・・・/夫。6=90。-45。=45。，即是等腰更角三角形，

・•・FD=FG；

(2)解：•/DF±AB,

AE=BE=-AB=6,

2

ABAC=45°,

・•・乙4OE=90。—45。=45。，即V4)E是等腰直角三角形,

・•・EA=ED=6,

由(1)得FD=FG=IO,

・•・EF=DF-DE=\0-6=4,

如图所示，连接04,设OE=x,则OE=QE+£F=x+4=O4,

・••在R/A0E中，OA1=AE2+OE2,

.・.(X+4)2=62+X2,

解得，x=|，

：.OA=x+4=-+4=—

22t

13

・・・：：。的半径三.

【点睛】本题主要考查园内接三角形的综合，掌握垂径定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，切线

的性质等周四，数形结合分析是关键.

13.(2023.湖北恩施•中考真题)如图，在矩形A3CQ中，点E是AO的中点，将矩形A8CO沿砥所在的直

线折叠，C,。的对应点分别为C,以，连接4y交友:'于点

⑴若N。或7=70。，求ZZM"的度数；

(2)连接EE试判断四边形CDQ的形状，并说明理由.

【答案】(l)ZD/S的度数为35。

(2)矩形，理由见详解

【分析】(1)根据点E是A。的中点，沿的所在的直线折叠，可得△AED是等腰三角形，根据三角形的

外角的性质即可求解；

(2)如图所示，连接£尸，点〃是座上的一点，根据矩形和折叠的性质可得四边形瓦。尸是平行四边形，

如图所示，连接EC,EC\过点E作石GJLAC于点G,可证四边形CO'M是平行四边形,再根据折叠的

性质得NC=/£>'=NC=NO=90°,由此即可求证.

【详解】（1）解：•・•四边形488是矩形，点E是A。的中点，

***AE=DE，

•・•沿班所在的直线折叠，G。的对应点分别为C,M

DE-D'E，

:・AE=DE，则△AED'是等腰三角形，

・•・ZZX4£=ZAZ7E,

NOE。'=70°，即=NDAE+ZAI>E=70°,

・•・ND'AE=ZADfE=-ZDED^-x70°=35°,

22

・・・〃MD的度数为35。.

（2）解：如图所示，连接石厂，点，是跖上的一点，

•・•西边形ABC。是矩形，

:.DE〃BC,ZC=ZD=90°,即CDJL8C,

•・•沿BE所在的直线折叠，C,力的对应点分别为C,

AZC=ZZX=ZC=ZD=90°,OFUE,座是NC8C',N£>石。的角平分线,

由（I）可知，NEA/y=/EO'A=』NDE。'.

2

JZEZ7A=Z£7EH,

/.ALf//BE,且BF〃ED,

・•・四边形8EQ户是平行四边形，则8尸=9,FD=BE,

如图所示，连接EC,EC,过点E作EG_L8C于点G,

D'

//小_、________；D

，/\、、、：

上---------b-------%，

RGC

丁点E是A。的中点，EGLBC,

，点G是线段8c的中点，则AE=DE=BG=CG,

・•・在△BFGZXCEG中，

BG=CG

ZBGE=NCGE=90。,

EG=EG

JABEG^ACEGCSAS),

:・BE=CE,/EBG=/ECG,

•・•沿M所在的直线折叠，C,。的对应点分别为C,M

AZC=ZZ7=ZC=ZD=90°,CFO'E,NGBE=/FBE,

在△8CE,Z\8CEqj,

BC=BC

ZCBE=NCBE,

BE=BE

・•.△BC'E四△BCE(SAS),

：・EC=EC，/BC'E=/BCE,

JEC=EC=EB,

・•・EC=FD,

・•・四边形CD所是平行四边形，

,rZC=ZZ7=ZC=ZD=90°,

，平行四边形CDEF是矩形.

【点睛】本题主要考查矩形的性质，矩形的判定，折叠的性质，全等三角形的判定和性质的综合，掌握矩

形折叠的性质，全等三角形的判定和性质，图形结合分析是解题的关键.

14.(2023•湖北荆州•中考真题)如图L点P是线段A5上与点A,点B不重合的任意一点,在A8的同侧

分别以A,P,3为顶点作N1=N2=N3,其中N1与N3的一边分别是射线A8和射线区4,N2的两边不在

直线AA上，我们规定这三个角互为等联角，点P为等联点，线段A3为等联线.

图2图3

（1）如图2,在5x3个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1,为端点在格点的已知线段.请

用三种不同连接格点的方法，作出以线段A8为等联线、某格点P为等联点的等联角，并标出等联角，保留

作图痕迹；

（2）如图3,在RtAAPC中，NA=90,AC>AP,延长4〉至点8,使A8=AC,作NA的等联角NCPO和

NPBD.将△APC沿PC折香，使点A落在点”处，得到MPC,再延长门必交A。的延长线于E,浑接CE

并延长交P。的延长线于/，连接

①确定P3的形状，并说明理由；

②若AP:28=1:2,RF=Ok，求等联线A8和线段PE的长（用含k的式子表示）.

【答案】（I）见解析

（2）①等腰直角三角形，见解析；②"=3k；PE=|A

【分析】（1）根据新定义，画出等联角；

（2）①..PCF是等腰直角三角形.过点C作C7VJ_座交BE的延长线于N.由折叠得AC=CM,

ZCMP=ZCME=ZA=90°,N1=N2,证明四边形A8NC为正方形，进而证明RtATME乌RtZsCNE,得

出NPCE=45。即可求解；

②过点尸作尸Q，BE于Q,R?_L移交朋的延长线FR，则NR=NA=90。.证明△APCg△/?”,得出

AP=BR=FR,在RSBRE中，BR2+FR2=BF?，BF=®，进而证明四边形旗FQ为正方形，则

BQ=QF=k,由FQ//CN,得出“A律sjv^。，根据相似三角形的性质得出NE=jk,根据PE=PM+ME

即可求解.

【详解】（1）解：如图所示（方法不唯一）

（2）①-PCF是等腰直角三角形,理由为：

如图，过点C作CNJ.8E交加的延长线于N.

由折叠得AC=CM,ZCMP=ZCME=ZA=90°,Z1=Z2

AC=AB,ZA=NPBD=NN=90。,

二•四边形48NC为正方形

.\CN=AC=CM

又CE=CE,

：.RtACA/ERtACVE（HL）

.\Z3=Z4,而Nl+N2+N3+N4=90。，ZCPF=90°

/.NPCF=Z2+Z3=4CFP=45°

.•.△PCF是等腰直角三角形.

②过点尸作42,8七于Q,/・7?_1_依交/)8的延长线于R,则NR=NA=90。.

Nl+N5=Z5+N6=90。，

Z1=Z6,

由_PC〃是等腰直角三角形知：PC=PF,

/.△AFC^^RFP(AAS),

:.AP=FR,AC=PR,而AC=A3,

AP=BR=FR,

在R38R尸中，BR?+FR?=BF?，BF=Ok，

；.AP=BR=FR=k,

:.PB=2AP=2k,

AB=AP+PB=BN=3k,

由BR=FR，/QBR=NR=NFQB=90。,

・•・四边形为正方形，BQ=QF=k,

由FQ_LBN,CN^BN得:FQ//CN,

：.©EFSDNEC,

:.^="HQE=BN-NE-BQ=3k-NE-k=2k-NE,

NECN

即殳/=5=2解得：NE=gk,

NE3k32

3

由①知：PM=AP=k,ME=NE=-k,

2

35

:.PE=PM+ME=k+-k=-k.

22

【点睛】本题考查了几何新定义，正方形的性质与判定，折叠问题，全等三角形的性质与判定，相似三角

形的性质与判定，勾股定理，理解新定义，掌握正方形的性质是解题的关键.

考点04直角三角形中勾股定理的应用

15.（2023・湖北•中考真题）如图，在VA4c中，Z4BC=90°,49=3,AC=4,点。在边AC上，旦3。平

分VABC的周长，则8。的长是（）

C

A.旧B.>/6C..D.巫

54

【答案】C

12

【分析】如图所示，过点B作5EJ.4C于E,利用勾股定理求出AC=5,进而利用等面积法求出BE=?,

96

则可求出入£=不，再由平分\54c的周长，求出AD-各CD-2,进而得到。£=不，则由勾股定理得

JJ

BD=>lBE2+DE2=—.

【详解】解•：如图所示，过点B作8E_LAC于E,

•・•在V48C中，ZABC=90°,A8=3,BC=4,

工AC=y/AB2+BC2=5，

SABC=^ACBE=^CAB,

.o_.ABBC12

AC5

>---------------a

AAE=VAB2-BE2=j,

*/B。平分VABC的周长，

AAD+AB=BC+CD,即AO+3=C£>+4,

又「AD+CD=AC=5,

AAD=3,CD=2,

・•・DE=AD-AE=-f

5

・•・BD=dBE?+DE2=号,

故选C.

【点睛】本题主要考查了勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.

16.（2023・湖北恩施•中考真题）《九章算术》被称为人类科学史上应用数学的“算经之首书中记教：“今

有户不知高、广，竿不知长短.横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出.问户高、广、邪各几何？”译文：

今有门，不知其高宽：有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，

竿与门对角线恰好相等.问门高、宽和对角线的长各是多少（如图）？答：门砂、阳和对田级的长分别是一

尺.

Dt____________C

/

/

/

一邪/

a/?

/

/

/

【答案】8,6,10

【分析】设竿的长为x尺，则门而为（x-2）尺，门宽为（x-4）尺，利用勾股定理求解即可.

【详解】解：设竿的长为工尺，则门高为（x-2）尺，门宽为4）尺，

根据题意可得：X2=（X-2）2+（X-4）2,

解得：x=10或x=2（舍去），

x-2=8（尺），x-4=6（尺），

即门高、宽和对角线的长分别是8,6,10尺，

故答案为：8,6,10.

【点睛】本题考查勾股定理的应用和解一元二次方程，止确设未知数找到等量关系是解题的关键.

17.（2023・湖北随州•中考真题）如图，在♦△48C中,ZC=90°,AC=&BC=6,Q为AC上一点，若BD

是/ABC的角平分线，则AO=.

C

/N------------------------------SB

【答案】5

【分析】首先证明CO=OP,BC=BP=6,设8=尸。=x,在Rt-AOP中，利用勾股定理构建方程即可

解决问题.

【详解】解：如图，过点。作AA的垂线，垂足为P,

・•・AB=y]AC2+BC2=V82+62=10*

,/80是—ABC的角平分线，

・•・4CBD=NPBD,

VZC=ZBPD=90°,BD=BD,

・•・_肛/一BDP(AAS),

BC=BP=6,CD=PD,

设C£)=PD=x,

在Rt_AOP中，VPA=AB-BP=4,AD=S-x,

.・.r+42=(8-x)2,

••4=3,

・•・AD=5.

故答案为：5.

【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练学

握基本知识，属于中考常考题型.

18.（2023・湖北荆州•中考真题）如图，8为RlZVWC斜边A3上的中线,E为2c的中点.若4C=8,€0=5,

贝|JDE=.

C

E

ADB

【答案】3

【分析】首先根据直角三角形斜边中线的性质得出48,然后利用勾股定理即可得出BC,最后利用三角形

中位线定理即可求解.

【详解】解：・.•在Rt/\A8C中，C。为RtAABC斜边AB上的中线，6=5,

/.AB=2CD=\0,

JBC=yjA^-AC2=V102-82=6-

•・・E为AC的中点，

・•・DE=-BC=3

2

故答案为：3.

【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，三角形中位线定理，掌握直角三角形中斜边上的中线等于斜边

的一半是解题的关键.

考点05相似三角形的判定

19.（2023•湖北荆州•中考真题）如图，在菱形ABCO中，DH^LAB于H,以。〃为直径的分别交,

BD于点、E,F,连接£7"

⑴求证：

①CD是。的切线；

②-DEFS—DBA：

(2)若A3=5,DB=6,求sinNOFE.

【答案】（I）①见解析，②见解析

24

⑵一

25

【分析】（1）①根据菱形的性质得出AB〃C。，根据力可得CO_LO。，进而即可得证；

②连接〃尸，根据等弧所对的圆底角相等得出NO,=NOH/L根据直径所对的圆周角是直角得出

ZDF//=90°,进而可得N£»=NDB4=NZ）£/L结合/EDF=/BDA，即可得证：

（2）连接AC交3。于G.根据菱形的性质以及勾股定理求得4G=4,AC=8,进而根据等面枳法求得

由乙's—）84得：QFE=ADAH,在Rt中，即可求解.

【详解】（1）证明：①•••四边形A8C。是菱形，

AB//CD

DH±AB,

:.ZCDH=ZDHA=90,则C/）_LOZ）

乂。为。的半径的外端点，

二.CD是。。的切线.

②连接〃人

,**DF=DF

，4DEF=NDHF

DH为O直径，

NDFH=90。,

而乙DHB=90。

少HF=4DBA=/DEF,

又•.ZEDF=ZBDA

:.」DEFs_DBA.

（2）解：连接AC交3。于G.

菱形A4C。，BD=6,

AC±BD,AG=GC,DG=GB=3,

•・在RtZ\4G8中，AG=\IAB2-BG2=4»

：.AC=2AG=S,

S^ABCD=^ACBD=ABDH,

I1?4

DH=—x6x8x-=—,

255

DHDH24124

在RtA。”中,sinNDAH---=----=---X—=--

ADAB5525

由」）EF-DBA得:力FE=4DAH，

...sinZDFE=sinADAH=——.

25

【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，菱形的性质，勾股定理，求角

的正弦值，熟练掌握以上知识是解题的关键.

20.（2023.湖北黄石.中考真题）如图，八8为的直径，D4和〈。相交于点足AC平分/D48,点。

在。。上，且CO_LD4,AC交加于点、P.

（1）求证：CD是。的切线；

（2）求证：ACPC=BC\

AF

⑶已知5c2=3尸POC,求I；的值.

AB

【答案】（1）见解析

(2)见解析

【分析】(1)连接。C,由等腰三角形的性质得NOAC=NOCA,再证ND4C=NOC4,则QA〃OC.然

后证OCJ.C。，即可得出结论;

(2)由圆周角定理得乙4C8=90。，/DAC=4PBC,再证NB/1C=/PBC,然后证，ACBj比尸，得

W=.，即可得出结论；

oCrC

(3)过P作PE_LAB于点E,证4cpe=3FPOC,再证.ACZ)s:8PC,得ACPC=BP-DC,则

BPDC=3FPDC,进而得BP=3fP,然后由角平分线的性