2023-2025全国高考数学试题汇编：计数原理章节综合

2023-2025全国高考真题数学汇编

计数原理章节综合

一、单选题

1.（2023全国高考真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样

调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学

生，则不同的抽样结果共有（）.

A.C：QC嬴种B.C：MC机种

C.CQC落种D.CQC品种

2.（2023全国高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有

1种相同的选法共有（）

A.30种B.60种C.120种D.240种

3.（2023全国高考真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从

这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（）

A.120B.60C.30D.20

4.（2023全国高考真题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2

名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（）

A.-B.-C.4D.-

6323

5.（2024全国高考真题）某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，出场次序

由随机抽签确定，则丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场的概率是（）

A.—B.—C.—D.一

6432

6.（2024北京高考真题）在卜-4了的展开式中，/的系数为（）

A.6B.-6C.12D.-12

二、填空题

7.（2025天津高考真题）在（尤的展开式中，/项的系数为.

8.（2023全国高考真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修

2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有种（用数字作答）.

9.（2023天津高考真题）在12元3一工丫的展开式中，/的系数为.

10.（2024天津高考真题）在+的展开式中，常数项为

11.（2024上海高考真题）在（x+1）"的二项展开式中，若各项系数和为32,则/项的系数为

12.（2025北京高考真题）已知（1一2%）4=〃0-2〃/+4〃2%2-8〃3%3+16〃4/,则为=

%+%+〃3+=

13.（2025上海高考真题）在二项式（2x-iy的展开式中，/的系数为.

14.（2025上海高考真题）4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是

家长，则不同的排列个数有种.

15.（2023上海高考真题）已知（1+2023。°°+（2023-0100=%+弓彳+%*2+…+佝9£）+400储00，若存在左e

{0,1,2,…，100}使得以＜。，则上的最大值为.

16.（2024全国高考真题）（g+x；的展开式中，各项系数中的最大值为.

17.（2024全国高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6,从中无放回地随机取3

次，每次取1个球.记加为前两次取出的球上数字的平均值，”为取出的三个球上数字的平均值，则机与〃

之差的绝对值不大于g的概率为.

18.（2023上海高考真题）空间内存在三点A、B、C,满足AB=AC=8C=1,在空间内取不同两点（不

计顺序），使得这两点与A、B、C可以组成正四棱锥，求方案数为.

19.（2024全国高考真题）在如图的4x4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选

中，则共有种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是.

11213140

12223342

13223343

15243444

参考答案

1.D

【分析】利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案.

【详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取60x黑=40人，高中部共抽取60x笑=20,

根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有C黯C2种.

故选：D.

2.C

【分析】相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案.

【详解】首先确定相同得读物，共有C；种情况，

然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有A；种，

根据分步乘法公式则共有A；=120种，

故选：C.

3.B

【分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天公益活动的情况，即可得解.

【详解】不妨记五名志愿者为c,4e,

假设。连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的公益活动，共有

A；=12种方法，

同理：6,c,d,e连续参加了两天公益活动，也各有12种方法，

所以恰有1人连续参加了两天公益活动的选择种数有5x12=60种.

故选：B.

4.D

【分析】利用古典概率的概率公式，结合组合的知识即可得解.

【详解】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有C；=6件，

其中这2名学生来自不同年级的基本事件有C；C；=4,

42

所以这2名学生来自不同年级的概率为工=不

63

故选：D.

5.C

【分析】解法一：画出树状图，结合古典概型概率公式即可求解.

解法二：分类讨论甲乙的位置，结合得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解.

【详解】解法一：画出树状图，如图，

乙

甲丙丁

AAA

丙丁乙丁乙丙丙丁甲丁甲丙

T丙丁乙丙乙丁丙丁甲丙甲

T

甲乙丙

AAA

乙丁甲丁甲乙乙丙甲丙甲乙

丁乙丁甲乙甲丙乙丙甲乙甲

由树状图可得，出场次序共有24种，

其中符合题意的出场次序共有8种，

Q1

故所求概率尸=五="

解法二：当甲最后出场，乙第一个出场，丙有2种排法，丁就1种，共2种；

当甲最后出场，乙排第二位或第三位出场，丙有1种排法，丁就1种，共2种；

于是甲最后出场共4种方法，同理乙最后出场共4种方法，于是共8种出场顺序符合题意;

基本事件总数显然是A：=24,

Q1

根据古典概型的计算公式，所求概率为会=*

故选：C

6.A

【分析】写出二项展开式，令4-1=3,解出「然后回代入二项展开式系数即可得解.

【详解】［一«『的二项展开式为&1=《钎［_6,=(2；(-1)'尤4-5,(厂=0,1,2,3,4)，

令4-5=3,解得r=2,

故所求即为C：(T)2=6.

故选：A.

7.-20

【分析】根据二项式定理相关知识直接计算即可.

【详解】(x-球展开式的通项公式为&，

当r=3时，看=或尤3.(_1)3=一20%3,

即(x-l)6展开式中*3的系数为一20.

故答案为：-20

8.64

【分析】分类讨论选修2门或3门课，对选修3门，再讨论具体选修课的分配，结合组合数运算求解.

【详解】(1)当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有C：C：=16种；

(2)当从8门课中选修3门,

①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有C；C；=24种；

②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有C：C：=24种；

综上所述：不同的选课方案共有16+24+24=64种.

故答案为：64.

9.60

【分析】由二项式展开式的通项公式写出其通项公式几1=(-1)鼠26-隈。"98』，令18-必=2确定左的

值，然后计算炉项的系数即可.

【详解】展开式的通项公式G=C(2尤3广]-：=(T*X26YXC：XXI8』，

令18—4左=2可得，左=4,

则V项的系数为(-ifx26-4xC^=4x15=60.

故答案为：60.

10.20

【分析】根据题意结合二项展开式的通项分析求解即可.

【详解】因为1]+*]的展开式的通项为=32r-6C；?2-4r,r=0,l,--,6,

令12-4r=0,可得r=3,

所以常数项为3℃：=20.

故答案为：20.

11.10

【分析】根据给定条件，求出累指数"，再利用二项式定理求出指定项的系数.

【详解】则二项式(x+1)”的展开式各项系数和为32,得2"=32,解得〃=5,

所以6+1)5的展开式/项的系数为C；=10.

故答案为：10

12.115

【分析】利用赋值法可求。0，利用换元法结合赋值法可求％+。2+。3+。4的值.

【详解】令1=0,则%=1,

234

又(1—2x)4=a0—2oyX+4a2x—Sc^x+16a4x,

^1—2%)=%+.](—2])+出(—2%)+/(—2%)+%(—2%),

令t=-2x,则(1+f)=%+qf+a,产+//+内尸，

令t=1,贝!]%+4+/+/+4=2,，故q+%+/+&=15

故答案为：U5.

13.80

【分析】利用通项公式求解可得.

【详解】由通项公式Tr+l=G.25T.产，.(力=q.(-iy.25/5",

令5-r=3,得r=2,

可得d项的系数为c>(-1)2.25-2=80.

故答案为：80.

14.288

【分析】先选家长作队尾和队首，再排中间四人即可.

【详解】先选两位家长排在首尾有声=12种排法；再排对中的四人有P：=24种排法，

故有12x24=288种排法.

故答案为：288

15.49

【分析】根据二项展开式的通项可得以=<4,[2023*+2023Kxit•(-：!)"],然后由4<0可得％为奇数，然后

可得2023^-20231°°-*<0,即可求出答案.

[详解】二项式(1+20234°°的通项为Tr+l=C；0n(2023x)'=C；。。・2023、Kre{0,1,2,…,100},

二项式(2023-x)必的通项为&=G002023gq0=C；0G二。2*-3-!)』，/^。,1,2,…,100},

100100

ak=-2023k+cfg.2O23^.(-1/=[2023k+2O23^•(T)],

左e{0,1,2,…,100},若4<0,则左为奇数，

A100A100

此时ak=C：0G(2023-2O23^),2023-2O23^<0,

;"<100-左,.，"<50,又左为奇数，.：k的最大值为49.

故答案为：49.

16.5

【分析】先设展开式中第r+1项系数最大，则根据通项公式有<

解.

【详解】由题展开式通项公式为4Mxr,0<r<10J!LreZ,

、29

YN—

42933

即3"工一,又FZ,故r=8,

,3344

r<——

4

所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为C：0《］=5.

故答案为：5.

17.—

15

【分析】根据排列可求基本事件的总数，设前两个球的号码为。，以第三个球的号码为。，则

a+b-3<2c<a+b+3,就c的不同取值分类讨论后可求随机事件的概率.

【详解】从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有A：=120种，

设前两个球的号码为。步，第三个球的号码为c,则空卡-等三；,

故12c-(。+6)|<3,®-3<2c-(a+Z?)<3,

故a+b-3V2cVa+6+3,

若c=L则a+H5,则(。⑼为:(2,3),(3,2),故有2种,

若c=2,m<a+b<l,则(a,6)为：(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,4),

(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(4,3),故有10种,

当c=3,则3Wa+6<9,贝！为：

(1,2),(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(4,5),

(2,1),(4,1),(5,1),(6,1),(4,2),(5,2),(6,2),(5,4),

故有16种,

当”4,则5Va+b〈ll,同理有16种，

当c=5,贝ij7Wa+b413,同理有10种，

当c=6,贝！|9Va+bV15,同理有2种，

共加与鼠的差的绝对值不超过!时不同的抽取方法总数为2(2+10+16)=56,

故所求概率为言=《.

7

故答案为：—

18.9

【分析】根据题意，先考虑正四棱锥中三个点构成等边三角形的情况，分类讨论VABC为正四棱锥的侧面

或对角面两种情况，再结合VABC三边的轮换对称性即可得解.

【详解】因为空间中有三个点A、B、C,且AB=3C=C4=1,

不妨先考虑在一个正四棱锥中，哪三个点可以构成等边三角形，同时考虑VA3C三边的轮换对称性，可先

分为两种大情况，即以下两种：

第一种：VABC为正四棱锥的侧面，如图1,

此时4民8。,AC分别充当为底面正方形的一边时，对应的情况数显然是相同的；

不妨以为例，此时符合要求的另两个点如图1所示，显然有两种情况，

考虑到VABC三边的轮换对称性，故而总情况有6种；

第二种：VABC为正四棱锥的对角面，如图2,

此时ABBC,AC分别充当底面正方形的一对角线时，对应的情况数显然也是相同的；

不好以为例，此时符合要求的另两个点图2所示，显然只有一种情况，

考虑到VABC三边的轮换对称性，