2023-2025全国高考数学试题汇编：空间几何体（人教B版）

2023-2025全国高考真题数学汇编

空间几何体（人教B版）

一、单选题

1.（2023全国高考真题）已知圆锥PO的底面半径为石，O为底面圆心，PA,P8为圆锥的母线，

4403=120。，若的面积等于％8,则该圆锥的体积为（）

4

A."B.屈兀C.3TtD.3底兀

2.（2024全国高考真题）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为出，则圆锥的

体积为（）

A.2岛B.3&C.6后D.9岛

3.（2024天津高考真题）在如图五面体ABC-两中，棱AO,8E,C尸互相平行，且两两之间距离均为

1;.若AT>=1,BE=2,CF=3.则该五面体的体积为（）

B

A-TB.分C.fD.3731

42

二、多选题

4.（2023全国高考真题）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位:m）的正方体容器（容器壁厚度

忽略不计）内的有（）

A.直径为0.99m的球体

B.所有棱长均为1.4m的四面体

C.底面直径为0.01m,高为L8m的圆柱体

D.底面直径为1.2m,高为0.01m的圆柱体

三、填空题

5.（2025上海高考真题）如图，在正四棱柱中，BD=^则该正四棱柱的体

积为_______.

5.G

---

6.（2023全国高考真题）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2,

高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为.

7.（2023全国高考真题）己知点S,A,B,C均在半径为2的球面上，VA3C是边长为3的等边三角形，

SA_L平面ABC,则&4=.

8.（2023全国高考真题）在正四棱台AB。-44GR中，AB=2，A4=1,朋=后，则该棱台的体积

为.

9.（2023全国高考真题）在正方体A8C。-A4GA中，E,尸分别为AB,GR的中点，以所为直径的球

的球面与该正方体的棱共有个公共点.

10.（2023全国高考真题）在正方体ABC。-AAG2中，48=4,0为AG的中点，若该正方体的棱与球0

的球面有公共点，则球。的半径的取值范围是.

11.（2024全国高考真题）已知圆台甲、乙的上底面半径均为不下底面半径均为2，圆台的母线长分别为

2g-石），3色-石），则圆台甲与乙的体积之比为.

12.（2025全国高考真题）一个底面半径为4cm,高为9cm的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内

有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为cm.

参考答案

1.B

【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的高，求出体积作答.

【详解】在VA05中，ZAOB=120°,而。4=08=6，取A3中点C,连接。C,PC,有

OCA-AB,PC±AB,如图,

OC=昱,AB=2BC=3,由的面积为2叵

/A3O=30。，得

24

解得尸C=乎，于是PO=Jpc?_OC?=J（券）2_（¥）2=瓜,

所以圆锥的体积丫

故选：B

2.B

【分析】设圆柱的底面半径为「，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径r的方程，求出解后可求圆锥的

体积.

【详解】设圆柱的底面半径为「，则圆锥的母线长为尸K，

而它们的侧面积相等，所以27rrxG=7rrx而3即26=屈3，

故r=3,故圆锥的体积为:兀X9X6=3A/^TI.

故选：B.

3.C

【分析】采用补形法，补成一个棱柱，求出其直截面，再利用体积公式即可.

【详解】用一个完全相同的五面体以7-LWN（顶点与五面体ABC-D£F——对应）与该五面体相嵌，使

得D,N；重合，

因为AO〃鹿〃CF,且两两之间距离为1.AD=1,BE=2,CF=3,

则形成的新组合体为一个三棱柱，

该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为1的等边三角形，侧棱长为1+3=2+2=3+1=4,

v_lv_11,1V3.

^ABC-DEF=5乂不X1X1X亏X4=可

乙乙乙乙乙

4.ABD

【分析】根据题意结合正方体的性质逐项分析判断.

【详解】对于选项A：因为Q99m<lm,即球体的直径小于正方体的棱长,

所以能够被整体放入正方体内，故A正确；

对于选项B：因为正方体的面对角线长为点m，且应>1.4，

所以能够被整体放入正方体内，故B正确；

对于选项C：因为正方体的体对角线长为可，且6<1.8,

所以不能够被整体放入正方体内，故C不正确；

对于选项D：因为L2m>lm,可知底面正方形不能包含圆柱的底面圆，

如图，过AG的中点。作。ELAG，设OEIAC=E,

可知AC=夜,CG=1,AC.=V3,(9A=—,则tanNCAG=:=空，

112ACAO

1_OE厂

即也一再，解得。£=如，

故以AG为轴可能对称放置底面直径为1.2m圆柱,

若底面直径为1.2m的圆柱与正方体的上下底面均相切，设圆柱的底面圆心。-与正方体的下底面的切点为

M,

可知：AC,10^,0^=0.6,则tanNCAG=*=鬻,

AC/iCz|

10.6「

即&=~\O，解得A°l=。6尬'

根据对称性可知圆柱的高为百-2x0,672*1.732-1.2x1.414=0.0352>0.01,

所以能够被整体放入正方体内，故D正确；

故选：ABD.

4G

5.112

【分析】求出侧棱长和底面边长后可求体积.

【详解】因为4A历且四边形为正方形，故54=4,

而班=9,故西+9=81,故即=7,

故所求体积为7x16=112,

故答案为：112.

6.28

【分析】方法一：割补法，根据正四棱锥的几何性质以及棱锥体积公式求得正确答案；方法二：根据台体

的体积公式直接运算求解.

【详解】方法一：由于:=而截去的正四棱锥的高为3,所以原正四棱锥的高为6,

42

所以正四棱锥的体积为gx（4x4）x6=32,

截去的正四棱锥的体积为:x（2x2）x3=4,

所以棱台的体积为32-4=28.

方法二：棱台的体积为:x3x（16+4+V^Z）=28.

故答案为：28.

【分析】先用正弦定理求底面外接圆半径，再结合直棱柱的外接球以及求的性质运算求解.

【详解】如图，将三棱锥S-ABC转化为正三棱柱SMV-ABC,

设VABC的外接圆圆心为。1，半径为厂,

2r=—=J-2J3

则sinZACB后,可得厂=6，

T

设三棱锥S-ABC的外接球球心为0,连接0400-则0A=2,00]=：SA,

因为042=002+042,即4=3+^SA2,解得&4=2.

4

故答案为：2.

【点睛】方法点睛：多面体与球切、接问题的求解方法

（1）涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，

把空间问题转化为平面问题求解；

（2）若球面上四点尸、A、B、C构成的三条线段以、PB、PC两两垂直，且E4=a,PB=b,PC=c,一

般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2=a2+〃+c2求解；

（3）正方体的内切球的直径为正方体的棱长；

（4）球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长；

（5）利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的

位置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程（组）求解.

8.地/?卡

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【分析】结合图像，依次求得从而利用棱台的体积公式即可得解.

【详解】如图，过A作a/LAC,垂足为M,易知4"为四棱台A3CZ）-A4G2的高，

因为AS=2，A4=1，M=0,

贝!=-AG=-xV27l1B1=-,AO=-AC=-x-s/2AB=y/2,

22222

故AM=g(AC一4cJ=孝，则4M="AA2_AM2=』_；=手,

所以所求体积为V=1x(4+l+W)x"=Wf.

326

故答案为：坟.

6

9.12

【分析】根据正方体的对称性，可知球心到各棱距离相等，故可得解.

【详解】不妨设正方体棱长为2,EF中点为0,取CD,CG中点G,M,侧面BBCC的中心为N,连接

由题意可知，。为球心，在正方体中，EF=yjFG2+EG1=722+22=272>

即R=夜，

则球心0到CCj的距离为OM=>]ON2+MN2=Vl2+12=V2，

所以球。与棱eq相切，球面与棱eq只有1个交点，

同理，根据正方体的对称性知，其余各棱和球面也只有1个交点，

所以以E尸为直径的球面与正方体棱的交点总数为12.

故答案为：12

10.[2A/2,2A/3]

【分析】当球是正方体的外接球时半径最大，当边长为4的正方形是球的大圆的内接正方形时半径达到最

小.

【详解】设球的半径为R.

当球是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每个顶点，所求的球的半径最大，若半径变得更大，球会包

含正方体，导致球面和棱没有交点，

正方体的外接球直径2R为体对角线长AC】=,4?+4?+4?=，即2尺，=43,4=2石，故7?1mx=24；

3G

分别取侧