2023-2025全国高考数学试题汇编：平面向量基本定理及坐标表示

2023-2025全国高考真题数学汇编

平面向量基本定理及坐标表示

一、单选题

1.（2025全国高考真题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学

中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风

速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关

系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速

度大小，单位：（m/s））,则真风为（）

级数名称风速大小（单位：m/s）

2轻风1.6~3.3

3微风3.4〜5.4

4和风5.5〜7.9

5劲风8.0〜10.7

%

3视

\?船梅

O123x

A.轻风B.微风C.和风D.劲风

2.(2023全国高考真题)已知向量3=(1,1)石=。厂1),若(£+")，(£+闷，则()

A.4+//=1B.X+〃=—1

C."=1D.办=一1

3.(2023全国高考真题)已知向量£=(3,1),方=(2,2),贝i]cos(Z+瓦£一刀=()

A.—B.叵C.立D.9

171755

4.(2023北京高考真题)已知向量25满足益+五=(2,3),1-5=(-2,1),则|2『_|W=()

A.-2B.-1C.0D.1

5.(2024全国高考真题)已知向量N=(0,l)石=(2,x),若石，(方一4万),则工=()

A.-2B.-1C.1D.2

6.(2024全国高考真题)设向量Z=(x+l,x),5=(x,2),则()

A.“x=-3”是的必要条件B.“尤=1+6”是“Z//B”的必要条件

C.“x=0”是“打尸的充分条件D.“X=-1+G”是“Z//B”的充分条件

7.（2025北京高考真题）在平面直角坐标系宜刀中，|砺|=|而|=五，|而|=2.设C（3,4）,则|2仁[+刀]

的取值范围是（）

A.[6,14]B.[6,⑵C.[8,14]D.[8,12]

二、填空题

8.（2023上海高考真题）已知商=（—2,3）高=（1,2）,求ab=

9.（2024上海高考真题）己知上eR,a=（2,5）,B=（6#）,且方/历，则上的值为.

10.（2025全国高考真题）已知平面向量2=（尤,1）,5=（尤-l,2x）,若6-B）,贝!]5|=

11.（2024天津高考真题）已知正方形ABC。的边长为1,饼=2反，若现=2雨+〃阮,其中尢〃为实

数，则2+〃=;设尸是线段8E上的动点，G为线段AF的中点，则赤.方日的最小值为.

12.（2025天津高考真题）VABC中，。为边中点，CE=^CD,AB=a,AC=b,则顺=（用日，

在表示），若|荏|=5,AE1CB,则通.①=

参考答案

1.A

【分析】结合题目条件和图2写出视风风速对应的向量和船行风速对应的向量，求出真风风速对应的向

量，得出真风风速的大小，即可由图1得出结论.

【详解】由题意及图得，

视风风速对应的向量为：«=(0,2)-(3,3)=(-3,-1),

视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，

船速方向和船行风速的向量方向相反，

设真风风速对应的向量为船行风速对应的向量为E，

/.n-r^+n^,船行风速：%=一[(3,3)-(2,0)]=(-1,-3),

(―3,—1)—(―1,—3)=(―2,2),

闻=正2)2+22=2&y2.828,

•••由表得，真风风速为轻风，

故选：A.

2.D

【分析】根据向量的坐标运算求出Z+4,3+同,再根据向量垂直的坐标表示即可求出.

【详角军】因为a=(1,1),〃=(1,—1),所以a+=+—4),a+jub=(1+//,1—,

由(a+Abj_L(a+可得，(〃+").(〃+4可=0,

即(1+4)(1+〃)+(1_丸)(1_〃)=0,整理得：加=T.

故选：D.

3.B

【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得忖+用14(£+方)卡-可，从而利用平面向量余

弦的运算公式即可得解.

【详解】因为2=(3,1))=(2,2),所以2+石=(5,3),£-1=(1,一1),

贝干+@=行行=取,*W==(fl+B).[fl-5)=5xl+3x(-l)=2,

/----\[a+b\\a-b\2J17

所以cos(a+bM_6)=\_公—q=~^~.

、/卜+用a-目\/34xV217

故选：B.

4.B

【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答.

【详解】向量。石满足1+方=(2,3),万-5=(-2,1),

所以I£|2_|B|2=（£+B）•（£-&=2x（—2）+3x1=t.

故选：B

5.D

【分析】根据向量垂直的坐标运算可求％的值.

【详解】因为否，0-4勾，所以"0-4£）=0,

所以『一473=0即4+Y-4X=0，故X=2，

故选：D.

6.C

【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.

【详解】对A,当打B时，则7B=o,

所以『（尤+l）+2x=0,解得x=o或-3,即必要性不成立，故A错误；

对C,当x=0时，Z=（l,O）,B=（O,2）,故7B=o，

所以即充分性成立，故c正确；

对B,当Z//B时，则2（尤+1）=心解得x=l土石，即必要性不成立，故B错误；

对D,当x=T+g时，不满足2（x+l）=f,所以Z//B不成立，即充分性不立，故D错误.

故选：C.

7.D

【分析】先根据荏=砺_函，求出〈市,砺〉，进而可以用向量次，砺表示出2m+通，即可解出.

【详解】因为|OA|=|OB|=0,|而|=2,

由通=砺一就平方可得，OAOB=0,所以〈砺，函=].

2CA+AB=2（OA-OC）+OB-OA=OA+OB-2OC,|dc|=V32+42=5,

所以，|2C4+IB|2=OA2+OB2+4OC2-4（OA+OB）-OC

=2+2+4x25-4（OA+OB）-OC=104-4（OA+OB）.OC,

又住+西讨<必+词西=5x071=10,gp-10<（QA+OB）-OC<10,

所以|2而+荏『e[64,144],即12m+而|<8,12],

故选：D.

8.4

【分析】

由平面向量数量积的坐标运算求解.

【详解】由题意得fl.&=-2xl+3x2=4.

故答案为：4

9.15

【分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可.

【详解】•.•万//万，；.2左=5x6,解得人=15.

故答案为：15.

10.72

【分析】根据向量坐标化运算得2-万=(1,1-2x),再利用向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可.

【详解】a-b=(l,l-2x),因为贝I］日@-石)=0,

贝!|x+l-2x=0,解得x=l.

则万=(1,1),则|1|=技

故答案为：也.

H.i-A

318

【分析】解法一：以｛丽，因为基底向量，根据向量的线性运算求而，即可得4+〃，设院=k院,求

UUUUUUL

AF,DG，结合数量积的运算律求市?.诙的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求而，即

,、IULIUUUU

可得4+〃，设F(a,-3a),ae-§,0,求”,或，结合数量积的坐标运算求存•方存的最小值.

1_.1__.uuruunuuriuiruun

【详解】解法一：因为CE=—OE,即CE=—5A,则5E=5C+C£=—3A+5C,

233

i4

可得4=Q,，=1,所以X+〃=

由题意可知：I就1=1丽1=1,丽•布=。，

因为尸为线段班上的动点，设而^氏丽二卜丽+左画%«0』，

贝|］/=通+丽=通+左旗=(1左一1］瑟+左前，

又因为G为AF中点，则力5=次+/=一比+=丽々一1］而，

可得通•拓=BA+kBC■

_1

-2

又因为左耳0,1］,可知：当人=1时，市?.诙取到最小值-1；

解法二：以8为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示,

则4（-1,0）,8（0,0）（（0,1）,0（-1,1）1层,1],

可得丽=（-1,0）,配=（O,l）,而=[

-4=—4

因为丽=4丽+〃而=（一九〃），4叫3,所以4+〃=3；

因为点F在线段BE:y=-3x,xe--,0上，设尸（〃,———,0

且口G为二AF中点H，则G[；a-1一,一万3。

可得通=（0+1,一30）,旃=[*,-口-）

则通.砺=6；）+（—3a）卜|a.1]=5。+*=，

J15；10

且ae-1,0,所以当“=_；时，行.力S取到最小值为-[；

1O

故答案为：—;.

318

1一2-

12.-a+—b--15

63

【分析】根据向量的线性运算求解即可空一,应用数量积运算律计算求解空二.

【详解】如图，

A

A