2023年高中物理 专项强化3 电场线等势面与电荷运动轨迹问题等分法的应用

电场线、等势面与电荷运动轨迹问题等分法的应用

［学习目标］1.会分析电场线、等势面与电荷运动轨迹相结合的问题.2.会用等分法确定等势点

（面）及电场方向.

一、电场线、等势面与电荷运动轨迹综合问题

【例11（2021・长治市潞州区高二期中）如图所示，实线表示某电场的电场线（方向未标出），虚

线是一带负电的粒子只在静电力作用下的运动轨迹，设历点和N点的电势分别为仰八脚，

粒子在M和N时加速度大小分别为公八CIN，速度大小分别为办八小，电势能分别为EpM、

EpM下列判断正确的是（）

A.VM<DN，av<aNB.VM〈DN，（PM〈（PN

C.（pM<（pN，EpM〈EpND.EpM〈EpN

答案D

解析由粒子的运动轨迹知粒子所受静电力的方向偏向右,因粒子带负电.故电场线方向偏

向左，由沿电场线方向电务降低，可知”<仰3EpBEpN；N点附近电场线比M点密，故场

强EW<EN,由加速度知内/<附，粒子若从N点运动到M点，静电力做正功，动能，曾加，

故粒子若从M点运动到N点，静电力做负功，动能减小，故。综上所述，选项

D正确.

带电粒子在电场中运动轨迹问题的分析方法

1.从枕迹的弯曲方向判断受力方向（合外力指向航迹凹侧），从而分析电场方向或电荷的正负.

2.结合轨迹、速度方向与铮电力的方向，确定方争电力做功的正负，从而确定电势能、电势和

电势差的变化等.

3.根据动能定理或能量守恒定律判断动能的变化情况.

针对训练1（多选）如图所示，在点电荷。产生的电场中，实线MN是一条方向未标出的电

场线，虚线A8是•个电子只在静电力作用下的运动轨迹.设电子在4、8两点的加速度大小

分别为心、劭，电势能分别为品八、.下列说法正确的是（）

M-----\-----N

A.电子一定从A向8运动

B.若劭，则。靠近M端且为正电荷

C.无论Q为正电荷还是负电荷一定有

D.B点电势可能高于A点电势

答案BC

解析电子仅在静电力作用下可能从A运动到8,也可能从8运动到4,A错误；若01＞他,

说明电子在A点受到的静电力大于在8点受到的静电力，所以A距离点电荷较近，8距离点

电荷较远，又因为电子受到的静电力指向轨迹凹侧，因此。靠近"端且为正电荷，B正确；

无论Q是正电荷还是负电荷，若电子从4运动到8,一定是克服铮电力做功，若电子从B运

动到A,一定是静也力做正功，即一定有Ep^VEps,C正确；对于同一个负电荷，电势低处

电势能大，4点电势一定低于A点电势，D错误.

【例2】（2022•温州市高二期中汝」图所示，某次雷雨天气，带电云层和建筑物上的避雷针之间

形成电场，图中虚线为该电场的三条等差等势线，实线为某带电粒子从A运动到8的轨迹，

A、3为运动轨迹上的两点.带电粒子的重力不计，避雷针带负电.则（）

A.带电粒子带负电

B.避雷针尖端附近电势较高

C.带电粒子在A点的加速度大于在8点的加速度

D.带电粒子在A点的电势能大于在4点的电势能

答案D

解析根据带电粒子的运动轨迹可知，带电粒子受到指向曲线弯曲内侧的作用力，即带电粒

子与带负电的避雷针之间为相互吸引力，带电粒子带正电，A错误；避雷针带负电，带电云

层和建筑物上的避雷针之间形成的包场中，电场线指向避雷针，沿着电场线的方向，电势降

低，由此可知，避雷针尖端附近也势较低，B错误：等差等势线越密集的位竞，电场强度越

强，由此可知，B点的电场强度大小大于4点的，由牛顿第二定律“=蜡，则带电粒子在B

点的加速度大于在A点的加速度.C错误：避雷针尖端附近电势较低,即小＞0以根据电势

能与也势的关系昂=如，又因为粒子带正也，则带电,粒子在A点的也势能大于在B点的电势

能，D正确.

二、用等分法确定匀强电场中的等势线和电场线

1.在匀强电场中，沿任意一个方向，电势降落都是均匀的，故在同一直线上相同间距的两点

间电势差相等，如图甲所示，如果AB=BC,则UAB="C.

2.在匀强电场中，相互平行且相等的线段两端点间的电势差相等，如图乙所示，%8CD中，

UAB=UDC＞UBC=UAD.

3.由于匀强电场中沿任意一条直线电势降落都是均匀的，如果把某两点间的距离等分为n

段，则每段两端点间的电势差等于原电势差的《像这样采用等分间距求电势的方法，叫作等

分法.

4.确定匀强电场的电场方向：在匀强电场中，先利用等分法确定电势相等的点，画出等势面

（线），然后根据电场线与军势面（线）垂直画出电场线，电电场线的方向由电势高的等势面（线）

指向电匏低的等势面（线）,电场线的方向也就是电场方向.

【例3】（2021•南昌一中期中）如图所示，4、B、C、。是匀强电场中一正方形的四个顶点，已

知A、B、C三点的电势分别是夕A=15V,98=3V,0c=-3V,由此可以推断。点的电势夕”

是（）

AD

BC

A.6VB.9VC.3VD.12V

答案B

解析由匀强电场的特点知，在句强电场中，相互平行且相等的线段两端点间的电势差相

等.故有UA8=S>C,即（pb—（pB=<pD—（pC,

所以牝=9V,故选B.

【例4】如图所示，在平面直角坐标系中，有一个方向平行于坐标平面的匀强电场，其中坐标

原点O处的电势为0,点A处的电势为6V,点B处的电势为3V,则电场强度的大小为（）

A.200V/mB.20073V/m

C.100V/mD.100\/3V/m

答案A

解析在匀强电场中，沿某一方向电势均匀降低或升高，故。4的中点C的电势夕c=3V（如

一~OB

图所示），因此8、C在同一等势而上.。点到8C的距离d=OCsina,而sina=-7=

ylOB24-OC2

=1,所以d=[0?=1.5XlO-2m.匀强电场的。场强度七=[=J2V/m=200V/m,

乙乙aI・D入1v/~

故选项A正确.

用等分法找等势点的技巧

1.在匀强电场中，将电势最高点和电势最低点连接后，根据需要等分成若干段，必能找到第

三点的等势点.

2.在匀强电场中，两等势点的连线一定是等势线，与等势线垂直、由高电势指向低电势的方

向一定是电场方向.

3,等分法的关键是找到电势相等的点，进而画出电场线.

4.用等分法确定电势或电场强度方向只适用于匀强电场.

针对训练2（多选）（2021•驻马店市高二期末）如图所示，在.9），坐标系中有一底角为60。的等

腰梯形，空间有方向平行于坐标平面的匀强电场，其中原点。的电势为9V,A点电势为4.5V,

8点电势为（），则由此可以判定（）

A.电场的电场强度大小为150\乃V/m

解析由运动挑迹可知，粒子尸受引力作用，粒子带正电，故A错误；4、C与负点电荷。

的距离相等，〃点距离负点电荷。较远.距离负电荷越远，电势越高，故B正确；正电荷在

电势越高（低）的位置，电势能越大（小），结合A、B选项，粒子P由〃到〃电势能增加，由人

到c电势能减小，故C正确：由几何关系，a、b、c三点到负点电荷。的距离关系为%=心

=乎力，又根据F=l^2=ma,得aa:ab：。＜=2：I：2,故D正确.

3.（2021.普宁市高二上期内）一带电粒子沿图中曲线穿过一匀强电场中的等势面，且四个等势

面的电势关系满足的＞夕〃＞供＞@/,若不计粒子所受重力，则（）

A.粒子一定带正电

B.粒子的运动是匀变速运动

C.粒子从A点到B点运动的过程中动能先减小后增大

D.粒子从A点到8点运动的过程中电势能增大

答案B

解析由于（pa＞（pb＞（p（＞（pd,所以电场线垂直于等势面由a指向d,根据粒子运动轨迹可知该粒

子所受静电力由d指向a,即该粒子带负电，从4点到8点的运动过程中，粒子做匀变速曲

线运动，舁电力做正功，粒子的动能增大，电势能减小，故选B.

4.（多选）（2021・嫩江市期中）如图所示，平行线代表电场线，但未标明方向，一个带正电、电荷

量为IO'C的微粒在电场中仅受静电力作用，当它从A点运动到8点时动能减少了icr5J,

则以下判断正确的是（）

/,/

A、1，

A.微粒的运动轨迹如图中的虚线I所示

B.微粒的运动轨迹如图中的虚线2所示

C.3点电势高于A点电势

D.B点电势低于A点电势

答案AC

解析由题知，带正电的微粒仅受静电力的作用，从A点运动到3点时动能减少了

说明静电力做负功，则知静电力方向水平向左，根据曲线运动的合力指向觥迹的内侧，故微

粒的运动轨迹如题图中虚线1所示，故A正确，B错误；由于微粒带正电，所受静电力水平

向左，则电场强度方向水平向左，沿着电场线方向电势逐渐降低，则3点电势高于A点电势，

故C正确，D错误.

5.（2022・辽宁高二期末）两个固定的等量异种点电荷所形成电场的等差等势面如图中虚线所

示，一带负电的粒子以某一速度从图中。点进入电场，其运动轨迹为图中实线所示，若粒子

只受静电力作用，则下列关于带电粒子的判断正确的是（）

A.a>b、c、4、e各点中c点电势最高

B.〃点和d点的电场强度相同

C.粒子在。点的电势能大于在c点的电势能

D.粒子从。点运动到e点的过程中的动能先减小后增大

答案D

解析从粒子运动就迹看出，轨迹向上弯曲，可知带负电粒子受到了向上的静电力的作用，

可知电,场强度方向大致向下，沿电场线电势逐渐降低，则a、b、c、d、e各点中c点电势最

低，故A错误；根据两个固定的等量异种点电荷所形成电场的等势面的特点可得，。点和"

点的电场强度大小相同，方向不同，故B错误；根据电势能Ep=»夕可知，负电荷在电势高

的地方电势能低，故粒子在〃点的电势能小于在c点的电势能，故C错误；粒子从。点运动

到e点的过程中电势能先增大后减小，所以动能先减小再增大，故D正确.

考点二等分法的应用

6.（2022♦重庆市沙坪坝区月考）A、B、。是匀强电场中平行于电场线的某一平面上的三个点，

各点的电势分别为的=5V,SB=2V,（pc=\V,H、F三等令AB,G为AC的中点，下列图

形中能正确表示电场强度方向的是（）

答案C

解析由题意可知，各点的电势分别为铀=5V,（pn=2V,（pc=\V,则AB连线上距B点;处

的厂点电势为3V,AC的中点G点电势也为3V,所以产点与4c中点的连线，即为等势线，

由于沿着电场线方向，电势降低，故C正确，A、B、D错误.

7.如图所示，匀强电场中有一个等边三角形A8C,其边长为1m,三角形所在的平面跟匀强

电场平行.已知A、B、。三点的电势分别为6V、4V、2V,下列说法正确的是（）

A.匀强电场的方向垂直于AC边

B.匀强电场的电场强度大小为2V/m

C.等边三角形中心的电势为5V

D.将一个电子从A点沿直线移到8点，其电势能增加了2eV

答案D

解析根据U=Ed知在匀强也场中，沿同一方向相等距离电势差相等.设人C中点为。，D

点的电势为”>="^^=二等

V=4V,则须="，BZ）为一条等势线.根据电场线与等势

面垂直，且由高电势处指向低电势处，知AC连线为一条电场线，匀强电场的方向垂直于8。

向下，如图所示，故A错误；AC间的电势差为八一"=6V-2V=4V,匀强电场的

电场强度大小为£=产=丁V/m=4V/m,故B错误；因为3。为一条等势线，等边三角形

LAC1

中心在8。边线上，则等边三角形中心的电势为4V,故C错误；将一个电子从A点沿直线

移到4点，静电力做功为W=—2%8=-e（夕八一口8）=一©X（6—4）V=-2eV,则电子的电,势

能增加了2eV,故D正确.

能力综合练

8.（多选）如图，在匀强电场中，A、B、C、。、E、F位于边长为L=2cm的正六边形的顶点

上，匀强电场的方向平行于正六边形所在的平面.已知人B、C.。的电势分别为一4V、0、

8V、12V,则下列说法正确的是（）

A，....F

•、

•*«、

欧'：­£

\/

c...b

A.E点的电势”;=8V

B.A、尸间的电势差U"=4V

C.C、F间的电势差Ub=-8V

D.该匀强电场的场强E=400V/m

答案AD

解析连接A。、BF、CE,人。与8尸、CE的交点分别为M、N.设六边形的中心点为。，如

图所示：

由图可知，AO与8/、CE都垂直，由正六边形的特点可知，AM=MO=ON=ND,所以可知

M、0、N的电势分别是0、4V、8V,所以出；和CE为等势面，则"=PB=（）,V,

故A正确；A、尸间电势差为U"=e八一”=一4V-0=-4V,故B错误；。、尸间电势差

为Ucr="-°F=8V—0=8V,故C错误；因为电场线和等势面垂直，8”为等势面，故电

场线和8尸垂直，故A。为电场线，因为沿着电场线方向电势降低，所以电场线方向由。指

向A,即电场线垂直于BF连线，且指向4,该匀强电场的电场强度大小£=,.'=

LSI”JU

0—（—4）

\扃V/m=400V/m,故D正确.

9.（2022•四川泸州高级中学校高二月考）如图所示，真空中有一个固定的点电荷，电荷量为+Q,

图中的虚线表示该点电荷形成的电场中的四个等差等势面.有两个一价离子M、N（不计重力，

也不计它们之间的静电力）先后从a点以相同的速率的射入该电场，运动轨迹分别为曲线apb

和的c,其中〃、夕分别是它们离固定点电荷最近的位置.以下说法中正确的是（）

A.M一定是正离子，N一定是负离子

B.M在p点的速率一定小于N在q点的速率

C.M在〃点的速率一定大于N在c,点的速率

D.M从p-b过程电势能的增量一定小于N从a-q过程电势能的增量

答案D

解析由题图可知离子N受到中心电荷的斥力，而离子历受到中心电,荷的引力，故两离子的

电性一定不同.由于中心电荷带正包,则M一定是负离子，N一定是正离子，A错误：由题

图可判定M在从a到〃运动过程中，静电力做正功，动能增加，而N在从。到q运动过程中，

静电力做负功，动能减小.所以M在〃点的速率一定大亍N在q点的速率，B错误；由于。、

b、c•三点在同一等势面上，所以M在从〃向〃运动过程中岸电力所做的总功为0,N在从a

向c运动过程中皆争电力所做的总功为。.由于两离子以相同的速率从。点射入电场，故两离子

分别经过从c两点时的速率一定相等，C错误；由题图可知q点离正电荷更近一些，N离子

在从〃向^运动过程中静电力做负功的值大于离子M在从〃向人运动过程中静电力做负功的

值，故M从〃到〃过程电势能的增量一定小于N从〃到“电势能的增量，D正确.

10.（多选）（2021.宁波中学展中）空间有一与纸面平行的匀强电场，纸面内的A、B、C三点位于

以。点为圆心、半径为10cm的圆周上，并且NAOC=90。，N8OC=120。，如图所示，现把

一个电荷量q=1X10-5C的正电荷从A点移到B点，静电力做功一1X10-4J；从8点移到C

点，静电力做功为3X10FJ.则该匀强电场的电场强度方向和大小是（）

A.电场强度大小为200V/m

B.电场强度大小为100V/m

C.电场强度方向垂直OA向右

D.电场强度方向垂直OC向下

答案AC

解析由题意有小8=崇=[1；；°■/V=-10V,U*=等徉V=30V,S'JUAC

=U,S+UBC=20V.若设"=0,则8A=20V,^»=30V,延长AO,与8C的连线交于BC

的三■等分点D（如图所示），。点的电势应为20V,则AD为电势为20V的等势线，故电场强

度方向垂直。4向右，大小为£=冬=含V/m=200V/m,故选A、C.

KU.1

11.（2021•海口中学期中）如图所示，匀强电场中有〃、氏c三点，在以它们为顶点的三角形中,

4=30。、Zc=90°,电场方向与三角形所在平面平行.已知。、力和c点的电势分别为（2一币）V、

（2+小）V和2V.则该三角形的外接圆上最低电势、最高电势分别为（）

（2一5）V、（2+小）V

0、4V

、（2+噌V

C.cqV

D.0、小V

答案B

解析如图所示，取（必的中点O,即为三角形的外接圆的圆心，且该点电势为2V,故Oc

为等势线，其垂线MN为巳场线，方向为"fN.外接圆上电势最低点为N点，电势最高点为

股点.设外接圆的半径为R,则Uop=Uoa=y[3V,UON=ER,UOP=EReos30°,则UON：UOP

=2：小，故UON=2V,N点电势为0,为最低电势点，同理可得M点电势为4V,为最高

电势点,故选B.

n尖子生选练

12.（2022.广州六中高二期末）存在匀强电场的空间中有一边长为2小cm的正四面体人BC7）,

如图所示.已知UAC=UBC=3V,电场方向平行于底面43C,贝lj（）

A.A、8两点处的电势不相等

B.电场强度大小为1V/ni

C.电场强度大小为100V/m

D.C、。两点的电势差Ue=2V

答案C

解析因为"C=UBC=3V,所以连线为等势面，过C点作底边的垂线，垂足为F,

则FC即为勺强电场的电场线，如图所示，

由几何知识知FC=3cm,则匀强电场电场强度

V/m=100V/m,

U・UJ

2

过。点作的垂线，垂足为G,K'jCG=TFC

J

2

所以UDC=UGC=]UAC=2V,

则C、。两点的电势差Ue=-