2024-2025学年广东省九年级（上）期中数学试卷+答案解析

2024・2025学年广东省肇庆中学九年级(上)期中数学试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

1.如图，尸为・4)外一点，P4、PB分别切•。于力、8两点，若尸」_6,则()/一-y

A.3

B.6

C.9

D.12

2.函数V二1的图象大致为()

7TV

c.\k

71V

3.下列条件中，能确定一个圆的是()

A.经过已知点加B.以点。为圆心，lOe/n长为半径

C.以1()57长为半径D.以点0为圆心

4.正方形绕其中心旋转一定的角度与原图形重合,则这个角至少为()

A.60B.15C.<MJD.1MJ

5.如图，CD是•。的直径，是弦,<7)1\8,垂足为M,则下列结论中错误的是C

()

A.LW-BM

B1?

D

C.0.1/-MD

DAI)Til)

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6.如图，四边形力5CD是；O的内接四边形,乙40C-1M，则…1故.的度数是（）

A.109

Bk)0

B.112

D.1!）

7.进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价.若设平均每次降价的百分率是x,

降价后的价格为y元，原价为。元，则y与x之间的函数关系式为（）

A.v=2试T-B.-1)C.〃-"(">)D.I；-a(l-a-)2

8.将二次函数"21--s.7化为“广-3的形式，正确的是（）

A.y=2(x4-4)--7

C.y=(j-2r-11D.1/=2(1+2产-15

9.如图，正三角形的内切圆半径为1,那么这个正三角形的边长为（）

A.2瓜

B.3/

C.1/

D.2

io.如图是二次函数V-+•十「的图象，它与无轴的一个交点为1-1川），其y,

对称轴为直线了-1.下列结论：①〃V”②而r>U;③加+b,（）；/

④iw+力+「>。.其中正确的结论是（）一（7%

A.①B.①②C.①③D.①②④

二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

11.抛物线,V--2J-l.r+3与〉轴的交点坐标是___.

12.的半径为5“〃，点。到直线48的距离为d,当,/=时，与相切.

13.已知“=2^-：”+1,当了=|时，函数值为.

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14.抛物线"-（i--.•「过1-1,小和g川j两点，那么该抛物线的对称轴是____.

15.如图，在平面直角坐标系xO,中，直线48经过点.16.山，/加.⑴，（）t

的半径为2（。为坐标原点），点P是直线44上的一动点，过点。作・。的一B

条切线产。，0为切点，则切线长尸。的最小值为——./

三,解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.（本小题7分）

如图，c。是•。的直径，点。是线段48的中点，.ir=8c

II）求证:IACDWLBCD；

L求证：4B是•。的切线.

17.（本小题7分）

已知一条抛物线的顶点坐标为I2.11,且过点11.-i.

小求此抛物线的解析式；

2直接写出当x取何范围的值时，二次函数的图象位于x轴上方.

18.（本小题7分）

如图，力打是•。的直径，弦〃于点£,若打上、，AI2.

1求线段OE的长；

L求弦C。的长.

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22.（本小题13分）

综合与实践

［问题情境］小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查

了附近4氏C,。，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下：

售价（元/盆）日销售量（盆）

A2050

B3030

C1854

D2246

E2638

［数据整理］

”请将以上调查数据按照售价从小到大的顺序重新整理，填写在卜表中:

售价（元/盆,118——30

日销售量（盆）

54——30

［模型建立］

2设口销售量为y,售价为x,根据数据的变化规律，估计x与y之间的函数关系，求解析式；

［拓广应用］

小I根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉中，售价定为多少时，每天能够获得最大利润？

23.（本小题14分！

综合与实践

素材：一张边长为4的正方形纸片

步骤1：对折正方形纸片44。。，使48与CO重合，得到折痕£凡把纸片展平.

步骤2：再一次折叠纸片，点力落在点G处，并使折痕经过点R得到折痕pE,点尸在边力4上，过点尸

作,45的垂线交射线EG于点〃.

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H

D

C

DD

⑴如题1图，若点，落在边CO上，直接写出乙1/2.的度数；

12］如题2图，设.1『二j,〃〃=。，试求y关于x的函数表达式;

；3l如题3图，•。为的外接圆，若•〃与边8c相切，求G”的长.

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答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：・・・/M、P8分别切•。于力、B两点,

PA-PB，

•/PA6,

PB=6，

故选：H.

由P/、P8分别切•。于力、8两点，根据切线长定理得『APB6,于是得到问题的答案.

此题重点考查切线长定理，证明IW。。是解题的关键.

2.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查二次函数的图象的性质：二次项系数”<“，开口方向向下；一次项系数人=1),对称轴为y轴:

常数项是抛物线与y轴的交点的纵坐标.

根据二次函数的开口方向，对称轴，和y轴的交点可得相关图象.

【解答】

解：.•二次项系数〃・I),

・•.开口方向向下，

•次项系数人一”，

，对称轴为y轴，

•.•常数项，1,

图象与y轴交于阳.1),

故选H.

3.【答案】B

【解析】解：•.•圆心确定，半径确定后才可以确定圆，

选项正确,

故选：B.

确定一个圆有两个重要因素，一是圆心，二是半径，据此可以得到答案.

本题考查了确定圆的条件，确定圆要首.先确定圆的圆心，然后也要确定半径.

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4.【答案】C

【解析1解：,•正方形的对角线把正方形分成四个全等的直角三角形，

・・顶点处的周角被分成四个相等的角，W，l)

,这个正方形绕着它的中心旋转9U的整数倍后，就能与它自身重合，

因此，这个角度至少是，川.

故选：C.

根据正方形的对角线把正方形分成四个全等的直角三角形与旋转对称图形的性质解答.

本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫

做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角.

5.【答案】C

【解析】解：(胃是•。的直径，是弦,CDl垂足为.“，

AVBM，4?-4/)-/W»

无法判断O”=Ml),

故选：C.

垂直于弦的直径平分弦及弦所对的两条弧，根据垂径定理即可这行判断，

本题考查垂径定理，熟练掌握垂径定理的内容是解题的关键.

6.【答案】A

【解析】解:由圆周角定理得：乙山「\(X'\-11271,

・四边形48CZ)是•。的内接四边形，

•・.」10C4—W1NJ,

L.XBC1NJ711119,

故选：A

根据圆周角定理求出,再根据圆内接四边形的性质求出MK

本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键.

7.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查了根据实际列函数关系式.需注意第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的.原价为

第一次降价后的价格是-门，第二次降价是在第•次降价后的价格的基础上降价的，为

ax(l-<r)=a(l—

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【解答】

解：由题意得第二次降价后的价格是，“I-rl；

则函数解析式是“一“I-C

故选I).

8.【答案】D

【解析】解："2.r2*S/7

=2(/+lr)-7

=2(/4--Lr+4)-8-7

2ITI2r15,

故选：D.

利用配方法杷二次函数的一般式化为顶点式.

本感考查的是二次函数的三种形式，正确运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键.

9.【答案】A

【解析】解：如图，•。是「的内切圆，•。切4B于F,切4C于E,切8c于。，连接力。，OB,

则,4。过C因为等边三角形的内切圆的圆心再角平分线上，也在底边的垂直平分线上、

,lAbr是等边三角形,

.•”是1〃「的内切圆，

..LOBC,■ar,

・（）切BC于。,

・•・"〃〃=or,

/OD1,

/.OB-2，

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2

在直角三角形中,由勾股定理得：BDxO/P0D\2-I1\，，

同理求出

即2V3

故选：A

画出图形，连接/1O,04,则4。过。，求出/()〃，：“，求出04,根据勾股定理求出8D,同法求出

CD,求出6c即可.

本题考查了等边三角形性质，勾股定理，含3()度角的直角三角形性质，三角形的内切圆与内心等知识点的

应用，关键是能根据题意求出08的长度，题目比较典型，是一道比较好的题目.

10.【答案】C

【解析】解：「二次函数1/”/-，〃+―(I的图象开口向下，

.•."<0,故①正确.

.•二次函数•自+，⑺的图象交y轴十原点上方，

,\c>0.

又.•抛物线的对称轴是直线，:1,

2a

：.b=-2a>0.

」.，小,(I,故②错误.

・「二次函数V+—一W的图象的对称轴是直线，:1,，加•。二”，故③正确.

又当了I时，Vnb4r”,h-2〃，

+r=().

又5a<0»

/.+c<0.

又「•hbr=l(ki2H•(w•「，

故④错误.

综上，正确的结论有①③.

故选：C.

依据题意，由二次函数图象和性质即可解决问题.

本题考查二次函数的图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，关键是掌握二次函数的性质.

11.【答案】(0,3)

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【解析】解：了=11时，y:：，，

所以，抛物线与），轴交点坐标是ID.3L

故答案为：

令.r=U,求出y的值，即可得到与j，轴的交点.

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，本题主要是与y轴交点的求法，需熟记.

12.【答案】5cm

【解析】解：.「•。的半径为5c阳，

♦.点0到直线48的距离为5c加时，直线48与的位置关系是相切，

故答案为：

设圆。的半径是R，点。到.直线44的距离是力当〃时，豆线与圆相切；当，，・二"时，直线与圆相交；

当,，〃时，直线与圆相离：根据以上结论判断即可.

本顾考杳了对育线与圆的位胃关系的理解和运用，育线与圆的位置关系有三种：当"〃时，直线与圆相

切；当“</?时，直线与圆相交；当“〉/?时，直线与圆相离.只要比较圆心到直线的距离d和圆的半径〃

的大小即可.

13.【答案】0

【解析】解：V二2M-："+1,

当J=I时，J7-2x12-3X1+1-0.

故答案为：（）,

根据函数值的求法，直接将।-1代入函数关系式得出即可.

此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是解题关键.

14.【答案】直线了=2

【解析】解：.点ILu和③山是抛物线“储一•与x轴的两个交点，

•.点Il.r和㈠川）关于对称轴对称，

.二对称轴为直线」-['2.

故答案是：直线/=2.

根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴经过两点I1J八和皿山的中点，于是可得到抛物线的对称轴为直

线-2.

本题考查了抛物线与x轴的交点，根据已知点的纵坐标相等得到关于对称轴对称是解题的关键.

15.【答案】yn

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【解析】解：连接OP、OQ,如图所示.

,1修0),

OU6,OA=(>.

•是•。的切线，

工0Q工PQ,

由勾股定理知：()1-OQ-PQ］，

..当/OLIB时,线段产。最短.

在R<I。〃中，()B()\6,

/.AIf-\().卜♦OH--、,(/♦<-'=(；、2>

Ao

PQ然小,y/O^OQ1一J(3v攵尸-2?■vTi.

故答案为：、ii.

首先连接OP、()0,根据切线的性质可知OQPQ,由勾股定理可得VQ一(〃八OQ-,所以当(〃L1〃

时，线段尸0最短；接下来在R11(〃，中，根据面积公式可求出。。的值，再结合勾股定理即可求得答案.

本题主要考查的是切线的性质及勾股定理的应用，解题的关键是确定PQ最短的情况.

16.【答案】证明：(1),・•点。是线段的中点,

,ADBD,

在“D与〃厂"中，

(AC-BC

<CDCD,

{AD=BD

(2),・,点。是线段”的中点，

」.CDLi。，

第12页，共19页

.(7)是•。的直径,

."I是•。的切线.

【解析】打由点。是线段44的中点，得到.1。H1),根据全等三角形的判定定理得到结论；

2根据等腰三角形的性质得到1〃，根据切线的判定定理得到结论.

本题考查了切线的判断，全等三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定定理，全等三角形

的判定定理是解题的关键.

17.【答案】解；(1厂「抛物线顶点坐标为I2.11,

•.可设该抛物线解析式为“川/-21-4-1.

.•抛物线过点ILi，

>»—uII»2''­»I>

解得：“=-1,

•・抛物线解析式为V-J,1；

:，由：11知，抛物线解析式为1/-.r-2：r'-1.

令，，0,则Ir♦2P♦1-0.

解得了2--3；

因为抛物线0=-匕+2『+1的开口向下，所以当-3<了V-1时，二次函数的图象位于x轴上方.

【解析】h根据抛物线顶点坐标可设该抛物线解析式为!/</：r-21-+1再将点II代入，求出。的值,

即得出该抛物线解析式：

(21令！/",解得：/2或一I,即可求解.

本题考查的是函数与坐标轴的交点，涉及到二次函数的基本性质，难度不大.

18.【答案】解：“：，•・•/〃.8,AE2,

：.AB10，

二.(M=5，

,OEOAAE523：

(2)vCDlXB,

,CD2CE,

第13页，共19页

在由△口"中，由勾股定理得：(/=I，

.・.CD=2CE=8.

【解析】1根据/〃x,W2,求出直径.1。HI,即可得半径。.15,即可得出答案;

:L根据勾股定理得出CE,根据垂径定理得“工一，即可求出答案.

本题考查了垂径定理和勾股定理，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键.

19.【答案】3解：如图，力。即为所求.

2证明：直线/与•。相切于点。，

/XDLl，

.\AD(K\

・,.S4c=NOCA

0.4-OC,

zcx'.u

:.£D\C

,平分/〃.14.

【解析】1根据垂线的作图方法作图即可.

2根据切线的性质可得(M'」，则可得.1〃,，则二(Ml再由.011'()('\,可得

-OK,即可知4c平分.

本题考查作图■基本作图、切线的性质、平行线的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识

解决问题.

20.【答案】解：⑴•.(/与・。相切,

WP90，

,\MCB\^BCP!KJ,

,.・0C-08，

­.UNF-.\IJ(\

第14页，共19页

•z£ABC=24BCP，

：.COCH2mL

・一〃CP・«r,即3/8('/'=MT，

.•.N"，Ji,

LOCB2.B(PGO：；

2)如图,连接。E,

“。为•。的直径，

,-.ZDBC=90\

•/E是弧8。的中点,

.•屈-漉’

/.£DCE-Z八

在山”/〃中，BF.3,

.・.CF=2BF=6.

【解析】11）由切线的性质可得NOC/>=90°，由（M'=C8可得B乙43a结合,「2ZBCP,

川得/“，+zBC『,ar,求出/Bcp,3（r,SB=MBCP工

，根据圆周角定理得到.f『，由七是弧8。的中点，得到而加，根据直角三角形的性质

即可得到结论.

本题考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键.

-9+364-r=0

21.【答案】解：1）把〃⑶0）,CS3）分别代入［-/得

解得｛M'

,抛物线解析式为“-.r'.2.r43；

1..•/--x2+2r+3=

•.抛物线的顶点尸的坐标为UI);

(2)当时，->+2,=0,

解得/11).r■3,

..1：l.lli,

设直线BC的解析式为'/”，J•”,

第15页，共19页

把/*：，«),r(c分别代入得＜°,

[n-J

解得(小二L

Iri=3

.・.直线AC的解析式为V：.r3,

当/IHt,yJ•32,

AD(1.2),

设Qd+3),

.的面积等于面积的2倍，

.・.；x(3+l)x|-f+3|=2x；xlx("2),

解得，2或，I,

•.Q点的坐标为(21)或(I.1).

【解析】11先利用待定系数法求抛物线解析式，然后杷一般式化为顶点式得到尸点坐标：

2先解方程r•3•3=I)得.111JH,再利用待定系数法求出直线8c的解析式为U=/-3,则可

确定〃(L2i,设+则利用三角形面积公式得到；x(3+l)x|-f+3|=2x；xlx(l-二，

然后解方程求出人从而得到。点的坐标.

本题考查了抛物线与X轴的交点：把求二次函数u“J「是常数，〃，山与X轴的交点坐标问

题转化为解关于X的一元二次方程.也考查了二次函数的性质和待定系数法求二次函数的解析式.

22.【答案】202226504638

【解析】解：根据销售单价从小到大对应排列得下表:

售价(元/盆)182022263()

口销售量(盆)5450463830

故答案为：20,50；22,46：26,故.

」观察表格可知销售量是售价的一次函数；

设销售量为y盆，售价为x元，y"*b,

把"入得:｛黑；：：；；：

解得：｛二』

u=-2x+90.

小由题意，设定价为加元，

第16页，共19页

.每天能够获得的利润lm-1»)2…则

=-2m2+120m-1350

=-2(m-3O『+45O.

•/-2<(),

，当,〃30时,每天能够获得的利润最大,最大值为450

•・售价定为30元时，每天能够获得最大利润，最大利润为450兀.

；11根据销伊单价从小到大对应排列即可；

,观察表格可知销售量是售价的一次函数，设销售量为y盆，售价为X元，y匕，6,把1卜.31,⑶二川

代人求出完整解析式即可；

⑶依据题意，设定价为/〃元，从而每天能够获得的利润-1成-2〃，一-2im«»)-•「山，进

而由二次函数的性质可以判断得解.

本题主要考查了一元二次方程的应用.从表格中获取信息、正确求出一次函数、列出一元二次方程求解是

解题的关键.

23.【答案】解：ll)/TP£加，理由如下:

PH四边形力8。。是正方形，

mZDAPH90，

四边形APHD是矩形,

：.APDH,

由折叠的性质得.IEDE,AEGE,IPG7\Z1-ZE6P-90.

/)//(:P，ND=./3/»・M，ZONE=/<；/>〃n«•■/(；〃〃，

/〃〃