2024人教版八年级数学上册 三角形全等的判定 课时进阶测试（三阶）含解析

14.2三角形全等的判定（三阶）-人教版八年级上册数学课时进阶测试

一、选择题

1.如图，在A/BC中，^ABC=60°,AO平分N84C交8c于点。，CE平分44cB交4B于点E,AD,

CE交于点尸.则下列说法正确的有（）

@^AFC=120°；②△4EF三△COG③若48=2AE,则CEJ.A8；@CD+AE=AC.

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.如图，在△48C中，AB=AC,^BAC=a,。为三角形内一点，连接CD,BZ）,点E为线段80的

中点.若4B4E,贝叱。4E的度数为（）

A.180。-aB.a-90°C.刍D.90。一号

3.数学课上，老师给出了如下问题：

如图1,zF=ZC=90°,E是8c的中点，DE平分440C,求证：ABCD=AD.

小明是这样想的：要证明48+。0=40,只需要在40上找到一点几再试图说明力尸=48,

。尸=CO即可.如图2,经过思考，小明给出了以下3种辅助线的添加方式.

①过点E作EF1力。交AD于点F；

②作EF=EC,交于点F：

③在4。上取一点F,使得DF=OC,连接EF；

上述3种辅助线的添加方式，可以证明ZB+C。=4D”的有（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

4.已知力。是匚ABC中8c边.上的中线，46=10,AC=6,则4。的取值范围是（）

A.4</4£）<16B.2V4DC8C.4<AD<IOD.S<AD<16

5.如图所示，在匚48c中，48=8,点M是8c的中点，月O是匚比1C的平分线，作A1/U4。交力C

于E已知3=10,则力。的长为（）

6.如图，AD//BC,点E是线段AB的中点，DE平分4/1OC,BC=AD+2,CD=7,!）IWC2-AD2

的值等于（）

A.14B.9C.8D.5

7.如图，过边长为】的等边匚ABC的边AB上一点P,作PEDAC于点E,Q为BC延长线上一点,

当PA=CQ时，连结PQ交AC边于D,则DE的长为（）

D

BQ

A-11B-I1C.|2D.|2

8.如图，在［ABC中，□ABC=45°,F是高AD和BE的交点，CD=4,则线段DF的长为

)

二、填空题

9.在中，CEE,AD1BC^D,CE交力。于F,EM平分4BEC交AO延长线于M,连接

BM,CM.若4DFC+例=180。，5BE=2AE,ShAEF=Sf贝IJS^MC=.

10.如图所示，AC平分N840,々8+40=180。，CE_L40于点E,AD=13cm,AB=7cm,那么

0E的长度为cm.

11.如图，C4_LBC,垂足为C,AC=2cm,8c=6cm,射线BM1BQ,垂足为B,动点P从C点出

发以lcm/s的速度沿射线CQ运动，点N为射线8M上一动点，满足PN=48,随着P点运动而运动，

当点P运动秒时，△8C4与点P、N、8为顶点的三角形全等（时间不等于0）.

12.在DABC中，AC=5,中线AD=7,则AB边的取值范围是.

13.如图，RBABC中，CC=90o.E为AB中点，D为AC上一点，BF匚AC交DE的延长线于点

F,AC=6,BC=5.则四边形FBCD周长的最小值是.

14.如图，在四边形力BCD中：=40,4840=140。，4B1CB于点B,4。1CD于点0,E、F

分别是CB、C0上的点，且々E4F=70。，下列说法：®DF=BE.@^ADF=^ABE.③R4平分

乙DFE；④AE平分上凡48；⑤BE+DF=EF；®CF+CE>FD+EB.其中正确的是：

（填写正确的序号）

三、解答题

15.如图，在LABC中，匚ACB=90。，AC=BC,若过点C在□ABC内作直线MN,AMUMN于点

M.BN0MN于点N,则AM、BN与MN之间有什么关系？请说明理由.

16.如图1,C4_LAB于点14B于点B,P,Q分别为线段AB,BD上任意一点.

（1）如图1,若乙CPQ=90\CP=PQ,求AC,BQ,AB之间的数量关系；

（2）如图2,“乙4148,。8148”改为“44=48=。（戊为锐角）”.若/67）。=-CP=P0,判断

⑴中的数量关系是否会改变?并说明理由.

答案解析部分

1.【答案】C

【解析】【解答】解：①在ZiABC中，乙ABC=60。,

：.LACB4-/.CAB=120°,

平分4BAC,CE平分4ACB,

，乙尸CA=劣/ACB,Z.FAC=^LCAB,

J.LAFC=180°-^FCA+Z-FAC}

=180°-1{/-ACB+4CAB)=120。，

乙

故①正确，符合题意；

②若三△CDF,

：.AF=CF,

：.LCAF=^ACF,

：.LACB=皿8,

而由已知条件无法证明乙C4F=NAC”,

故②错误，不符合题意；

③如图，延长CE至G,使GE=CE,连接BG,

V.4F=2AE,

：.AE=BE,

在和△BGE中,

AE=BE

Z.AEC=乙BEG,

GE=GE

：.LACE=^BGE(SAS),

：.LACE=4G

•・・CE为角平分线,

：.LACE=乙BCE,

J.LBCE=乙G,

:,BC=BG,

•；CE=GE,

：.CELABf

故③正确，符合题意；

④如图，作/4R7的平分线交4。于点G,

由①得/AFC=120°,

：-LAFG=Z.CFG=^z.AFC=60%/-AFE=zCFD=60°,

：,LAFG=乙CFG=Z.AFE=乙CFD=60°,

'•'LEAF=/-GAF,乙DCF=LGCF,

A△AEFAGF(ASA),△CDFCGF(ASA),

.；4E=4G,CD=CG,

：,CD+AE=CG+AG=AC,

故④正确，符合题意；

故答案为：C.

【分析】首先根据三角形内角利求得〃C8+448=120。，再根据角平分线的定义求得gQAC8+

4C4B)=60。，进一步根据三角形内角和定理，即可求得乙4%=120。；即可得出①正确；假定△

AEF=^CDF,即可得出44cB=根据条件无法证明44cB=4。4从故②不正确；如图，

延长CE至G,使GE=CE,连接BG,可根据SAS证明△4CE三△BGE,从而得出44cf=4G,进一

步得出=从而得出ABCG是等腰三角形，再根据EG=EC,即可得出CE148,故而得出

③正确；如图，作/4FC的平分线交4c于点G,可证明△?!£/三ZiAG八△CO打三△CG凡从而得出

AE=AG,CD=CG,进而得出CO+=CG+4G=4C,故而得出④正确，综上即可得出说法正

确的由3个。

2.【答案】C

【解析】【解答】解：如下图，延长4E至F,使得FE=AE,

丁点E为线段BD的中点，

:.BE=DE,

在ABEF和ADEA中,

BE=DE

Z.BEF=Z.DEA,

FE=AE

A△BEF三△OEA(SAS),

ARF=DA.ZF=ADAE,

在AF上取一点G,使得HG=CD,

在△力BG和△C40中，

AB=CA

Z.BAE=Z-ACD>

AG=CD

A△ABG=△CADAS),

••・乙/BG=NCTIO,BG=AD,

：.BF=BG,

：.LF=Z.BGF=匕DAE,

设乙B4E=Z-ACD-x,4DAE=z_F=乙BGF=y,

,：LBAC=a,

：.LDAE=/-BAC-匕BAE-/-CAD,

即丫=a-x—乙CA。，

'：LABG=^BGF-^.BAE,即/A8G=y-x,

乂・・Z8G=乙CAD,

/.LCAD-Z.ABG=y-x»

Ay=a—x—(y—x)=a—y,

Ay=即z_£ME=*

故答案为：C

【分析】延长AE至F,使得FE=AE,根据全等三角形判定定理可得△BEF三△£）应4,则BF=ZM,

NF=WAE；在4尸上取一点G,使得4G=CD,根据全等三角形判定定理可得△ABG三△C4D,则

乙ABG=LCAD,BG=ADf进而可得BF=BG,则/尸=/EGF=/ZX4E,15.ABAE=^ACD=%,

/.DAE=zF=Z,BGF=y,^Z-DAE=^BAC-^BAE-Z.CADVl&^ABG=^BGF-/-BAE,可得

y=a-x-(y-x')=a-y,化简即可求出答案.

3.【答案】B

【解析】【解答】解：①如图1,过作ETJLA。，垂足为点F,

RUDFE=(C,

•••DE平分4A0C,

•••LFDE=Z.CDE,

在40CE和中，

LC=乙DFE

Z.CDE=乙FDE,

DE=DE

：.ADEF=ADCE(AAS)；

：.CE=EF,DC=DF,乙CED=(FED,

vE是8c的中点，

CE=EB,

:•EF=EB,

在R£2M8E和RM4尸E中，

(BE=FE

lAE=AEf

•••RtAAFE=RtAABE(HL)；

•••AF=AB,

AD=AF-VDF=AB+CD.

②如图2,作£T=EC,交40于点F；

•:EF=EC,DE=DE,乙FDE=LCDE,

・•・根据SS4不能证明NDEF=ADCE,

.••这种辅助线的添加方式不能证明结论40=AB+CD.

③如图3,在4。上取一点F,使得。/二DC,连接EF,

在40CE和40/E中，

DC=DF

Z.CDE=乙FDE,

DE=DE

ADEF=4DCE(S4S)；

CE=EF,乙ECD=乙EFD=90°,

••・E是8C的中点，

•••CE=EB,

EF=EB,

在RS48E和4尸E中，

(BE=FE

:.RtAAFE=RtAABE(HL)；

AF=AB,

AD=AF+DF=AB+CD.

故答案为：B.

【分析】先利用“AAS”证出UDEFimDCE,再利用全等三角形的性质可得CE=EF,DC=DF,

□CED=：FED,再利用“HL”证出RtCAFERtCABE,可得AF=AB,再在AD上取一点F,便

得DF=DC,连接EF,利用“SAS”证明［DEFLICIDCE,可得CE=EF,LECD=JEFD=90°,再逐项

分析判断即可.

4.【答案】B

【解析】【解答】解：如下图所示：延长AD至点E,使。E=AO,因为力。是LMBC中8。边上的中

AD=DE

线，所以80=CD,在A4DB和ACDE中AADB=乙CDE，则△408三△CDE(SAS),则42=CE=

BD=CD

10,在AACE中CE-4c〈4C+CE,即4VAE<16,又=故2<AOV8.

【分析】本题主要考查了倍长中线法、三角形全等的判定及性质、三角形三边的关系.

延长AD至点E,使DE=AD,结合已知条件可证得A/10B三ACDE,得到4B=CE=101再根据三

角形三边的关系得到：4<AE<16,进而得到：2<力。<8..

5.【答案】A

【解析】【解答】解：延长FM到点N使MN=FM,连接BN,延长MF交BA的延长线于点E,如

图，

BM=CM,

DBMN=CCMF,MN=FM,

EBMNQJCMF(SAS),

・••匚MFC=E]N,BN=CF=10,

AD是匚BAC的平分线，

JLBAD=aCAD,

MFiAD,

EBAD=nE,□CAD=DAFE,

匚E=匚AFE,

・•・EAEF为等腰三角形，

・•・AE=AF,

•・•LMFC=CAFE,

JEN=DE,

・•・BEN为等腰三角形，

I.BN=BE,

BN=10,BE=AB+AE=AB+AF,AB=8,

JAF=2,

JAC=AF+FC=12.

故答案为：A.

【分析】依据SAS判定「BMN1PCMF推出[MFC=IZN,BN=CF=10,根据角平分线的定义和平行

线的性质得IAEF和BEN为等腰三角形，从而得至IjAF=AE=CF-AB,即可求得.

6.【答案】A

【解析】【解答】延长DE,CB交于点F

-AD//BC

/.Z.DAE=乙FBE

・・•点E是线段AB的中点,

•••AE=BE

Z.DAE=乙FBE

在△力DEBFE中，AE=BE

Z.AED=乙BEF

.*.△ADE=△BFE(ASA)

:.匕ADE=乙BFE,AD=BF

〈DE平分ZTIDC

•••Z.ADE=CDE

乙BFE=CDE

CD=CF

BC+BF=BC+AD=7

•••BC=AD+2

解得8C=£,/ID=1

9-(摄2=14

BC2-AD2=(2)2

故答案为：A.

【分析】延长DE,CB交于点F,通过ASA证明,则有4AOE=乙8尸瓦AD=

BF,然后利用角平分线的定义得出乙BFE=CDE,从而有CD=CF,则通过8C+40=7和

BC=AD+2解出BC,AD的值，从而答案可解.

7.【答案】A

【解析】【解答】过P作PFDBC交AC于F.

VPFQBC,E1ABC是等边三角形，

.,.□PFD=LQCD,匚APF是等边三角形,

，AP=PF=AF,

VPEDAC,

，AE=EF,

VAP=PF,AP=CQ,

・・・PF=CQ.

•・•在匚PFD和EIQCD中,

乙PFD=“C0

iPDF=“DC,

(PF=CQ

/.□PFDJEQCD(AAS),

・・・FD=CD,

VAE=EF,

AEF+FD=AE+CD,

AAE+CD=DE=AAC,

VAC=1,

・・.DE=1.

答案为：A.

【分析】由PA=CQ,可过P作PF1BC交AC于F.构造X型全等，即□PFDDFIQCD,得出

FD=CD,进而得出AE+CD=DE=1/1C=O.5.

8.【答案】B

【解析】【解答】VADEBC,BEDAC,

/.□ADB=LAEB=DADC-90°,

/.□EAF+QAFE=90°,DFBD+Z1BFD=9O0,

V3AFE=nBFD,

.-.□EAF=QFBD,

,.,□ADB=90°,E1ABO45。，

.•.□BAD=45°=DABC,

・・・AD=BD,

在DADCfUDBDF中

Z.CAD=乙DBF

AD=BD,

(Z.FDB=乙ADC

.,.□ADCDDBDF,

，DF=CD=4,

故答案为：B

【分析】根据等角的余角相等由［AFE=DBFD,匚EAF+口AFE=90。，CFBD+DBFD=90°,得出

□EAF=LFBD,根据三角形的内角和得出匚BAD=45o=LABC,根据等角对等边得出AD=BD,然后

利用ASA判断出「ADC「］「BDF,根据全等三角形的对应边相等即可得出结论DF=CD=4,

9.【答案】等

10.【答案】3

【解析】【解答】证明：如图，过C作CF148的延长线于点F,

•.•4C平分J.ZLFAC=AF.AC,

VCE1AD,CF1AB,AzFFC=Z.CED=90°,

(/.FAC=/.EAC

在AA/C和△AEC中，2CF4,

(AC=AC

：.LAFC^^AEC(AAS)t：.AF=AE,CF=CE,

'：LABC+々D=180°,工乙FBC=乙EDC,

.•.△F5C=AEDC(AAS),：.BF=ED,

：.AB+AD=AE+ED+AF-BF=2AE,

*/.4D=13cm,AB=7cm,/.13+7=2AE,.\AE=10cm,

:,DE=40-AE=13-10=3cm.

故答案为：3.

【分析】过C作CFJ.A8,证得△A/C三△AEC,得到CF=CE,再由乙ABC+40=180。，根据全

等的性质，得到BF=ED,进而得到答案.

11.【答案】4或8或12

【解析】【解答】解：①当"在线段BC上，力C=BN=2时，•・•AB=PN,EACB=nPBN=90°,

：,LACB三ANBP(HL),

则BC=PB=6cm,

/.CP=0cm,

即时间为0秒，不合题意舍去；

②当P在线段8c上，AC=8P=2lH,VAB=PN,□ACB=DPBN=90°,

：.^ACB"PBN(HL),

：.CP=BC-PB=6-2=4cm,

，点P的运动时间为4+1=4秒；

③当P在射线BQ上，AC=8尸=2时，VAB=PN,□ACB=DPBN=90°,

：.c^ACB=△PBN,

，匚P=BC+BP=6+2=8cm,

・••点P的运动时间为8+1=8秒；

④当P在射线8Q上，AC=NB=2时，VAB=PN,□ACB=DPBN=90°,

：.^ACB任NBP,

则BP=CB=6cm,

：,CP=CB+BP=6+6=12cm,

，点P的运动时间为12+1=12秒；

综上，当点P运动4或8或12秒时，△BCA与点P、N、8为顶点的三角形全等，

故答案为：4或8或12.

【分析】本题分两种情况：①当P在线段8c上，②当P在射线80上，再分别分4C=BP=2和

4C=8N=2两种情况进行讨论，根据全等三角形边的性质计算出PB的长，继而可得CP的长.

12.【答案】9<AB<19

【解析】【解答】解：延长AD到E,使DE=AD,连接BE.

■

E

在Z1ADCfUDEDB中，

VAD=DE,rADC=DBDE,CD=BD,

AZADCZJDEDB(SAS),

・・・AC=BE(全等三角形的对应功相等).

VAC=5,AD-7,

・・・BE=5,AE=14.

在」ABE中，AE-BEVABVAE+BE,

・•・AB边的取值范围是：9<AB<19.

故答案为9VABV19.

【分析】延长AD至UE,彳吏DE=AD,连接BE,利用SAS证明匚ADCZJDEDB,则可得出AC=BE,

由于AE和BE的长已知，根据三角形三边的关系即可求出AB的范围.

13.【答案】16

【解析】【解答】解：・・・BF匚AC,

AJEBF=QEAD,

在BFE和匚ADE中，

NEBF=Z-EAD

BE=AE,

乙BEF=Z.AED

.'.□BFEDIZADE(ASA),

・・・BF=AD,

.•・BF+FD+CD+BC=AD+CD+FD+BC=AC+BC+FD=11+FD,

・••当FDI1AC时，FD最短，此时FD=BC=5,

・•・四边形FBCD周长的最小值为5+11=16,

故答案为：16.

【分析】先利用“ASA”证出口BFEZKADE,再利用全等三角形的性质可得BF=AD,再利用线段的

和差及等量代换可得BF+CD=AD+CD=AC=6,从而可得FD最小即可，最后利用垂线段最短求

解即可.

14.【答案】③⑤⑥

15.【答案】解：MN=BN-AM,

理由如下：VAMtMN,BNDMN,

AJAMC=DCNB=90°,

•.,□ACB=90°,

MAC+QACM=90°,匚NCB+DACM=90°,

.••二MAC=DNCB,

在二AMC和DCNB中，

ZA