2025-2026学年福建省福州某中学高三（上）10月月考数学试卷（含解析）

2025-2026学年福建省福州外国语学校高三（上）10月月考

数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题绐出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合4={-1,1,2,3},B={x\lnx<1},则An8=（）

A.{1}B.{-1,1}C.{1,2}D.{-1,1,2）

2.已知W是复数z的共扼复数，l（i为虚数单位），贝Uz的虚剖是（）

A.iB.-iC.1D.-1

3.已知平面向量范石是两个单位向量，方在石上的投影向量为梦，则五.0+石）=（）

A.1B.1C.<2D.73

4.已知85（75。+］）=等，则孙（30。-的的值为（）

A.1B.C.|D.

5.已知函数/（无）的定义域为R,/W-1为奇函数，f（x+2）为偶函数，则f（l）+/（2）+…+/（16）=（）

A.0B.16C.22D.32

6.漳州市龙海区港尾镇和浮宫镇盛产杨梅，杨梅果味酸甜适中，有开胃健脾、生津止渴、消暑除烦，抑菌

止泻，降血脂血压等功效.杨梅的保鲜时间很短，当地技术人员采用某种保鲜方法后可使得杨梅采摘之后

的时间t（单位：小时）与失去的新鲜度y满足函数关系y=［碱唬°&£<10,其中m,Q为常数.已知采用

Vmac,10<t<100

该种保鲜方法后，杨梅采摘10小时之后失去10%的新鲜度，采摘40小时之后失去20%的新鲜度.如今我

国物流行业蓬勃发展，为了保证港尾镇的杨梅运输到北方某城市销售时的新鲜度不低于85%,则物流时间

（从杨梅采摘的时刻算起）不能超过（）（参考数据：log23aL6）

A.20小时B.25小时C.28小时D.35小时

7.在1r九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面

为矩形，一恻棱垂直于底面的四楂锥，鳖睛为四个面都为直角三第形的三棱锥,

如图,在堑堵ABC-Ai/Ci中,AC1BCt44i=2,鳖膈/一人也道的外接

球的体积为学小则阳马B-4CC14体积的最大值为（）

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8.正实数a,b,c满足Q+2一。=2,b+3b=3,c+log4c=4,则实数Q,b,c之间的大小关系为()

A.b<a<cB.a<b<cC.a<c<bD.b<c<a

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知在Q-：)"的展开式中，各项的二项式系数之和为64,则下列说法正确的有()

A.n=6B,只有第3项的二项式系数最大

C.H4的系数为-12D.各项系数之和为-1

10.已知等差数列｛%｝的前n项和为当,若535>等S36<0,则下列结论正确的是()

A.数列｛%｝是递增数列B.a18>0

C.当S”取得最大值时，n=18D.|a18|>|a19|

11.在正方体/8。。一4/。山1中，P为I)%的中点,M是底面/BCD上一点，则()

A.M为AC中点时，PM1ACX

B.M为中点时，PM〃平面48cl

C.满足2PM=CDD］的点M在圆上

D.满足直线PM与直线■。成30。凫的点M在双曲线上

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.曲线y=(x+l)ln(l+外在％=0处的切线方程为_____.

22

13.已知双曲线C：器一方=1(Q>0/>0),以原点。为圆心、C的焦距为半径的圆交x轴于4,B两点，P

是圆。与C的一个公共点.若［P川=>/l\PB\f则。的离心率为.

14.函数/(x)=sina)x(co>0),将/'(%)的图象上所有的点纵坐标保持不变横坐标变为原来的3倍，然后将所

得图象向左平移］个单位长度得到函数9(%),则化简后g(x)=_____,若函数九(%)=/XgQ))-1在(0,2切

内伶有4个零点，则3的取值范围是______.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

若数列｛%｝的前几项和为S“，且%>0,嫌一2s“+%=0.

(1)求数列｛即｝的通项公式；

(2)若以=第数列也｝的前几项和为7\,证明：Tn<l，

16.(本小题15分)

己知a,b,c分别为AABC三个内角A,8,C的对边,向量沅=(a/+c)1=(y［3sinC+cosC,l),mn=2(d+

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c)・

⑴求4

(2)若c=2C,两=2就，4M=2.求△ABC的面积.

17.(本小题15分)

如图，在直三棱柱ABC-AiBiG中,点。在BC上，AD1DCr.

(1)证明:力。1平面BB]gC；

(2)若AB=AC=2y[2,AB1AC,二面角C-4cl-。的大小为半

躁与平面ADg所成角的正弦值；

②点E在侧面45当月1内，且三棱锥E-4DC1的体枳为£求£的轨迹的长度.

18.(本小题17分)

已知a为常数，函数/(%)=x，nx+ad.

(I)当Q=1时，求/•(%)在％=1处切线方程；

(II)讨论函数/(%)的零点个数；

(III)若函数/(%)有两个极值与，%2(X1<%2)，求证一gV/(%1)V0.

19.(本小题17分)

我们把下面的定义称为双曲线的第二定义：平面内到定点F(c,0)的距离与到定直线&x=^(c>a>0)的

距离之比为常数(的点的软迹叫做双曲线，其方程为圣一3=l(a>0,b>0),其中b2=c2—次,此时/叫做

该双曲线的右准线.已知双曲线C：5一哙=1(。>0/>0)的左、右焦点分别为尸](一2,0),&(2,0)，直线2：

%=1是C的右准线.

(1)求C的方程以及C的离心率：

(2)设I与工轴的交点为M,过点尸2的直线与C的右支相交于4B两点，

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答案解析

1.【答案】C

【解析】解:集合4={-1,1,2,3},B={x\lnx<1}={x|0<x<e],

所以4nB={1,2}.

故选：C.

由对数函数单调性得到8={x|0<x<e）,即可求解.

本题主要考查交集及其运算，属于基础题.

2.【答案】C

【解析】解：由，i=1,

得2=±=^7'=一八则2=八故Z的虚部为1.

故选：C.

由复数除法运算及共规复数概念即可求解.

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.

3.【答案】B

【解析】解：因为平面向量五，石是两个单位向量，々在不上的投影向量为3瓦

所以黯中

所以五•方=

所以五-(a+b)=a2+a-b=1+1

4.【答案】A

【解析】解：因为85（75。+?）=?,

所以cos(150°+a)=2cos2(75。+5)-1=2x(^)2-1=-1,

所以cos(30°-a)=cos[180°-(150°+a)]=—cos(150°+a)=—(-i)=

JJ

故选：A.

利用二倍角公式，可得8$（150。+。）的值，再由诱导公式，得解.

本题考查三角函数的求值，熟练掌握二倍角公式，诱导公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力,

属干基础题.

5.【答案】B

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【解析】解：因为/。)一1为奇函数，所以f(O)=l,

且/(乃的图象关于点(0,1)中心对称，

即/(%)+/(一乃=2.

因为f(x+2)为偶函数，

所以/(%+2)=f(2-x),WJ/(x+4)=/(-x),

所以f(%)+f(x+4)=2,f(x+4)+f(x4-8)=2,

所以f(%)=f(x+8),故/(x)的周期为8.

因为f(l)+f(5)=2,f(2)+f(6)=2,f(3)+f(7)=2,f(4)+f(8)=2,所以/(I)+/(2)+…+/(16)=

2[/(l)+/(2)+-+/(8)]=16.

故选:B.

根据函数的对称性，周期性等相关知识可解.

本顾考杳函数的对称性与周期性，属于某础撅.

6.【答案】C

【解析】解：由题意可知

(20%=maw

:.a30=2即a=230,m=马，

由题意可知当tv10时，失去的新鲜度小于百分之十，没有超过百分之十五，

3/31

当t之10时,则有王<15%即养(2前y<1S%.

(24)Y部，

t33L

二30-2+log?"?

解得t<28.

故选：c.

利用题中的条件列出等式，解出参数m,Q的值，进而就可以解出了.

本题考查了函数模型的实际应用，指数和对数不等式的解法，属于基础题.

7.【答案】B

【解析】解：设=BC=y,三棱锥当-468的外接球半径为r,

则三棱锥/-4gB的外接球的体积为：

Q8>/~2nrx

—47rrJ=---,r=v2,

v%2+y24-4=(2r)2=8,

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%24-y2=4.

又因马B-4CG4的体积为：

V[X52124

B-ACC1Ai=3矩形4CQ4iXBC=jXy<-（X+'?）=§,

当且仅当％='=，1时，等号成立，

.邛E马8-4CG4体积的最大值为2

故选:B.

设<C=x,BC=y,B]-4C$的外接球半径为r,根据鳖膝Bi—A[C]B的外接球的体积即可求得r,再根

据为-AC*的外接球的半径与三棱柱力BC-48]Ci的外接球的半径相同可得到％,y的关系式，再根据四

棱锥的体积公式，基本不等式，即可求解.

本题考查四棱锥的体积的最值的求解，三棱锥的外接球问题，基本不等式的应用，化归转化思想，属中档

题.

8.【答案】A

【解析】解：c+log4c=4=>log4c=4-c,

即c为函数y=log/与y=4-x的图象交点的横坐标；

b+3b=3=1+3、=4-6,

即〃为函数y=1+3、与y=4-式的图象交点的横坐标；

a+2-a=2=2+击=4-a,

即G为函数y=2+费与y=4-工的图象交点的横坐标；

在同一坐标系中画出图象，可得bvavc.

故选：A.

说明c为函数y=log4”与V=4-K的图象交点的横坐标，b为函数y=1+3"与y=4-x的图象交点的横坐

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标，a为函数y=2+*与y=4的图象交点的横坐标，利用数形结合转化求解即可.

本题考查函数与方程的应用，数形结合思想方法的应用，考查函数的零点，转化思想的应用，是中档题.

9.【答案】AC

【解析】解：对于4由题意可得2"=64,解得〃=6,故力正魂；

对于8,展开式共有7项，故只有第4项的二项式系数最大，故8错误；

对干C,展开式通项为。+1=《--/（—：）「=（一2）/c"6-21r=o,i,…，6,

令6-2r=4,可得r=L则公的系数为（-2）1以=一12,故C正确；

对于D,令x=l,可得各项系数之和为（1一彳）6=1,故。错误.

故选：AC.

根据二项式系数和得几=6,结合二项式系数的性质及展开式通项公式判断人8、C,最后应用赋值法求各

项系数方和判断。.

本寇主要考查二项式定理的应用，属广基础题.

10.【答案】BC

【解析】解:等差数列｛%｝的前九项和为Sn,

S35>°，S36<°，

y（«i+Q35）=35al8>0

（学（。1+。36）=18（。18+。19）《。

a18>0,a18+a19<0,故4正确；

・•・数列｛%｝是递减数列,故4错误;

当S”取得最大值时，n=18,故C正确；

|a18|<|ai9b故。错误•

故选：BC.

11.【答案】BCD

【解析】解:以。为坐标原点，以DC,所在的直线分别为％,y,z轴，建立间直角坐标系，

设正方体棱长为2,如图，因为P为0小的中点，

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Z

则P(O,O,1),4(2,0,0),C(0,2,0),G(0,2,2),

对4项，M为AC中点，则

PM=(1,1,-1),何=(-2,2,2)，PM-ACl=-2+2-2=-2^0.

PM与4g不垂直，故力错误.

对B项，M为4D中点时,PM“ADi，因为力B〃氏Q,48=。心,

则四边形4BCW1为平行四边形，则ADJ/8C],:.PM〃BC[,

因为8Gu平面48C],所以PM//平面AiBCi，故8正确；

对C,令M(无,y,0),PM=弓0。1=苧x2=

••・”在以。为圆心，J至为半径的圆上，故C正确；

对。，丽=(3,-1),而=(2,0,0)，

学=cos30°=|cos<'PM,~AD>\=-)--------

LJ"+y2+ix2'

化简得《一'2=1，其为双曲线方程，故。正确.

故选：BCD.

建立合适的空间直角坐标系，写出相关向量，对4计算丽•宿即可判断；对8,利用线面平行的判定定理

即可判断；对C,计算得则得到其轨迹；对。，根据线线夹角公式得到关于％,y的方程，化简即

可.

本题考查空间向量的综合应用，属「•中档题.

12.【答案】x-y=0

【解析】解:由已知/'(%)=(%+l)ln(l+x),

从而f'(%)=ln(l+x)+1»

f(0)=0,/z(0)=Znl+1=1,

曲线y=f(x)在x=0处的切线方程为y=x,

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故答案为：x-y=O.

求出函数的导数，计算/IO),/''(()),求出切线方程即可；

本题考查了切线方程问题，考查函数的导数的应用，是一道常规题.

门+/7

13.【答案】

-2-

【解析】解：由题意可得，圆。的方程为%2+'2=牝2,与入轴的交点分别为(-2C,0),(2C,0),

则|A8|=4c,△APB为直角三角形，又|P川=，^|P8],

•••tanzABP=俄=门，即=60°,连接。P,△OBP为等边三

角形，

过P作PQ1AB,可得Q为。8的中点，»x

v\0B\=2c,A\0Q\=c,\PQ\=因此P的坐标为(C,CC)，

将P点坐标代入双曲线方程，可需一箸二1,即告一弟7=1，

化简得：--5/+1=0,解得/=省亘

又e>l,得e=§£Z.

故答案为：粤2.

由题意画出图形，求解三角形可得P的坐标，代入双曲线方程，整理即可求得双曲线C的离心率.

本题考查圆与圆锥曲线的综合，考查双曲线的性质，考查运算求解能力，是中档题.

14.【答案】COSX(y,y]

【解析】解：依题意有，函数f(x)=sina)x(a)>0),

将/(%)的图象上所有的点纵坐标保持不变横坐标变为原来的e倍，得到函数y=sinx,

再将所得图象向左平移5个单位长度得到函数g(x),则g(x)=sin(x+与)=cosx；

所以M%)=sin(wcosx)—1,

因为h(x)=f(g(x))-1在(0,2。内恰有4个零点，故/(cosx)-1=0,

即sin(wcosx)=1在(0,2加)内恰有4个零点，

则scosx=3+2kjr,(kGZ)在(0,2立)内恰有4个零点，

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由数形结合可得，当k=0时3cos无=物两根，当k=-1时3C0SX=-手也有两根,

<_空

故12,即萼<34停放3的取值范围是咨，当.

2222

故答案为：cos%；(:用].

根据三角函数图像变换，确定g(x)的解析式，再利用整体思想求解困数零点问题.

此题考查了三角函数的图象性质，考查了函数的零点，考查了整体思想，属于难题.

15.【答案】解:(1)由成一2s北+%=0,(D

取”=1,得居—%=0,

VQ1>0,二Qi=1,

当ZIN2时，有力7—2Sn_i+%.i=0，②

⑦-(即+%-1)(即一。?2-1-1)=0，

又分>0,,,,dn-Qfj-i=1，

即数列｛%｝是以1为首项，以1为公差的等差数列，

则％=14-1x(n-1)=n：

证明：(2)由(1)知即=九，且勾=爱=嬴

则%=：+|+|+•••++晶

1T_1,2n-1n

50=静+3+…+苗+科’

可得白丁--+—++-___L_式1_~母____!!——Iri!_)

J何31n一3十32十…十3"3"1一3"]-2H3“)3"+I'

T_3/I1、1n_32n+31,3

•F=彳(1—，3^<4-

【解析】(1)由已知数列递推式可得数列｛%｝是以1为首项，以1为公差的等差数列,由此可得数列的通项

公式；

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(2)直接利用错位相减法求和.

本题考查数列递推式，考查等差数列的通项公式，训练了错位相减法求和，是中档题.

16.【答案】解：(1)根据访=(a,力+c),n=(<3sinC+cosC,l),可得沆・济=Q(CS勿C+cosC)+b+c,

结合题意沅-n=2(/?+c),化简得VSasinC+acosC=b+c,

根据正弦定理得，5sizMsinC+sinAcosC=sinB+sinC,

因为△ABC中，sinB=sin(/l+C)=sinAcosC+cosAsinC,

所以，1st7MsiTIC+sinAcosC=sinAcosC+cosAsinC+sinC,整理得，=sinC(cosA+1).

结合△ABC中，sinC0,化简得，Jsi/M-cos/l=1,BP2sin(A—^)=1,

在△ABC中，力一*€(一*,?),所以=34=看

ooooo3

(2)由丽=2就，可得而一袍=2(刀一丽)，化简得祠=;而+,近，

JO

所以|而7|2=(.而十,前)2=+^AB-AC,

因为48=c=2/3,/IC=b,AM=2,

所以4=J(2O2•乃cos9整理得反+信力-6=0,解得b=C(舍负).

所以SDIBC=^bcsinA=誓・

【解析】(1)根据平面向量数量积的坐标表示，算出Cas》C+acosC=b+c,结合正弦定理化为角的关系

式，然后利用两角和的正弦公式与辅助角公式算出答案；

(2)利用平面向量的线性运算法则，可得而？=：而+,配，结合题意可知|祠产=4,根据平面向量数量积

的运算性质与三角形的面积公式加以计算，可得△力BC的面积.

本题主要考查正弦定理与余弦定理、两角和与差的三角函数公式、三角形的面积公式等知识，考查了计算

能力、等价转化的数学思想，属于中档题.

17.【答案】证明见解析；①a②2c.

【解析】(1)证明：在直三棱柱48。一481cl中，Cg_L平面力BC,

因为4Du平面ABC,所以CCi1ADt

又因为4D1DC1，CC1ODC1=CCi，Dgu平面

所以ND，平面881cle

(2)04直三棱柱ABC-AiBiCi中，AA}L^ABC,ABLAC,

以。京元,4,；}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，

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则D(7I,<2,0)，设为(2/1,0,a),G(0,2口,a),

设,K面力。％的法向量4=(x,y,z),

则［/1%,中］而.而=+V7y=0

(n71AC［l可•ACi=2y/~2y+QZ=0

取X=l,得y=—l,z=2,

Q

所以平面人£)G的一个法向量厄=(1,一1,等),

乂平面&4g的法向量超=(1,0,0),

n|n7n7|11

所以cos§=而而二手=5,

解得a=2.

所以声=(1,-1,右),n=(0,2<7,0)，

所以cos<rC[,AC>==-

设4c与平面ADC1所成角为仇则sE9=1.

庭为AD1DCitAD=2,DCX=2VI，

所以SAADC[=2>[2.

因为三棱锥E-力DC1的体积为:

所以E到平面ADC1的距离为

因为E在侧面;4BB遇i上，可设E(x,0,z),

E到平面8Dg的距离为d=需3=三空=/2,

即轨迹方程为z=-等％+2，

而4(0,0,2),8(277,0,0),

所以E在侧面;48B送1上的运动轨迹是线段4道,

所以后的轨迹长度为=2/3.

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(1)根据直棱柱的性质及线面垂直的判定定理即可得证；

(2)以｛而，冠，标｝为正交基底，建立空间直角坐标系，

①中求出平面的法向量，利用向量夹角得出直棱柱的高，再由线面角的向量求法求解：

②卜根据三棱锥体积求出点E到平面的距离，再由向量法求距离，化简可得轨迹方程，利用轨迹方程确定轨

迹为线段，即可得解.

本题考查线面垂直的判定，以及向量法的应用，属于中档题.

18.【答案】解:(I)当Q=1时，f(x-)=xlnx+x2,/⑴=1,

/z(x)=1+/nx+2x,ff(1)=3,

所以/'(x)在％=1处切线方程为：y-l=3(x-l),即3x-y-2=0.

(II)由已知/'(%)=x(lnx+ax)(x>0),

设9(%)=lnx+«x(x>0),故f。),g(%)具有相同零点,

g/CO=；+a，

①当a=0时，gQ)=Inx,有且只有一个零点％=1：

②当Q>0时，g'(%)>0,所以g(x)为增函数，

又9(?一。)=—a+ae~a=a(e~a—1)<0,

g(l)=Q>0,所以g(x)有且只有一个零点；

③当aV0时，由g(x)=0,解得x=—：,

若％W(0,-，)，gr(x)>0,g(x)单调递增，

若xW(一;,+8),g7(x)<0,g(x)单调递减，

又XT0+时，g(x)oo,又Xt+8时，g(x)T-8,

故g(—；)=ln(一5)-1V0,即aV-T时，g(x)无零点；

^(-i)=ln(—i)—1=0,即。=一］时.0(x)有一个零点：

。(一：)=也(一；)-1>0即一；VQ<0时，g(x)有两个零点•

综上所述：。20或。=一!时，/(x)有一个零点；

一：<Q<0时，/(无)有两个零点：

时，/(%)无零点.

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(Ill)证明:由已知f'(幻=+1+2ax(x>0)有两个零点,

/"(x)=i+2a(x>0),

,z

(1)当2QN0时，f(x)>0成立，所以/''(x)单调递增，

所以(幻至多一个零点，不符合题意；

(2)当2Q<0时，f"(乃=0,解得％=-2，

当N€(0,-白)，ff(x)>0,广(乃单调递增，

乙a

若X£(-*,+8),/'“(%)<0,/'(%)单调递减，

依题意：ff(-^)=ln(-^)+l+2a(-^)>0,

所以一a<0,

因为f'(1)=1+2。>0,所以0<Yi<1,所以/(丫1)=丫11丫1+0Y彳(0<■Xj<1).

由/(Xi)=伍+1+2axi=0,得a/=—^(lnxl+1),

所以f(》i)=xAlnxx+/(-1(ZiUi+1))=jxjZnXi-1x]=呆[(出-1),

因为0V.V1,所以/'(%i)<0,

设/(%)=xlnx—x(0<%<1),

所以F'(%)=Inx<0,故F(x)=xlnx-x(0<x<1)单调递减，

所以尸(x)>F(l)=-1,所以/Oi)=：(%1加%1-%i)>-1,

综上所述：—,Vf(%i)V0.

【蟀析】(I)求出/(%)的解析式，从而可得〃1),再利用导数求出切线斜率，利用点斜式可得答案；

(II)/(x)=x(lnx+ax)(x>0)与g(无)=Inx+ax(x>0)具有相同零点，对g(x)求导，对a分类讨论,判断函

数单调性结合函数零点存在性定理即可判断零点个数；

(III)由已知/''(x)=Inx+1+2ax(x>0)有两个零点，对/''(%)求导，当2aN0时不符合题意，当2aV0

时，判断函数/''(%)的单调性，垢合零点个数求出a的取值范围，再通过构造函数即可证明不等式成立.

本题主要考查利用导数研究函数的极值与最值，利用导数研究曲线上某点的切线方程，不等式的证明，考

查运算求解能力，属于难题.

19.【答案】号一1=1,离心率为，2；(i)[2，Z+8)；⑺是，1.

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【解析】解：(1)设C的半焦距为c[c>0),易知c=2,

因为I：%=1为C的右准线，所以4=1，

C

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解得Q2=C=2,所以〃=c-a=2,

所以C的方程为4一4=