2025-2026学年高二年级上册10月月考数学试卷（含答案）

2025-2026学年四川省成都市第七中学高二上学期10月月考

数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.直线%+y+2=0与直线％+y=0的距离为（）

A.-/2B.2。2D.1

2.直线x+V3y-2=0的倾斜角为（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

3.若掷出两枚骰子,则点数和为7的概率为（)

A*c-D

J9n

4.1^1(x-4)2+yz==9和圆+(y—3)Z=4的公切线有（）

A.1条B.2条C.3条D.4条

5.已知向量方=(2,—1,3),5=(-1A-2),c=若优I下共面，则2=（）

A.4B.2C.3D.1

6.在平行六面体48co-4BO中,底面正方形边长为3,侧棱44的长为2,且乙A4B==

120。，则4C'的长为（）

A./10B.10C.<34D.34

7.某学校为培养学生创新精神和实践能力，组织了•次“科技小发明”竞赛活动，并对200位参赛学生的

综合表现进行评分，评分的频率分布直方图如图，根据图中数据，卜.列说法错误的是（）

B.评分在［50,60）的人数约为20

C.估计评分的下四分位数为65D.估计评分的平均数为76.5

8.已知/+V=，则碧爵的取值范围为（）

A.-7,—B.[-2,-|jC.[—7,0]D.[—2,0]

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.有一组样本数据看,%2,1%6,其中占是最小值，X6是最大值，则()

A..Q,%3,%4,町的平均数等于％1，%2,…，的平均数

B.X2,x3,X4,%的中位数等于M,%2,…，％6的中位数

C.小，%3，%4,%5的标准差不小于X1，丫2，…，36的标准差

D.孙，“3，%4，%5的极差不大于31，%2/：X6的极差

10.在棱长为1的正方体4G中，有瓦冠=西，则下列说法中正确的是()

A.直线4名与平面4BG所成角的正弦值为堂

B.点M到直线4%的距离为1

C.四棱锥M-/18CD外接球表面积为瞿n

1O

D.动点P在正方体力G的表面上，满足|PQ=2|P0|,则P的轨迹长为弓TT

11.已知直线Z：2tx+(l-t2)y4-l+t2=0(tG/?),当£=£1和£=12时，对应直线分别为，1和，2，则下列

说法中正确的是()

A.存在t6R,使得/过点(1,1)

B.当。1。时，对任意GeR,总存在两个不同的£2值与之对应

C」"/，2的充要条件是t"2=-1

D.存在点Po,对任意tWR，使得PO到I的距离为常数

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.某市为了调查教师对统计软件的了解程度，拟采用比例分配的分层随机抽样的方法从4B,C三所学

校抽取60名教师进行调查，已知4B,C三所学校分别有180,270,90名教师，则从4学校中应抽取的人

数为.

13.直线，过点(-3,1),且其横截正为纵截距的两倍，则I的方程为.

14.已知向量五=(-2,1,2),平面Q的法向量元=(1,1,1),则五在平面Q上的投影向量坐标为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

己知直线!的方程为2x+3y-9=0,点P坐标为(2,6).

(1)若直线，'与直线!关于点P对称，求直线厂的方程；

(2)若点P，与点P关于直线/对称，求点？的坐标.

16.(本小题15分)

己知定点力(-1,0),8(1,0),动点M满足3(拓??+而2)=I。羽彳丽

(1)求动点M的轨迹方程；

(2)求用的取值范围・

17.(本小题15分)

2025年六五环境日主题为“美丽中国我先行”，南京市某社区老办“环保我参与”有奖问答比赛活动.某

场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答•道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答这道题正确的概率是

P甲、乙两个家庭都回答正确的概率是言，乙、丙两个家庭至少•家回答正确的概率是最各家庭回答是

43224

否正确相互独立.

(1)求乙、丙两个家庭各自回答这道题正确的概率：

(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答这道题正确的概率.

18.(本小题17分)

如图，在四棱锥中，侧面PAD1平面4BCD,团P力。是边长为2的等边三角形，底面/BCD为直角

梯形，其中〃力D,ABLAD,AB=BC=1.

(1)取线段PA中点M,连接8M,证明：8M〃平面PCD：

(2)求8到平面PC。的距离；

(3)线段P。上是否存在一点E,使得平面E4c与平面D4c夹角的余弦值为千？若存在，求出第的值；若不

存在，请说明理由.

19.(本小题17分)

动圆C：/+丫2+石；+；1),一。+1)=0(/16/?)与直线1：、=2丫交于48两点.

(1)证明：动圆C必过两定点，并求出这两点坐标；

(2)求|AB|的最小值;

(3)是否存在一条定直线，在其上任取点K,无论4为何值，都有雨•雨为常数，若存在，求出定直线方

程；若不存在，请说明理由.

参考答案

\.A

2.0

3.B

4.C

5.0

6.4

7.C

S.A

9.BD

iO.AC

11ACD

12.20

13.x+3y=0或％+2y+1=0

14・（一於'|）

15.【详解】（1）易知直线-与直线!互相平行,

设，'的方程为2%+3y+4=0,点P到两直线距离相等,

有|4十18-9|_|4±18+A|

,j22+32j22+32

即;1=-35,或4=一9（舍去）,

故，'的方程为2x+3y-35=0.

（2）设点P'的坐标为（血,九），

直线PPUI,且PP'的中点在直线【上,

而直线，的斜率为空，*，=痣,

c?n+2.令n+6八八

故有解瞰;二

m—22

故P'的坐标为（一2,0）.

16.【详解】（1）解：设动点M的坐标为Q,y）,

因为做一1,0）,8（1,0）,可得丽=（一1一%一y）,而=（l-x,-y）,

.7.2।,

则MA=(x+l)2+y2,MB=(x—I)2+y2,MA-MB=x2+y2-1

又因为3(拓f+丽=10Mx.而，

可得3[(x+l)24-y2+(x—I)2+y2]=10(x2+y2—1),

整理得无2+y2=*所以动点M的轨迹方程为/+V=4.

(2)解：设愣|=t,t>0,则|拓?|=可得J(%+1)2+y2=tj(%_1)2+y2,

即(X+1)2+y2=亡2[(%一1)2+),2],

因为点M在/+y2=4上，可得y2=4-%2,

则Q+l)2+4-x2=t2[(x-l)2+4-x2],即2%+5=t2(5-2x),

2

即Q+2t2)%=5t2—5,所以“=条，，

因为点M在/+*=4上，可得一2WXW2,所以一24||言£2,

由一24会也可得一4一4t245/一5,即严鸿，解得t*或£工一家舍去);

由可得5尸一5工4+犯2,即产工/解得一3工£工3,所以0<£33,

综上可得，即懦取值范围为七,3].

17.解：(1)记“甲家庭回答正确这道题”“乙家庭回答正确这道题”“丙家庭回答正确这道题”分别为事

件4&C,

由甲家庭回答这道题止确的概率是:，

甲、乙两个家庭都回答正确的概率是言，

则P⑷=Q(4B)=P(A)-P(B)=品

解得P⑻量,

由乙、丙两个家庭至少一家回答正确的概率是首，

则1-P(BC)=1-P(B)•P©=翁，

即l-(l/a).p(—C)=工io,

所以P(G=;=P(C)=1

JJ

所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率为黑畤;

o5

(2)有0个家庭回答正确的概率

Po=P68C)=P(A).P(B).P(C)=*xNH薪

有1个家庭回答正确的概率为

3511311527

--+X-X=-

一

一

---一

Pi=P(ABC+ABC+ABC)483483483

24

所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率P=I-P0-P1=I-A_Z=H

18.【详解】(1)在四棱锥中，取P。中点N,连接MN,

则四边形BCNM为平行四边形，BM//CN,而CNu平面PC。，8M仁平面PCD,

所以3M〃平面PCO.

(2)取力。的中点0,连接P。，0C,由目/MO为等边三角形，得PO_LHO,

而平面PAO_L平面/BC。，平面P/IOn平面48C0=AD,POu平面PA。，

则P01平面48c0,由4。=8C=l,40〃BC,得四边形48。。是平行四边形，

于凫OC//AB,而48171D,则。C14D,直线。C,OD,0P两两垂直，

以0为坐标原点，直线OC,OD,0P分别为%,y,z轴建立空间直角坐标系，如图，

z.

则｛0,-l,0),D(0,l,0),C(l,0,0),B〔l,-4,0),P(0,0,O,CP=(-1,0,73),CD=(-1,1,0),

设平面PCD的法向量为k=(%,y,z),则卜.fP二一"+Cz=0,取z=i,得五

(n-CD=-x+y=0

又就=(0,1,0),所以B到平面PCD的距离d=曙=居=亨.

(3)令而=XPD=(0,A,-/32),aG[0,1],

AE=AP+PE=(0,1,/3)+(0,A,-y/lA)=(0,1+A,/3-<3；.),AC=(1,1,0),

设平面EAC的法向量为沅=®b,c),则，-

(77i•/IF=(1+A)b+(\3—V3x)c=0

取占=C(/l-l),得沆=(，5(1—2),C(/l-l),/l+l),平面D4C的法向量为丽=(0,0,，3),

I丽同_列a+i)_/io

于是|cos(。"，记)|=

丽=口・0以]。/+7=可

化简得3乃一104+3=0,又46[0,1],解得4=]即黑=：

所以线段PD上存在点£,使得平面E"与平面ZMC夹角的余弦值为驾，黑=今

。ILZO

19.【详解】⑴%2+、2+&+；1y-Q+DnoqwR),

整理得M+y2-1+；1a+丫-i)=OQ七/?),

由仁+4二UH；：X：r

即动圆C恒过两定点的坐标为(1,0)或(0,1).

(2)由圆的方程/+y2+Ax+Ay-(A+1)=0(AGR)可得，

圆c的圆心坐标为c(-;，-务

圆C的半径为r=丫召+平+4=+1)=1V2A2+4A+4,

则圆。的圆心到直线1：y=2x的距离为d=包桌型=缉=枭,

2+奴+4)一至

所以4B两点间的距离|AB|=2Vr2-d2=2

整理得MB|=22M+A+l,

4u

设t=4储+入+1,其对称轴为]=-2：9=一,

故tmin=X(-y)2+(一乡