《工程力学》课件-平面力系合成和平衡

第一篇章工程力学基础篇

模块三平面力系合成和平衡任务一平面力系与力系的简化任务二平面力系合成和平衡工程力学复习简单回顾：1、力的三要素大小、方向、作用点2、四大公理加减平衡力系公理二力平衡公理力的平行四边形法则作用和反作用定律教学要求知识要点能力要求力在坐标轴上的投影、合力投影定理、汇交力系的合力、汇交力系的解析条件(1)用力的多边形、解析法求解平面汇交力系的合力(2)能力在坐标轴上的投影(3)能用解析法求解汇交力系力矩的单位及其正负号；力偶及基本性质、(1)理解力矩的定义(2)力对点之矩的计算(3)理解力偶及基本性质(4)能够计算平面力偶系的合力偶与平面力偶系平衡力的平移定理、主矢和主矩的概念。平面一般力系的平衡条件、物体系的平衡条件。(1)能够计算平面一般力系主矢和主矩(2)能够运用平衡条件进行物体、物体系平衡问题的分析平面汇交力系：各力作用线汇交于一点的力系。平面力系：各力的作用线都在同一平面内的力系，否则为空间力系。平面平行力系：各力作用线平行的力系。平面一般力系：除了平面汇交力系、平面力偶系、平面平行力系之外的平面力系。对所有的力系均讨论两个问题：1、力系的简化（即力系的合成）问题；2、力系的平衡问题。1.1平面汇交力系力在平面坐标轴上的投影正负规定：投影起点至终点的指向与坐标轴正向一致，规定为正，反之为负。反之，当投影X、Y

已知时，则可求出力

F

的大小和方向。y

b´a´abFOxBFxFyA

解各力在x、y轴上的投影为F1x=F1cos45

=100N×0.707=70.7N

F1y

=F1sin45

=100N×0.707=70.7N

F2x=-F2cos30

=-150N×0.866=-129.9N

F2y=-F2sin30

=-150N×0.5=-75NF3x=F3cos90

=0

F3y=-F3sin90

=-200N×1=-200N

F4x=F4cos60

=200N×0.5=100N

F4y=-F4sin60

=-200N×0.866=-173.2N例

试分别求出图中各力在x轴和y轴上投影。已知F1=100N，F2=150N，F3=F4=200N，各力方向如图所示。。O45

F1xA1yA2。。。F4F3F230

60

A4A31.1平面汇交力系平面汇交力系的合成设任意的力F1、F2、F3……的作用线汇交于A点，构成一个平面汇交力系。由力的平行四边形法则，可将其两两合成，最终形成一个合力RF1F2RF3xABCDabcdAF2F1F4F3R1.1平面汇交力系合力投影定理合力在任一轴上的投影，等于它的各分力在同一轴上的投影的代数和。合力R在x轴上投影：F1F2RF3xABCDabcd各力在x轴上投影：F1x=ab

F2x=bc

F3x=-dcRx=ad=ab+bc-dcRx=F1x+F2x+F3x

1.1平面汇交力系合力投影定理合力在任一轴上的投影，等于它的各分力在同一轴上的投影的代数和。推广到任意多个力F1、F2、Fn组成的平面共点力系：F1F2RF3xABCDabcd例试分别求出图中各力的合力在x轴和y轴上投影。已知F1=20kN，F2=40kN，F3=50kN，各力方向如图所示。

解各力的合力在x、y轴上的投影为OF1xyF334F21.1平面汇交力系平面汇交力系的平衡条件充要条件:力系中各力在两个坐标轴上投影的代数和分别为零。1.1平面汇交力系运用平衡条件求解未知力的步骤为：1、合理确定研究对象并画该研究对象的受力图；2、由平衡条件建立平衡方程；3、由平衡方程求解未知力。例

图示三角支架，求两杆所受的力。解：取B节点为研究对象，画受力图P由∑Y=0，建立平衡方程：由∑X=0，建立平衡方程：解得：负号表示假设的指向与真实指向相反。解得：NBCNBA1.取滑轮B的轴销作为研究对象，画出其受力图。例

图(a)所示体系，物块重

P=20kN，不计滑轮的自重和半径，试求杆AB和BC所受的力。解：2、列出平衡方程：解得：

反力NBA为负值，说明该力实际指向与图上假定指向相反。即杆AB实际上受拉力。由∑Y=0，建立平衡方程：解得：由∑X=0，建立平衡方程：例小滑轮C铰接在三脚架ABC上，绳索绕过滑轮，一端连接在绞车上，另一端悬挂重为W=100kN的重物。不计各构件的自重和滑轮的尺寸。试求AC和BC所受的力。1.2平面力偶系的计算力矩

MO(F)=±F·dO点称为矩心

d称为力臂力F使物体绕矩心O点逆时针转动时为正，反之为负。力矩的单位：N·m或kN·m1kN·m=103N·m=106N·mmdFO力矩在下列两种情况下等于零：力等于零或力的作用线通过矩心(即力臂等于零)。当力沿作用线移动时，不会改变它对矩心的力矩。例

如图所示，当扳手分别受到F1、F2、F3作用时，求各力分别对螺帽中心O点的力矩。已知F1=F2=F3=100N。解根据力矩的定义可知MO(F1)=-F1·d1=-100N×0.2m=-20N·m

MO(F2)=F2·d2=100N×0.2m/cos30

=23.1N·mMO(F3)=F3·d3=100N×0=0O○30

0.2mF1F2F3例

求图中荷载对A、B两点之矩(a)(b)解：图（a）：MA=-8×2=-16kN·mMB=8×2=16kN·m图（b）：MA=-4×2×1

=-8kN·m

MB=4×2×1=8kN·m例

求图中力对A点之矩解：将力F沿X方向和Y方向等效分解为两个分力，得：由于dx=0，所以：合力矩定理

一个力对一点的力矩等于它的两个分力对同一点之矩的代数和。1.2平面力偶系的计算力偶力偶：大小相等、方向相反、作用线相互平行的一对力称为力偶。M=MO(F)+MO(F')=-Fx+F'(x+d)=Fd力偶矩：力偶使刚体产生的转动效应。FF'dOx力偶力偶臂FF'FF'1.2平面力偶系的计算力偶的特性特性一：力偶的转动效应与转动中心的位置无关，所以力偶在作用平面内可任意移动、转动。（刚体）特性二：力偶的合力为零，所以力偶的效应只能与转动效应平衡，即只能与力偶或力矩平衡，而不能与一个力平衡。FF'dOx力偶力偶臂FF'FF'1.2平面力偶系的计算平面力偶系的合成BAdF1=F1'=M1/dF2=F2'=M2/dF2BAF'1F'2F1M1M2dFRF'R

M=FRd=(F1－F2)d=M1+M2合力偶的矩等于各分力偶矩的代数和，即M＝M1+M2+…+Mn＝∑Mi例如图所示，在物体的某平面内受到三个力偶的作用。设F1=200N，F2=600N，M=100N·m求其合力偶。解各分力偶矩为

M1=F1d1=200N×1m=200N·m

M2=F2d2=600N×0.25m/sin30

=300N·mM3=－

M=－100N·m得合力偶矩为M＝M1+M2+M3＝200N·m+300N·m－100N·m=400N·m即合力偶的矩的大小等于400N·m，转向为逆时针方向，与原力偶系共面。1m0.25mF1'F1F2'F230°60°M1.2平面力偶系的计算平面力偶系的平衡条件平衡的充要条件：力偶系的合力偶矩等于零∑M＝01.3平面一般力系平面一般力系如果在一个力系中，各力的作用线均匀分布在同一平面内，但它们既不完全平行，又不汇交于同一点，那么我们将这种力系称为平面一般力系。对于平面一般力系，讨论两个问题：

1、力系的合成；

2、力系的平衡。1.3平面一般力系力的平移定理BAF。。BAF'。。F'F"dMM=Fd=MB(F)作用在刚体上的力可以平移到刚体上任意一个指定位置，平面内附加一个力偶，附加力偶的矩等于原力对指定点之矩，称为力的平移定理。BAF。。1.3平面一般力系力的平移定理BAF。。BAF'。。F'F"dMM=Fd=MB(F)逆过程：可以将同平面内的一个力F和力偶矩为M的力偶简化为一个力F'，此力F'与原力F大小相等、方向相同、作用线间的距离为d=M/F。BAF。。例

钢柱受到一10kN的力作用，如图所示。若将此力向钢柱中心线平移，得到一力和一力偶。已知力偶矩为800N·m，求原力至中心线的距离d。解根据力的平移定理，力的大小方向不变。附加力偶矩M等于力对钢柱中心线的力矩。M=MO(F)=

F×d10kNdO1.3平面一般力系平面力系的简化F1F2·A1A2AnFn··xyO·xyO·xyO·O为简化中心

F'R=

F'1+

F'2+…+

F'n=

F1+F2+…+

Fn=∑Fi

F'1F'2F'nM1M2MnMOF'RMO=M1+M2+…+Mn=MO(F1)+MO(F2)+…+MO(Fn)MO=∑MO(Fi)主矢主矩1.3平面一般力系平面力系的简化F1F2·A1A2AnFn··xyO·xyO·xyO·F'1F'2F'nM1M2MnMOF'RFRx=F'1x+F'2x+…+F'nx=F1x+F2x+…+Fnx=∑Fx

FRy=F'1y+F'2y+…+F'ny=F1y+F2y+…+Fny=∑Fy平面任意力系的主矢的大小和方向与简化中心的位置无关。1.3平面一般力系平面力系的简化F1F2·A1A2AnFn··xyO·xyO·xyO·F'1F'2F'nM1M2MnMOF'R

MO=∑MO(Fi)平面任意力系的主矩的大小与转向与简化中心O的位置有关。因此，在说到力系的主矩时，一定要指明简化中心。例将图所示平面任意力系向O点简化，求其所得的主矢及主矩，并求力系合力的大小、方向及合力与O点的距离d。并在图上画出合力之作用线。图中方格每格边长为5mm，F1=5N，F2=25N，F3=25N，F4=20N，F5=10N，F6=25N。F1OxyF2F6F5F4F3∑Fx

=F1x+F2x+…+F6x∑Fy

=F1y+F2y+…+F6y解(1)向O点简化

(2)力系的合力力系的合力大小与主矢的大小相等，方向与主矢平行。合力的作用点至O点的距离为

OxydF1OxyF2F6F5F4F3

MO=∑MO(F)=–5N×20mm–15N×30mm–20N×20mm+20N×20mm=–550N·mm主矢与x轴的夹角为

=45

解(1)向O点简化

FRF'RMO1.3平面一般力系的平衡平衡条件平面力系平衡的必要和充分条件是力系的主矢和对任意一点O的主矩均为零，即F'R

＝0MO＝01.3平面一般力系的平衡平衡方程投影方程

∑Fx＝0∑Fy＝0

∑MO(F)＝0力矩方程基本形式1.3平面一般力系的平衡平衡方程∑MA(F)＝0∑MB(F)＝0∑MC(F)＝0二力矩形式

∑Fx＝0∑MA(F)＝0∑MB(F)＝0其中A、B、C三点不共线三力矩形式其中A、B两点的连线不与x轴垂直运用平衡条件求解未知力的步骤为：1、合理确定研究对象并画该研究对象的受力图；2、由平衡条件建立平衡方程；3、由平衡方程求解未知力。1.3平面一般力系例

已知q=2KN/m，求图示结构A支座的反力。解：取AB杆为研究对象画受力图。由∑X=0：由∑y=0：由∑MA=0：例

求图示结构的支座反力。解：取AB杆为研究对象画受力图。由∑X=0：由∑y=0：由∑MA=0：由∑y=0：由∑MA=0：由∑X=0：例

求图示结构的支座反力。解：取整个结构为研究对象画受力图。AC例

在图示结构中，横梁AC为刚性杆，A端为铰支，C端用一钢索BC固定。已知AC梁上所受的均布荷载集度为q=30kN/m，试求横梁AC所受的约束力。解（1）取梁AC为研究对象

（3）建立坐标系（4）列平衡方程并解之

（2）画受力图xFAxFAyFTyB4mq3mACq（4）列平衡方程并解之ACxFAxFAyFTyq

FT×0.6×4m–30kN/m×4m×2m=0

FT=100kN∑Fy＝0100kN×0.6–30kN/m×4m+FAy=0FAy＝60kN（↑）∑Fx＝0–100kN×0.8+FAx=0FAx=80kN

（→）例

试计算图示三种支架A、C两处的约束反力。解(1)取杆AD为研究对象，画出受力图

（2）建立坐标系（3）列平衡方程并解之∑Fy＝0

FAy–10kN=0FAy=10kN（↑）xy∑MA(F)=0FBC×2m·cos45

–10kN×4m·sin45

=0FBC=20kN（拉）∑Fx＝0

FAx–20kN=0FAx=20kN（→）

第一篇章工程力学基础篇

模块三平面力系合成和平衡任务三平面力系合成和平衡应用工程力学2.1平面一般力系的平衡物理系统的平衡由若干个物体通过一定的约束方式连接而成的系统，称为物体系统当物体系统处于平衡状态时，组成该系统的每个物体或若干物体组成的局部也处于平衡状态。求解物体系统的平衡问题时，既可选取系统的整体作为研究对象，也可选取系统的局部或单个物体作为研究对象。

一个研究对象最多有三个平衡条件，因此研究对象上最多只能有三个未知力。注意到BC杆有三个未知力，而AB

杆未知力超过三个，所以应先取BC杆为计算对象，然后再取AB杆为计算对象。例

求图示结构的支座反力。解：由∑X=0：由∑y=0：由∑MB=0：BC杆：由∑X=0：由∑y=0：由∑MA=0：AB杆：注意作用与反作用关系，所以：例

求图示三铰拱的支座反力。由∑y=0：由∑MA=0：取整体为研究对象，画受力图：解：由∑X=0：由∑MC=0：取右半部分为研究对象，画受力图：将XB

代入式：即：得：例

位于铅垂面的活动折梯放在光滑水平面上，梯子由AC和BC两部分用铰链C和绳子EH连接而成，如图所示。今有一人重为W=600N，站在AC梯的D处。折梯自重不计。试求A、B两处地面的反力、绳EH的拉力及铰链C所受的力。

解（1）以整体研究对象（b）列平衡方程并解之ΣMA(F)=0FB×2×3m·cos75

–600N×2m·cos75

=0FB=200N（↑）ΣFy=0FA+FB–F=0FA+200N–600N=0FA=400N（↑）（a）画受力图75

75

A3mBCEHDW1m1m75

75

A3mBCEHDW1m1mFAFB（2）以BC研究对象FB=200N（↑）FA=400N（↑）（a）画受力图75

3mBCEW1m1mFB（b）列平衡方程并解之ΣFy=0FCy+FB=0FCy=–FB=–200N（与图示方向相反）ΣMC(F)=0FB×3m·cos75

–FEH×2m·sin75

=0FEH

=80.4NΣFx=0–FCx–FEH=0FCx=–FEH=–80.4N（与图示方向相反）FCxFCyFEH例

梁AB和BC在B处用光滑铰链连接。如图所示。已知q，F=ql，M=ql2

，梁的重力不计。试计算A、B和E三处的约束力。

解（1）以BC研究对象（b）列平衡方程求解ΣFx=0，FBx=0ΣMB=0，FE×l–q×l×(1+0.5)l–M=0FE=5ql/2（↑）ΣFy=0，FBy+FE–q×l=0FBy=–3ql/2（与图示方向相反）（a）画受力图FBxFByFDqE

MABCllllqE

MBCE

FEqE

MBCE

（2）以AB研究对象（b）列平衡方程求解ΣFx=0FAx=0ΣFy=0，FAy–F'By–F=0FAy=–ql/2（↓）ΣMA=0，MA–F×l–F'By×2l=0

MA=–2ql2（）（a）画受力图FBx=F‘Bx=0FE=5ql/2FBy=F'By=–3ql/2F'BxF'ByFDqE

MABCllllFDABFDABFAxFAyMA2.2平面一般力系的平衡桁架结构的内力分析桁架结构是指各杆两端都是铰相连接的结构。在结点荷载作用下，桁架的内力主要是轴力，而弯矩和剪力数值很小，可以忽略不计。为了简化计算，在取桁架的计算简图时，作如下假设：各杆在两端用绝对光滑的理想铰相互联结。所有各杆的轴线都是直线，且处于同一平面内，并通过铰的中心。所有荷载和支座反力都作用在结点上，并且都位于桁架的平面内。通常把符合上述假定条件的桁架称为理想桁架。2.2平面一般力系的平衡桁架结构的内力分析由于桁架的主要内力为轴力，在杆件的横截面上分布均匀，这样杆件的材料可以得到充分利用，故与同跨度的梁相比，具有自重轻、承载大的特点。FP/2FP/2FPFPFPFPFP上弦杆竖杆斜杆下弦杆结点跨度l桁高h节间d2.2平面一般力系的平衡桁架结构的内力分析静定桁架的内力计算主要有两种方法。1．结点法取桁架的结点为隔离体，利用结点的静力平衡方程求出各杆的内力。桁架各杆只承受轴力，作用于任一结点的各轴力必然组成一个平面汇交力系，可以列出两个平衡方程，每次只能求解两个未知力。在实际应用中，可先由整体平衡方程求出各支座反力，然后从未知力数不超过两个的结点开始计算，依次就可以算出桁架中各杆的内力。在计算中，一般先假设桁架各杆的轴力为拉力，若计算结果为负值，则说明为压力。2.2平面一般力系的平衡桁架结构的内力分析静定桁架的内力计算主要有两种方法。1．结点法取桁架的结点为隔离体，利用结点的静力平衡方程求出各杆的内力。桁架各杆只承受轴力，作用于任一结点的各轴力必然组成一个平面汇交力系，可以列出两个平衡方程，每次只能求解两个未知力。在实际应用中，可先由整体平衡方程求出各支座反力，然后从未知力数不超过两个的结点开始计算，依次就可以算出桁架中各杆的内力。在计算中，一般先假设桁架各杆的轴力为拉力，若计算结果为负值，则说明为压力。2.2平面一般力系的平衡桁架结构的内力分析静定桁架的内力计算主要有两种方法。1．结点法

零杆判断FN1=0FN2=0FN1=FN2FN3=0FN2FN1FN3FN2FN4FN4FN1FN3FN2FN1FN1=FN2FN3=FN4FN3=

-FN4（a）（b）（c）

（d）xy10kN20kN20kN20kN10kNαABCDEFGH4×2m=8m2m

[例]

一屋架的尺寸及所受荷载如图所示，试用结点法求每根杆的内力。

[解](1)求支座反力。∑MA（F）=0，FRB×8m－10kN×8m－20kN×6m－20kN×4m－20kN×2m＝0FRB＝40kN（↑）∑Fy=0，FRA+FRB－10kN－20kN－20kN－20kN－10kN＝0FRA＝40kN（↑）(2)计算杆件内力先对桁架各结点进行判断FRAFRB可知FNDF=FNEH=0，FNAF=FNFG，FNHG=FNBH。由于本例中结构和荷载都是对称的，所以左右两边对称位置杆件的内力必然相等，因而只需计算半个屋架即可。其中例

一屋架的尺寸及所受载荷如图所示，试用结点法求每根杆的内力。

解(1)求支座反力。FRB＝40kN（↑）；FRA＝40kN（↑）

ⅰ)取A点为研究对象FNADFNAF10kN

Axy(2)计算杆件内力FNDF=FNEH=0，FNAF=FNFG，FNHG=FNBH∑Fy=0，FNADsin

+40kN－10kN＝0

FNAD＝30kN/0.447=－67.1kN（压）∑Fx=0，FNADcos

+FNAF＝0

FNAF=FNADcos

=67.1kN×0.894=60kN（拉）

ⅱ)取D点为研究对象∑Fx=0，FNDAcos

+FNDCcos

+FNDGcos

＝0∑Fy=0，FNDAsin

+FNDCsin

－FNDGsin

－20kN＝0

解得FNDC＝－44.7kN（压）

FNDG＝－22.4kN（压）α20kND

FNDAFNDCFNDGFRAFRB10kN20kN20kN20kN10kNαABCDEFGH4×2m=8m2m例

一屋架的尺寸及所受载荷如图所示，试用结点法求每根杆的内力。

解(1)求支座反力。FRB＝40kN（↑）；FRA＝40kN（↑）

ⅰ)取A点为研究对象FNADFNAFα20kNDαFNDAFNDCFNDG10kN

Axy10202020104040-67.1-67.1-44.7-44.7-22.4-22.4206060606000单位：kN10kN20kN20kN20kN10kN

ABCDEFGH4×2m=8m2mFRAFRB(2)计算杆件内力FNDF=FNEH=0，FNAF=FNFG，FNHG=FNBH

FNAD=－67.1kN（压）；FNAF=60kN（拉）

ⅱ)取D点为研究对象

FNDC＝－44.7kN（压）；

FNDG＝－22.4kN（压）

ⅲ)取C点为研究对象∑Fx=0，FNCDcos

－FNCEcos

＝0FNCD＝FNCE＝－44.7kN∑Fy=0，－FNCDsin

－FNCEsin

－FNCGsin

－20kN＝0FNCG＝20kN（拉）最后将各杆件的内力标在图上，其中正号表示拉力，负号表示压力。20kNC

FNCDFNCGFNCE2.2平面一般力系的平衡桁架结构的内力分析静定桁架的内力计算主要有两种方法。2．截面法用一个截面截断若干根杆件将整个桁架