2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷【测试范围：苏科版九年级数学上第一章~第二章】（全解全析）

九年级数学上学期期中模拟卷（苏科版）

全解全析

（考试时间：120分钟,满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：苏科版九年级数学上笫一章〜第二章。

一'选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

I.下列方程中是一元二次方程的是（）

A.丁_2q，-4=0B.5x2--+4=0C.3x2+4x-2=0D.3x-4=0

2x

【答案】C

【解析】A.方程尸-29-4=0含有两个未知数，所以不是•元二次方程，故本选项不符合题意；

B.5/--!-+4=（）是分式方程，故本选项不符合题意；

2x

C.3/+4》-2=0是一元二次方程，故本选项符合题意；

D.3》-4=0是一元一次方程，故本选项不符合题意.

故选：C.

2.若关于x的一元二次方程6x-5=O可化成（工+〃）2=人的形式，则方等于（）

A.-4B.4C.-14D.14

【答案】。

【解析】原方程移项、配方得：

r-6x+9=14,

/.（x-3）2=14,

.»=14；

故选：D.

3.如图，在。。中，ABAC=55°,分别过8,C两点作O。的切线，两切线相交于点P，则/8PC的度

数（）

A.550B.110°C.70°D.140°

【答案】C

【解析】连接08、OC,

•:PB、PC分别与。。相切于点8、C,

..PB1OB,PC1.OC,

NOBP=/OCP=90。,

•••NBOC=2ZBAC=2x55。=110。，

ZBPC=360°-Z.BOC-NOBP-Z.OCP=70°,

故选：C.

4.近年来某县大力发展柑橘产业，某柑橘生产企业在两年内的销售额从20万元增加到80万元，设这两年

的俏售额的年平均增长率为x,根据题意可列方程为（）

A.20(14-2x)=80B.20(1+x)2=100C.20(1+x2)=80D.20(1+x)2=80

【答案】D

【解析】根据题意得20(1+,=80.

故选：D.

5.如图，力4是00的宜径，CZ）是弦，若N4?C=63。，则ND的度数是（）

c

D

A.27°B.37°C.53°D.63°

【答案】A

【解析】・.・/3是。。的直径,

41c8=90°,

/.ZJ=90°-NABC=90°-63°=27°,

ZD=ZA=27°.

故选：A.

6.关于x的一元二次方程。炉+加+c=0满足a-b+c=O,且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是

()

A.a+c=0B.2a+b=0C.b-2c=0D.a+b+c=0

【答案】C

【解析】根据题意得△=y-4讹=0,

a-h+c=Qt

：.b=a+c,

：.(a+c)2-4ac=0,

A(17-C)2=0,

：.a-c=0,解a=c，

6=2。或6=2c.

故选：C.

7.如图，等边三角形/出。的边长为8,以4?边为直径作半圆，分别与4C,4C相交于点O,E,则阴

影部分的面积为()

E

AB

O

A.”-26B.--4^C.—-8>/3D.--473

3333

【答案】D

【解析】如图，连接8、OE,过点O作OFtDE交DE于点F.

•.•△/18C是等边三角形，

ZA=ZB=60°,

•;OA=OD=OB=OE=二AB=4,

2

：.△AOD与iXBOE为等边三角形,

...40。=60°,zlBOE=60°,

/./OOE=60。，

石为等边三角形,

/.ZODE=60°,DE=OD=OE=4f

OF=0。sin/ODE=4x—=273,

2

:.S”,F=LDEOF=Lx4x26=43,

八I/IJi-

608乃

•••5娟形卬E=而乃x42=—，

36U3

1*'S阴影=S隔形RE—=-4A/J.

故选：D.

8.如图，OO的半径为4,弦48的长为4G，点尸为优弧48上一动点，4c_L4P交直线P8于点C,则

△ABC的面积的最大值是（）

B

A.12百+12B.66+12C.12万+24D.6石+24

【答案】C

【解析】如图，连接。4，08,过点。作于点。.

•.•0D1AB,

:.AD=DB=26ZA0D=NB0D,

.ZOO=40。=60°,

.•.408=120。，

.•.ZP=-ZJ（9^=60°,

2

vAPLAC,

:.NOP=90。，

ZC=30°,

.•.点。在。为圆心,04为半径的圆上运动,

当点。在AB的垂直平分线上时，△N8C的面积最大，

•••/力O'8=60°,O，A=O，B,

.,.△40万是等边三角形，

：.O,A=O'C,=AB=4y14,O'D=y/3AD=6,

CZ）=4V3+6,

△月8c面积的最大值=Lx/i8xCO=Lx4j5x（4j5+6）=24+125/5.

22

故选：C.

二.填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

9.一元二次方程一一5丫+1=0的两根为玉和dljx；+5x,+2023=2047

【答案】2047.

2

【解析】根据题意得A+%=5,xix2=1,X1-5x1+1=0,

z.#=5须-1,

原式=5x,+5X2-1+2023=5($+5)+2022=25+2022=2047.

故答案为：2047.

10.如图，某同学准备用一根内半径为5cm的塑料管裁一个引水槽，使槽口宽度为8c7〃，则槽的深度CO

为2cm.

【答案】2.

【解析】如图，由题意可知，OA=5cm,OCA.AB,则力。=08='力8=4c〃？，

2

在RtAADO中，由勾股定理得，

0D=\/0A2-AD2=3(c〃?)，

：.CD=OC-OD

=5-3

=2(。/").

故答案为2.

11.若关于x的一元二次方程m/-2x-2=()有实数根，则m的取值范围为

【答案】"72---且加方0.

2

(解析】•.・关于x的一元二次方程mx2-2x-2=0有实数根，

/.△=4+8机20且〃？工0,

解得：吟一,且〃7Ho.

2

12.已知加，〃，5分别是等腰三角形（非等边三角形）三条边的长，且〃是关于x的一元二次方程

/-6工+攵=0的两个根，则左的值为9或5.

【答案】9或5.

【解・析】当〃?=〃时，△=（一6f-41=0,

解得〃=9,

,加+〃=6>5,

•••%=9满足条件；

当〃?=5时，5+〃=6,5〃=攵，

解得〃=1♦k=5,

当〃=m时,同理可得/n=l,k=5,

综上所述，k的值为9或5.

故答案为：9或5.

13.如图，边长为血的正方形月8CQ内接于分别过点。作的切线，两条切线交于点P,则

图中阴影部分的面枳是_1-工

4

【答案】JC,

4

【解析】连接04,OD,

vAP,是。。的切线,

N0AP=N0DP=9（）0,

•.•四边形/出CO是正方形,

?.400=90。，

•/0A=0D,

二.四边形OAPD是正方形,

AD-42,

/.OA=^-AD=1,

2

・•・图中阴影部分的面积=正方形OAPD的面积-扇形AOD的面积=1xI-90=1--,

3604

故答案为：1-巳,

4

14.端午节前，小鲁购进了一批粽子进行销售，第一天销伐了256个，第二、三天的销售量持续走高，第

三天的箱售量达到400个，则第二、三天销售量的平均增长率为%.

【答案】25.

【解析】设第二、三天销售量的平均增长率为4，

根据题意得：256(1+x『=400.

解得：玉=0.25=25%,X2=-2.25(不符合题意，舍去)，

即第二、三天销售号的平均增长率为25%,

故答案为：25.

15.如图,六边形48COE"是正六边形，曲线心声2K3K4K5K6K7…叫做“正六边形的渐开线”，其中冰产

K号,K2K3,K/4,((…的圆心依次按点力，B,C,D,E,尸循环，其弧长分别记为《，/2,

3

【解析】根据题意得：4=竺叱=工

11803

,604x22乃

I)=-----=--，

1803

,60%x33乃

/,=-----=--=7T,

1803

,604x44万

1A=--------=----，

41803

按照这种规律可以得到：g女.

2022万

所以4必

16.如图，在矩形48CO中，AD=5,AB=3百，点、E在边AB上,AE:EB=\:2,在矩形内找一点尸,

使得/BPE=60。，则线段。p的最小值为_2近-2

【解析】点P在曲所对圆周角N8PE=60。的圆。L运动，

当DP的延长线过圆心。时，尸。有最小值，连接OE,OB,过。作O〃_L8£于〃，过。作OW_L/i。于

•;dE:EB=1:2,48=3后，

BE=2>/3,AE=>/3,

•;OE=OB,OH1BE,

ZEOH=-ZBOE,EH=-BE=y/3,

22

NBOE=2NBPE=1200,

：.ZEOH=60°,

NO暇7=90。-60。=30。，

PO=OE=2OH=2,

•.•四边形48C。是矩形,

:.ZA=90°,

-ZAMO=ZAHO=90°,

二.四边形是矩形，

/.AM=OH=\,OM=AH,

/.DM=AD-AM=5-1=4,

•/AH=AE+EH=273，

：.0M=20

：.OD=>JDM2+OM2=277,

:.PD=PO-OP=2币-2.

・••PD的最小值是2行-2.

故答案为：2b-2.

三、解答题(本大题共8小题，共102分，应写出必要的计算过程、推理步骤或文字说明)

17.(8分)解下列方程:

(1)(..5)2=2(57)：

(2)X2-4X+1=0(用配方法解).

【答案】(1)玉=5,々=3；(2)玉=2+6，々=2一百.

【解析】(1)(X-5)2=2(5-X),

(X-5)2-2(5-X)=0,

(x-5)(x-5+2)=0,

二.A=5,x2=3；

(2)v?-4r+l=0,

，x2-4.r+4=-l+4,

.•.(—2)2=3,

:.x-2=±5/3,

.二%=2+G,x2=2-VJ.

18.（8分）如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点力、B、C.（网格小正方形的边长为1）.

（1）请在图中标出圆心P点位置，点尸的坐标为。尸的半径为:

（2）判断点幡（-1,1）与O〉的位置关系:

（3）若扇形HC是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面半径.

【答案】（1）（2,-1）,2石:

（2）圆内；

（3）—.

2

【解析】（1）如图，点尸为所作，。点坐标为（2,-1）,

P

PA=yl22+42=275,

即的半径为2石；

故答案为：（2,-1）,2x/5；

(2)vP(2,-l),

/.PM=7(2+l)2+(-l-l)2=V13.

•/V13<V20=275,

.••尸M的长小于圆的半径,

，点M在OP内；

(3)vPA=PC=2j5,AC=b+62=2亚,

7.PA2+PC2=AC2,

.•.AP/C为直角三角形，/力0C=90。，

设该圆锥的底面圆的半径为广，

根据题意得.二胆修

解得〃咚

19.（1（）分）已知矩形48CQ,/8=3,AD=66,点。是4）的中点，以力。为直径作圆，点H是圆上

的点.

（1）如图1,连接若48是圆。的切线，

①求证：AB=A'B；

②设力'。与8C交于点尸，求OF的长.

（2）若动点G从点8向C运动，连接OG,作四边形4OGB关于直线8对称的四边形40G8',如图

2.求点G在运动过程中线段H8'扫过的面积.

【答案】（1）①证明见解析;

②2名；

(2)6万.

【解答】（1）①证明：•.•矩形44C。，AD=66,点。是力。的中点,

AO=DO=3^3,4=90。，

二.胡是圆O的切线,

•.T'8是圆。的切线.

AB=A'B；

②解：如图1,连接04,则N/O4=N4O8,

BC//AD,

ZFBO=NAOB，

ZFBO="OB,

;.FB=FO,

设/8=H)=x,则H/=OH-OF=3百一x,

则在直角三角形48斤中，*B=,4B=3,

根据勾股定理可得：A'F1+A'B2=BF2,

(3N/3-X)2+32=X2,

解得：x=2>/3,

OF=20

(2)解：当B、G重合时，如图2,

图2

408=30°；

当G、C重合时，如图3,

NBOG=NB'OG=120。,

.•.点8,旋转的角度是240。,

•/OB=OB',OA=OA',

zu、rn.〃n，4-1'i-A/177-；tr1240•兀,OB~240•兀•OA"2-n92八.>21/

，线段/B扫过的面积=------------------------=—TTOB'——7VOA~=—TTABo'=6兀.

360360333

20.（10分）定义：如果关于x的一元二次方程G2+云+。=0（M。0）有一个根是c,那么我们称这个方程

为“黄金方程”.

(1)判断一元二次方程/+2x-3=0是否为“黄金方程”，请说明理由；

(2)已知关于x的一元二次方程2/+瓜+c=0(cw0)是“黄金方程”,求代数式从-2c+l的最小值.

【答案】(1)是“黄金方程”，理由见解析：

(2)

4

【解析】(1)是“黄金方程”，理由如下：

•/A2+2x-3=0,

(x+3)(x-l)=0,

...x+3=0或1=0,

再——3,X-)—1,

c二-3,

.,・一元二次方程/+2."3=0是“黄金方程”；

(2)•.♦关于.丫的一元二次方程2f+队+°=0(*0)是“黄金方程”,

：.2c2+be+c=0,

CH0,

：.2c=-b-\,

：.br-2c+\=b2+b+\+\=（b+—）2+—,

24

（5+5）2》。，

.,.廿-20+1的最小值为2.

4

21.（10分）如图，。。是四边形48CQ的外接圆，力C是。。的直径,BD平分/ABC.

（1）若/力。=25。，求。的度数；

（2）若点£是弦60上一点，且4E平分NC48,求证：DA=DE.

【答案】（1）65°；

（2）证明过程见解答.

【解析】（1）•:4C是OO的直径，

ZJ5C=90°,

•/ZJCB=25°,

/./A4C=90°-4C8=65。，

ZBDC=NBAC=65。.

（2）•;BD平分ZABC,

/.ABD=Z.CBD,

ADAC=NCBD,

•.•/E平分NC45,

NBAE=NCAE,

：.ZDAE=ZDAC+NCAE,ZAED=/BAE+/ABD=NCAE+NDAC,

:.NDAE=NAED,

DA—DE.

22.(1()分)项目化学习

项目主题：探究土地规划与销售利润问题.

项目背景：山西中药材资源得天独厚，素有“北药”之称，其中恒山黄芭更是中国国家地理标志产品.药

农李伯新得一块土地，计划用来种植黄黄，某校学习小组以“探究土地规划与销售利润问题”为主题开展

项目学习.

骤动仔务：按种植需求探索合理的上地规划方案：按预期利润制定合理售价.收集数据:

素材1如图，药农李伯有一块土地，若连接E8,则土地被分为

矩形F/BE和菱形E8CQ.

素材2调查市场上与李侑所种植的同品相的黄花，发现当黄苗售

价为50元/斤时，每月能售出500斤，销售单价每上涨1

元，月销售量就减少1。斤，已知该品相黄黄的平均成本

价为40元/斤.

解决问题:

(1)因种植技术需要，李伯想用一条直线把这块土地分成面积相等的两部分，请你帮李伯进行土地规划,

保留作图痕迹，不需要说明理由.

(2)为维护市场，该品相黄芭的销售单价不得低于药商的收购价62元，若要使销售黄芭的月利润达到8000

元，李伯应将销售单价定为多少元？

【答案】(1)见解析；

(2)李伯应将销售单价定为80元.

【解析】(1)如图所示，连接引〜AE交于点、O,连接BQ,EC交于点N,直线QV即为所求作.

(2)设黄黄的销售单价定为X元,则每斤的销售利润为(工-40)元,月销售量为500-10(x-50)=(1000-10x)

斤.

根据题意列方程得，(x-40)(1000-10x)=8000.

整理得，X2-140X+4800=0.

所以（x-60）（x-80）=0.

解得％=60（不符合题意，舍去），七二80.

所以李伯应将销售单价定为80元，

答：李伯应将销售单价定为80元.

23.（10分）交警部门提醒广大市民，为保障自身安全，骑车出行必须佩戴安全头盔.某品牌头盔在销售单

价不变的情况下，5月份的月销量比3月份增加了44%.

（1）求该品牌头盔3月份到5月份的月销售总额的平均增长率（月销售总额=月销量x单价）；

（2）若该品牌头盔5月销售总额为700（）元，按此增长率，请你预测7月份该品牌头盔月销售总额是否超

过10000元?

【答案】（D20%；

（2）7月份该品牌头盔月销售总额超过10000元.

【解析】（1）设该品牌头盔3月份到5月份的月销售总额的平均增长率为x,3月份的月销量为a,

由题意得：〃（l+x）2=q（l+44%）,

解得：x2=0.2=20%,X2=-2.2（不符合题意，舍去），

答：该品牌头盔3月份到5月份的月销售总额的平均增长率为20%：

（2）由题意可知,7月份该品牌头盔月销售总额为:7000（1+20%）2=10080（元）,

v10080>10000,

••.7月份该品牌头盔月销售总额超过10000元.

24.（10分）如图，48是。。的直径，C是。。上一点，。在的延长线上，且=

（1）求证：C7）是。。的切线；

（2）若。。的半径为6,。力=8,求的长.

【答案】（1）见解析;

(2)4.

/.ACB=ZACO+ZBCO=90°,

•/OA=OC.

AACO=NA,

/.BCD=/A,

：.ZACO=ZBCD,

."BCD+/BCO=90°,HPzLBCO=90°,

•••OC是。。的半径，

.•.CO是。。的切线；

(2)解：:。。的半径为6,。。=8,

/.0。=08=6,

在白△COO中：OD=y]oC2+CD2=10,

.•.8。=。。—08=10—6=4.

25.(12分)已知：如图所示，在A48C中，/8=90。，AB=5cm,8C=7cm,点P从点4开始沿力8边

向点6以kv〃/s的速度移动，点。从点8开始沿6c边向点。以2cm/s的速度移动.当产、。两点中有一

点到达终点，则同时停止运动.

(1)如果?，。分别从力，4同时出发，那么3秒后,尸。的长度等于2炖切；

(2)如果尸，0分别从力，〃同时出发，那么几秒后，△尸B。的面积等于4C?〃2?

(3)如果产，。分别从力，〃同时出发，在运动过程中，是否存在这样的时刻，使以P为圆心，力?为半

径的圆正好经过点。？若存在，求出运动时间，若不存在.请说明理由.

c

------►pB

【答案】⑴3；

(2)1秒；

(3)不存在这样的时刻.使以尸为圆心，AP为半径的圆正好经过点。.理由见解析.

【解析】(1)设经过E秒后，P0的长度等于2西，

,点P的速度为I5?/$,点。的速度为2c,/〃/s,AP=tcm,BQ=2/cm,

/.BP=(5-t)cm,

•/Z5=90°,

PQ2=8尸+BQ2,

(2厢)2=(57)2+(2/)2,

解得：=-1(舍去)，q=3,

答：3秒后，尸0的长度为2jf金加；

(2)设经过x秒以后，AP8。面枳为4。/(0＜区3.5),

•.•点P的速度为\cm/s,点。的速度为2cm/s,

AP=xcm,BQ=2xcm，

：.BP=(5-x)cm,

竹BQ的面枳=；BPBQ=4,

：.x(5-x)x2x=4»

整理得：X2-5X+4=0,

解得：x1=1,x2=4(舍去)，

答：1秒后EBQ的面枳等于4cm1；

(3)不存在这样的时刻，使以尸为圆心，4P为半径的圆正好经过点。，理由如卜.:

设经过歹秒后，存在这样的时刻，使以尸为圆心，力Q为半径的圆正好经过点。，

•.•点P的速度为1cm/s,点0的速度为2cm/s,

/.AP=ycm,BQ=2ycm，

：.BP=(5-t)cm,

v25=90°,

/.PQ=J6产2十BQ?=J(5—y)2十(2.)2=75/-10/+25,

•.•以P为圆心，力2为半径的圆正好经过点0,

/.AP=PQ,

：.y=yl5y2-\0y+25,

:.y2=5y2-\0y+25,

.-.4^2-10y+25=0,

.•.△=(_10>_4x4x25=-300,

•/-300<0,

二.方程4/_10八25=0无解，

「•不存在这样的时亥|J.使以P为圆心，4尸为半径的圆正好经过点Q.

26.(14分)伽利略曾说：“圆是最完美的图形”，一些问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问

题变得简单.【初步运用】

(1)如图1,四边形力8c。中，AB=AC=AD,ZBAC=S0°,求N8QC的度数.

请完成思路分析：如图2,由/8=AC=4O知8、C、。在以力为圆心以48为半径的圆上，由

Z5JC=80°,可得/BDC=。.(本题直接填写答案，不用写出解答过程)

A_____D；A______'D

BEC\、击n、…「七