2025-2026学年山东省青岛市某中学高二年级上册10月阶段性检测数学试卷（含答案）

2025-2026学年山东省青岛市青岛杜威实验学校高二上学期10月阶段

性检测数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.直线y=苧％+7的倾斜角为（）

吟B.；vD-I

2.一个正四棱锥的高是2,底面边长也为2,则正四棱锥的侧面积是（）

A.473B.8cC.4/5D.8/5

3.如图，在斜三棱柱ABC—4/iG中，”为BC的中点，N为&Ci靠近4的三等分点，设存=区前=

b,AAl=c，则用表示丽为（）

CL—

C.—Zci——6b—cD.——2z6b+c

4.已知点4(3,4),若直线dy=k(x-2)+1与线段4B相交，贝心的取值范围是()

A.B.(-co,u[3,+oo)

C.(-«,0]U[1,3)D,[1,3]

5.如图，在平行六面体4BCD中，AB=3,AD=2,AA：=3,/.BAD=ABAA'=^DAA'=

60°,则14cl的长为()

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A,V43B.C.V22+2141D.

6.已知直线，的方程为+ysina+1=0（aeR）,则直线，的倾斜角的取值范围为（）

A•瞬］8.［0,2悸,兀）

4图D.龊）U（泻］

7.已知空间向量五=（2,—1,3）,b=（—4,2,久），下列说法错误的是（）

A.若11b,则X=y

B.若3五+3=（2,—1,10）,则x=l

C.若d在3上的投影向量为彳丸则久=4

D.若a与3夹角为锐角，则刀6仔,+8）

8.如图，在直三棱柱ABC—4/1G中，A4BC为腰长为2的等腰直角三角形，且4B>4C,CCr=2,

AB=2AE,P为平面4BC内一动点，则P2+PE的最小值是（）

争

C-D.

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.以下能判定空间中四点P,M,2,B共面的条件是（）

111

加

丽

3MB2-O1+3-6-

C.PM1ABD.PM//AB

10.在平面直角坐标系％0y中，点4(3,2),B(zn+L初C(n,2?n),则下列结论正确的是()

A.若租=11,n=18,贝lj04〃BC

B.若。41BC，则TH+n=6

C.若TH=2,71=1,则COS乙45c=

D.若48,C三点共线，贝lj87n2—24m+1720

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11.下列命题正确的有()

A.若直线a的方向向量与平面a的法向量垂直，贝ija〃a

B.若值，无可为空间的一个基底，则｛五+3]-2反可可构成空间的另一个基底

C.已知向量3=(2,3,x),b=(2%,—3,1),若无〈卷，则〈五,b＞为钝角

D.已知直线I的一个方向向量为(3,—2)且过点(2,1),贝〃的方程为2x+3y—7=0

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知直线%:ax+y+1=0与直线%：(a-l)x-ay+2=0垂直，则实数a的值为.

13.如图，二面角a-2的棱上有两个点4B,线段BD与4C分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于

棱(若二面角aT的平面角为最且4B=4,AC=6,BD=5,则CD=.

14.在仇章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖犒.已知在鳖般人-BCD中，BC=CD=

4,48,平面BCD,当该整席的外接球的表面积为48兀时，则它的内切球的半径为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

如图，已知棱长为1的正四面体O4BC,E,F分别是4B,OC的中点.

(1)用初，OB,反表示向量而，并求丽的模长；

(2)求证：EFLAB,EF1OC；

(3)求OE与8F所成角的余弦值.

16.(本小题15分)

在入ABC中，边4B所在的直线斜率为%B=―今其中顶点2点坐标为(T,l)，顶点C的坐标为(1,2).

(1)求4B边上的高所在的直线方程；

(2)若C4CB的中点分别为E,F,求直线EF的方程.

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17.(本小题15分)

如图所示，四棱锥S—ABCD的底面是矩形，AB=a,AD=2,S4=1,且S4底面2BCD,若边BC上存在

异于8,C的一点P,使得直线PS1PD.

S

(1)求a的最大值;

(2)当a取最大值时，求异面直线4P与S。所成角的余弦值；

(3)当a取最大值时，求点P到平面SCD的距离.

18.(本小题17分)

如图，在四棱锥P—4BCD中，平面PAB1平面4BCD,底面4BCD是直角梯形，AD//BC,^ABC=90°,

且Pa=4D=2,AB=BC=1,PB=<5,E为PD的中点.

(1)证明：CE〃平面P4B；

(2)求三棱锥P-ACE的体积；

(3)求二面角E-AC-D的余弦值.

19.(本小题17分)

已知三棱锥R-=1,2,…,24)的体积为匕(i=1,2,…,24),在-ABC中，AB=273,Q是「4BC内一

点，2LAQB=120°,记U=£管匕.

(1)若2Q1CQ,AB1AC,^ACQ=30°,P*i=1,2,…,24)至U平面ABC的距离为i,求IZ；

(2)若Q是-ABC的重心，且对任意》=1,2,…,24,均有|说》+丽(+加力=i.

(i)求U的最大值;

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（"）当U最大时，5个分别由24个实数组成的24元数组（町1吗,2,…吗,24）。=12…,5）满足对任意/=1,2,…

,5,i=1,2,-,24,均有|%|=乎，且对任意1<A<；2<5,j1,j2eN均有于21aAl叽1=0,若&=

若=冯/，求，第百?的值•

（参考公式：^=1xi=x1+x2+-+xn,（2匕%）2=2匕螃+2£冈勺3片有，S（=ii=300）

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参考答案

1.C

2.C

3.2

4.B

5.2

6.C

7.C

8.B

9.ABD

1Q.ACD

11.BD

12.2或0

13.747

14.2A<2-2

15.(1)EF=0F-OE=^0C-l-OA-^OB,EF^=^-COC-OA-OB}2=9，

LLL4v)L

所以EF=苧.

(2)EF-^4B=|(OC-O1-OB)-(0B-ol)=0,所以EF_L4B,同理可证前.元=g(沅—市—南)•

OC=0,所以：EF1OC.

(3)设。为异面直线。E与BF所成的角，cos。=褊鬻='04+需皆-。/=|=|

1

-

16.(1)由题意知AB边上的IWJ过C(L2),kAB=2

因为4B边上的高所在的直线与AB所在的直线互相垂直，

故高线的斜率为2,

所以边上的高所在的直线方程为：y-2=2(%-1),即2%-y=0；

(2)由已知4点坐标为(—1,1),C(l,2),故C4的中点为

因为EF是入ABC的一条中位线，所以

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而%B=-2，所以直线EF的斜率为一手

所以直线EF的方程为y—|=——0），化简可得%+2y—3=0.

建立如图空间直角坐标系，

设|衲=%,则4(0,0,0),5(0,0,1),D(0,2,0),P(a,x,0),

则丙=(-a,-x,1),PD=(-a,2-x,0).

因为丙_L4，所以丽・丽=0,即a2一穴2-尤)=0.

即=—X2+2%=—(%—I)2+1,

当％=1W(O,2)时,a的最大值为1.

(2)由(1)可知，当a取最大值时，加=(1,1,0),SO=(0,2,-1),

所以cos<AP,SD>==萼.

14PHsD|5

所以异面直线力P与SD所成角的余弦值为驾.

(3)设平面SCQ的法向量为记=Q,y,z),ijiijg1SC[n.SC=0,

(元1SD(方•SD=0

因为C(l,2,0),SC=(1,2,-1),SD=(0,2,-1),

所以町？/=°

取y=L则z=2,x=0,所以元=(0,1,2),

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所以标=向=总0,1,2)=(。高等),

因为P到平面SCD的距离d等于正在而上的射影长，

所以d=|冈|cos(无，砌=嚅^=|南同=|(0,l,0).(0,g,雪)卜今

18.(1)取P4中点M,连接EM,BM

1

E为PD的中点，M为P4中点，所以EM〃/1D,且EM=々4D,

1

5LAD//BC,BC=1,AD=2,BC=^AD,

所以有EM〃BC,且EM=BC,

所以四边形BCEM为平行四边形，

贝又BMu平面PAB,CEC平面P4B,

所以CE〃平面P28.

(2)底面ABCD是直角梯形，BC//AD,4。u平面PAD,BCC平面PAD,

所以8C〃平面pan,则点c到平面pan的距离等于点B到平面pa。的距离，

所以二棱锥P—ACE的体积Vp_ACE=^C-PAE=^B-PAE=^E-PAB)

又E为PD的中点，则点E到平面P28的距离等于点D到平面P2B的距离的一半,

所以%-P4B=2%-PAB)

又PA=AD=2,AB=BC=1,PB=y/~5,

所以P4+AB2=PB2,故4BJ_AP,

又乙4BC=90。，BC//AD,所以4B_L4D,

平面PAB_L平面ABC。，且平面PA8Cl平面ABC。=AB,

又ADu平面ABC。，所以AO_L平面PAB,

1111111111

故%

p--p--X-XB-X-X-----

-2-235A2322323

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(3)因为平面P4B_L平面4BCD,且其交线为AB,

又APu平面P4B,AP1AB,

取4D的中点尸，连接EF,

在入PAD中，E,F分另lj为PD,2。的中点，

所以2P〃EF,EF=^AP=1

则EF1•平面4BCD,

过F作FN_L4C于N,连接EN,则有EN14C,

所以NENF为二面角E-AC-D的平面角，

在直角梯形4BCD中，AB=BC=1,^ABC=90",所以NBAC=45。,

所以NFAC=45",

又AF=*D=L所以?可=苧，

在RtAEFN中，tan/ENF=箸=与=<2,

FNV2

2

所以陋察=血，又si"乙ENF+cos2^ENF=1,

cos乙ENF

解得：3s乙ENF=g

即二面角E-AC-。的余弦值为苧.

19.⑴

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由题意AQ_LCQ,ABVAC,^ACQ=30",ACAQ=60",

故在AABQ中，^BAQ=^ABQ=30",

由正弦定理高=高，AB=2G则4Q=8Q=2,

在Rt-AQC的中，AC=2AQ=4,故S”BC=•AC=；xx4=46；

设三棱锥B-28C(i=1,2,…,24)的顶点8到底面ABC的距离为加，

则匕=：S，4Bc-hi=殍可，由Pi。=1,2,…,24)到平面ABC的距离为i,

故九1+h2+…+九24—Ef=li=300,

故V=2普1匕=殍箔i=40073.

(2)(i)因为Q为入ABC的重心，则有而+的+