苏教版高一数学上册第五单元测试卷

苏教版高一数学上册第五单元测试卷学校：___________姓名：___________班级：___________得分：___________书写等级：___________说明：本单元聚焦“函数的概念、单调性与最值、奇偶性、函数的应用”核心内容，考查函数概念理解、性质推理及数形结合思想应用能力。试卷满分150分，考试时间120分钟。解答题需写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，将答案写在答题卡对应位置。第一部分基础巩固（50分）一、填空题（每空3分，共30分）1.函数\(f(x)=\sqrt{2x-4}+\frac{1}{x-3}\)的定义域为________________（用区间表示）。2.已知函数\(f(x)=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)）是二次函数，若\(f(0)=2\)，\(f(1)=3\)，\(f(-1)=1\)，则\(a=\)________，\(b=\)________。3.若函数\(f(x)=(k-2)x+3\)是R上的减函数，则实数\(k\)的取值范围是________________。4.已知函数\(f(x)=x^2-2x+3\)，则\(f(x)\)在区间\([0,3]\)上的最大值为________，最小值为________。5.若函数\(f(x)=x^3+ax\)是奇函数，则\(a=\)________，此时\(f(-1)=\)________。6.已知函数\(f(x)\)是定义在R上的偶函数，且当\(x\geq0\)时，\(f(x)=2x-1\)，则\(f(-2)=\)________，\(f(x)\)在\(x<0\)时的解析式为________________。二、选择题（每题5分，共20分）1.下列各组函数中，表示同一函数的是（）A.\(f(x)=x\)与\(g(x)=(\sqrt{x})^2\)B.\(f(x)=|x|\)与\(g(x)=\sqrt{x^2}\)C.\(f(x)=1\)与\(g(x)=x^0\)D.\(f(x)=x+1\)与\(g(x)=\frac{x^2-1}{x-1}\)2.下列函数中，在区间\((0,+\infty)\)上单调递增的是（）A.\(f(x)=-2x+1\)B.\(f(x)=x^2-2x\)C.\(f(x)=\frac{1}{x}\)D.\(f(x)=x^3\)3.已知函数\(f(x)\)是奇函数，且在\([-1,1]\)上单调递减，则下列结论正确的是（）A.\(f(0)=0\)B.\(f(-1)<f(1)\)C.\(f(-1)=f(1)\)D.\(f(-\frac{1}{2})<f(\frac{1}{2})\)4.若函数\(f(x)=x^2-2mx+1\)在区间\([2,+\infty)\)上单调递增，则实数\(m\)的取值范围是（）A.\((-\infty,2]\)B.\([2,+\infty)\)C.\((-\infty,-2]\)D.\([-2,+\infty)\)第二部分能力提升（60分）三、解答题（共60分）1.（10分）已知函数\(f(x)=\frac{2x+1}{x-1}\)，求：（1）函数\(f(x)\)的定义域；（2）\(f(3)\)的值及\(f(a+1)\)（\(a\neq0\)）的表达式；（3）判断函数\(f(x)\)在区间\((1,+\infty)\)上的单调性，并用定义证明。解：________________________________________________________________2.（12分）已知函数\(f(x)=x^2-4x+5\)，回答下列问题：（1）将函数\(f(x)\)化为顶点式\(f(x)=a(x-h)^2+k\)的形式，并写出其对称轴和顶点坐标；（2）求函数\(f(x)\)在区间\([-1,3]\)上的最大值和最小值；（3）若函数\(g(x)=f(x)-mx\)在区间\([2,4]\)上单调递增，求实数\(m\)的取值范围。解：________________________________________________________________3.（14分）已知函数\(f(x)\)是定义在R上的奇函数，且当\(x>0\)时，\(f(x)=x^2-2x\)。（1）求\(f(0)\)的值；（2）求当\(x<0\)时，函数\(f(x)\)的解析式；（3）画出函数\(f(x)\)的大致图像，并根据图像写出函数\(f(x)\)的单调递增区间；（4）解不等式\(f(x)>0\)。解：________________________________________________________________4.（12分）已知函数\(f(x)=\frac{1}{x}+ax\)（\(a\)为常数），且\(f(1)=3\)。（1）求\(a\)的值；（2）判断函数\(f(x)\)在区间\((0,+\infty)\)上的单调性，并用定义证明；（3）若\(f(x)\geqm\)在区间\([1,3]\)上恒成立，求实数\(m\)的最大值。解：________________________________________________________________5.（12分）某商场销售一种进价为20元/件的商品，售价为\(x\)元/件（\(x\geq20\)），每天的销售量为\(y\)件，且销售量\(y\)与售价\(x\)之间的关系为\(y=-10x+500\)。设每天的利润为\(w\)元。（1）求\(w\)与\(x\)之间的函数关系式，并写出自变量\(x\)的取值范围；（2）当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？（3）若商场规定该商品每天的利润不低于2000元，求售价\(x\)的取值范围。解：________________________________________________________________第三部分拓展探究（40分）四、综合题（共40分）1.（20分）已知函数\(f(x)=\frac{x^2+1}{x}=x+\frac{1}{x}\)（\(x\neq0\)），称为“对勾函数”，其图像具有独特的性质。（1）判断函数\(f(x)\)的奇偶性，并说明理由；（2）求证：函数\(f(x)\)在区间\((0,1]\)上单调递减，在区间\([1,+\infty)\)上单调递增；（3）利用（2）的结论，求函数\(f(x)=x+\frac{4}{x}\)在区间\([2,5]\)上的最大值和最小值；（4）若函数\(g(x)=x+\frac{k}{x}\)（\(k>0\)）在区间\([1,3]\)上的最小值为4，求实数\(k\)的值。解：________________________________________________________________2.（20分）已知函数\(f(x)\)是定义在R上的偶函数，且对任意的\(x_1,x_2\in[0,+\infty)\)（\(x_1\neqx_2\)），都有\(\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}<0\)。（1）判断函数\(f(x)\)在区间\([0,+\infty)\)上的单调性，并说明理由；（2）若\(f(2)=0\)，解不等式\(f(x-1)>0\)；（3）若\(f(x)\)在区间\([-5,0]\)上的最大值为8，最小值为-1，求函数\(f(x)\)在区间\([0,5]\)上的最大值和最小值；（4）若\(f(x)\)满足\(f(x+2)=f(x)\)，且当\(x\in[0,1]\)时，\(f(x)=x^2\)，求\(f(\frac{5}{2})\)和\(f(-\frac{3}{2})\)的值。解：________________________________________________________________参考答案及解析第一部分基础巩固一、填空题1.\([2,3)\cup(3,+\infty)\)（解析：由\(2x-4\geq0\)得\(x\geq2\)，由\(x-3\neq0\)得\(x\neq3\)，故定义域为\([2,3)\cup(3,+\infty)\)）2.1，1（解析：由\(f(0)=c=2\)，\(f(1)=a+b+2=3\)，\(f(-1)=a-b+2=1\)，解得\(a=1\)，\(b=1\)）3.\((-\infty,2)\)（解析：一次函数单调递减则斜率小于0，即\(k-2<0\)，得\(k<2\)）4.6，2（解析：\(f(x)=(x-1)^2+2\)，对称轴为\(x=1\)，\(f(1)=2\)，\(f(3)=6\)，故最值为6和2）5.0，-1（解析：奇函数满足\(f(-x)=-f(x)\)，得\((-x)^3+a(-x)=-x^3-ax=-(x^3+ax)\)，故\(a=0\)，\(f(-1)=-1\)）6.3，\(f(x)=-2x-1\)（解析：偶函数\(f(-2)=f(2)=3\)，\(x<0\)时\(-x>0\)，\(f(x)=f(-x)=-2x-1\)）二、选择题1.B（解析：A定义域不同，C定义域不同，D定义域不同，B中\(g(x)=|x|\)与\(f(x)\)定义域、对应关系均相同）2.D（解析：A为减函数，B在\((1,+\infty)\)递增，C为减函数，D在R上递增）3.A（解析：奇函数\(f(0)=0\)，B中\(f(-1)=-f(1)\)，故\(f(-1)>f(1)\)，D同理\(f(-\frac{1}{2})>f(\frac{1}{2})\)）4.A（解析：对称轴为\(x=m\)，二次函数开口向上，在\([m,+\infty)\)递增，故\(m\leq2\)）第二部分能力提升三、解答题1.解：（1）定义域为\((-\infty,1)\cup(1,+\infty)\)（2分）（2）\(f(3)=\frac{7}{2}\)，\(f(a+1)=\frac{2a+3}{a}\)（4分）（3）单调递减。证明：任取\(1<x_1<x_2\)，\(f(x_1)-f(x_2)=\frac{-7(x_1-x_2)}{(x_1-1)(x_2-1)}>0\)，故递减（4分）2.解：（1）\(f(x)=(x-2)^2+1\)，对称轴\(x=2\)，顶点\((2,1)\)（3分）（2）最大值\(f(-1)=10\)，最小值\(f(2)=1\)（3分）（3）\(g(x)=x^2-(4+m)x+5\)，对称轴\(x=\frac{4+m}{2}\leq2\)，得\(m\leq0\)（6分）3.解：（1）\(f(0)=0\)（2分）（2）\(x<0\)时，\(f(x)=-x^2-2x\)（3分）（3）递增区间\((-\infty,-1]\)和\([1,+\infty)\)（3分）（4）不等式解集为\((-2,0)\cup(2,+\infty)\)（6分）4.解：（1）\(a=2\)（2分）（2）在\((0,\frac{\sqrt{2}}{2}]\)递减，\([\frac{\sqrt{2}}{2},+\infty)\)递增（4分）（3）\(m\)最大值为3（6分）5.解：（1）\(w=-10x^2+700x-10000\)，\(x\in[20,50]\)（4分）（2）售价35元时，最大利润2250元（4分