2025年线性代数矩阵的秩专题试题

2025年线性代数矩阵的秩专题试题一、填空题（每小题3分，共30分）设矩阵(A=\begin{pmatrix}1&2&3\2&4&t\3&6&9\end{pmatrix})，若(r(A)=1)，则(t=)6。解析：矩阵的行向量成比例时秩为1，第2行是第1行的2倍，第3行是第1行的3倍，故(t=3\times2=6)。已知(A)为(3\times4)矩阵，且(r(A)=2)，则齐次线性方程组(Ax=0)的解空间维数为2。解析：解空间维数=未知数个数-(r(A)=4-2=2)。设(A)为(n)阶可逆矩阵，则(r(A)=)n。解析：可逆矩阵的行列式非零，最高阶非零子式为(n)阶，故秩为(n)。矩阵(A=\begin{pmatrix}1&0&0\0&0&1\0&0&0\end{pmatrix})的秩为2。解析：非零行有2行，故秩为2。若(A)为(m\timesn)矩阵，(B)为(n\timesp)矩阵，且(AB=O)，则(r(A)+r(B)\leq)n。解析：由矩阵乘法秩的性质直接可得。设向量组(\alpha_1=(1,2,3)^T)，(\alpha_2=(2,4,t)^T)，(\alpha_3=(3,6,9)^T)的秩为1，则(t=)6。解析：向量组线性相关且秩为1，各向量成比例，故(t=6)。设(A)为(4\times5)矩阵，(r(A)=3)，则(r(A^T)=)3。解析：矩阵的秩与其转置矩阵的秩相等。已知(A=\begin{pmatrix}a&1&1\1&a&1\1&1&a\end{pmatrix})，若(r(A)=2)，则(a=)-2。解析：行列式(|A|=(a+2)(a-1)^2=0)，当(a=1)时秩为1，故(a=-2)。设(A)为(2\times3)矩阵，(B)为(3\times2)矩阵，则(r(AB)\leq)2。解析：矩阵乘积的秩不超过各因子矩阵的秩，(r(A)\leq2)，(r(B)\leq2)，故(r(AB)\leq2)。若(A)为幂等矩阵（(A^2=A)），则(r(A)+r(E-A)=)n（(E)为(n)阶单位矩阵）。解析：由幂等矩阵的性质(A(E-A)=O)及秩的不等式可得。二、选择题（每小题3分，共30分）设(A)为(m\timesn)矩阵，下列命题正确的是（）A.若(r(A)=m)，则(Ax=b)必有解B.若(r(A)=n)，则(Ax=b)必有唯一解C.若(m>n)，则(Ax=b)无解D.若(m<n)，则(Ax=b)有无穷多解答案：A解析：(r(A)=m)时，增广矩阵(\bar{A})的秩(r(\bar{A})\geqr(A)=m)，又(r(\bar{A})\leqm)，故(r(\bar{A})=r(A))，方程组有解。设(A)为(n)阶方阵，且(A^2=A)，则下列结论错误的是（）A.(r(A)+r(E-A)=n)B.(A)可对角化C.(r(A)=r(A^2))D.(A)必为单位矩阵答案：D解析：幂等矩阵不一定是单位矩阵，例如(A=\begin{pmatrix}1&0\0&0\end{pmatrix})。向量组(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)的秩为2，则下列说法正确的是（）A.任意两个向量线性无关B.必有一个向量可由其余两个线性表示C.三个向量线性无关D.任意两个向量线性相关答案：B解析：秩为2说明极大无关组含2个向量，故必有一个向量可由其余两个表示。设(A)为(3\times3)矩阵，(|A|=0)，且(A)有一个2阶子式非零，则(r(A)=)（）A.0B.1C.2D.3答案：C解析：最高阶非零子式为2阶，故秩为2。设(A,B)均为(n)阶方阵，则下列结论正确的是（）A.(r(A+B)=r(A)+r(B))B.(r(AB)=r(BA))C.(r(A)=r(A^T))D.若(r(A)=n)，则(r(AB)=r(B))答案：C,D解析：C为矩阵秩的基本性质；D中(A)可逆，故(r(AB)=r(B))。设(A)为(m\timesn)矩阵，(P)为(m)阶可逆矩阵，(Q)为(n)阶可逆矩阵，则（）A.(r(PA)=r(A))B.(r(AQ)=r(A))C.(r(PAQ)=r(A))D.以上都正确答案：D解析：可逆矩阵乘矩阵不改变其秩。齐次线性方程组(Ax=0)有非零解的充要条件是（）A.(r(A)<n)B.(r(A)=n)C.(|A|=0)D.(A)为方阵答案：A解析：未知数个数为(n)，秩小于(n)时解空间维数大于0，有非零解。设(A=\begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix})，则(r(A)=)（）A.0B.1C.2D.3答案：C解析：行列式(|A|=1\times4-2\times3=-2\neq0)，故秩为2。向量组(\alpha_1=(1,0,0)^T)，(\alpha_2=(0,1,0)^T)，(\alpha_3=(1,1,0)^T)的秩为（）A.1B.2C.3D.0答案：B解析：(\alpha_3=\alpha_1+\alpha_2)，极大无关组含2个向量。设(A)为(n)阶方阵，(r(A)=n-1)，则(r(A^)=)（）A.(n)B.(n-1)C.1D.0答案：C解析：由伴随矩阵秩的性质，当(r(A)=n-1)时，(r(A^)=1)。三、计算题（每小题10分，共60分）1.求矩阵(A=\begin{pmatrix}1&2&3&4\2&3&4&5\3&4&5&6\4&5&6&7\end{pmatrix})的秩。解：对(A)作初等行变换：[A\xrightarrow{r_2-2r_1,r_3-3r_1,r_4-4r_1}\begin{pmatrix}1&2&3&4\0&-1&-2&-3\0&-2&-4&-6\0&-3&-6&-9\end{pmatrix}\xrightarrow{r_3-2r_2,r_4-3r_2}\begin{pmatrix}1&2&3&4\0&-1&-2&-3\0&0&0&0\0&0&0&0\end{pmatrix}]非零行有2行，故(r(A)=2)。2.设向量组(\alpha_1=(1,1,2,3)^T)，(\alpha_2=(1,-1,1,1)^T)，(\alpha_3=(1,3,3,5)^T)，(\alpha_4=(4,-2,5,6)^T)，求该向量组的秩及一个极大无关组。解：以向量组为列构造矩阵(A)，作初等行变换：[A=\begin{pmatrix}1&1&1&4\1&-1&3&-2\2&1&3&5\3&1&5&6\end{pmatrix}\xrightarrow{\text{行变换}}\begin{pmatrix}1&1&1&4\0&-2&2&-6\0&0&0&0\0&0&0&0\end{pmatrix}]秩为2，极大无关组为(\alpha_1,\alpha_2)（或(\alpha_1,\alpha_3)等）。3.设矩阵(A=\begin{pmatrix}1&1&-1\2&a&-1\4&2&a\end{pmatrix})，讨论(a)为何值时，(r(A)=2)；(r(A)=3)。解：计算行列式(|A|=(a-2)(a+1))：当(|A|\neq0)，即(a\neq2)且(a\neq-1)时，(r(A)=3)；当(a=2)时，(A\xrightarrow{\text{行变换}}\begin{pmatrix}1&1&-1\0&0&1\0&0&0\end{pmatrix})，(r(A)=2)；当(a=-1)时，(A\xrightarrow{\text{行变换}}\begin{pmatrix}1&1&-1\0&-3&1\0&0&0\end{pmatrix})，(r(A)=2)。4.设非齐次线性方程组(\begin{cases}x_1+x_2+x_3=1\2x_1+x_2-x_3=2\ax_1+bx_2+cx_3=d\end{cases})，问(a,b,c,d)满足什么条件时，方程组有唯一解、无解、无穷多解？解：增广矩阵(\bar{A}=\begin{pmatrix}1&1&1&1\2&1&-1&2\a&b&c&d\end{pmatrix}\xrightarrow{\text{行变换}}\begin{pmatrix}1&1&1&1\0&-1&-3&0\0&b-a&c-a&d-a\end{pmatrix})唯一解：(r(A)=r(\bar{A})=3)，即(b-a\neq0)且(c-a+3(b-a)\neq0)；无解：(r(A)=2)，(r(\bar{A})=3)，即(d-a-(b-a)\neq0)；无穷多解：(r(A)=r(\bar{A})=2)，即(d-a-(b-a)=0)且(c-a+3(b-a)=0)。5.设(A=\begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix})，(B=\begin{pmatrix}1&0\0&0\end{pmatrix})，求(r(AB))和(r(BA))。解：(AB=\begin{pmatrix}1&0\3&0\end{pmatrix})，秩为1；(BA=\begin{pmatrix}1&2\0&0\end{pmatrix})，秩为1。6.设向量组(\alpha_1=(1,2,3)^T)，(\alpha_2=(2,1,0)^T)，(\alpha_3=(3,4,t)^T)，问(t)为何值时，向量组线性相关？并求出此时向量组的秩。解：行列式(|\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3|=3(t-3))：当(t=3)时，行列式为0，向量组线性相关，秩为2；当(t\neq3)时，向量组线性无关，秩为3。四、证明题（10分）题目：设(A)为(m\timesn)矩阵，(B)为(n