2026高考数学复习：导数

【考点1:利用导数研究函数的单调性】...........................................................1

【考点2：利用导数研究函数的极值或最值】.......................................................4

【考点3：利用导数证明或求解不等式】...........................................................8

【考点4：利用导数研究恒、能成立问题】........................................................11

【考点5：利用导数研究函数的零点或方程的根】..................................................14

【考点6：导数中的新定义问题】................................................................15

【考点7：极值点偏移问题】.....................................................................21

【考点1：利用导数研究函数的单调性】

【知识点：利用导数研究函数的单调性】

1.函数单调性和导数的关系

(1)函数的单调性与导函数/(.，)的正负之间的关系

①单调递增：在某个区间(a4)上，如果/(外>0,那么函数〉Mx)在区间5,6)上单调递增:

②单调递减：在某个区间(a⑼上，如果/(幻<0,那么函数产危)在区间(。⑼上单调递减.

2.利用导数判断不含参函数单调性的步骤

(1)确定函数/(X)的定义域；

(2)求出函数/(X)的导数；

(3)在定义域内求解不等式/(x)>0,求得其解集，再根据解集写出单调递增区间;

(4)在定义域内求解不等式/(.x)vo,求得其解集，再根据解集写出单调递减区间.

注：单调区间不以“并集”出现.

3.构造函数研究单调性

⑴关系式为“加”型

①f(x)+/(x)20：构造©/)］"［/8)9创；

②般(木危)20：构造必必：如)+心)；

③叭x)+Mx)20：构造［;</(刈'=;<八》)+/"1儿:)=;仪卬。)+祖切.

(注意对X的符号进行讨论)

⑵关系式为“减”型

(iy-(，w>o：构造［知］J7；八桃，=/«/(乜

(2)x/V):/(x)^0：构造

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c、〃\"\>n珈梏[/(£)]，一x"/'(x)_〃x'i/(x)_xfM-nfM

(3)VXx)-4/(x)20：构造---------Qp--------------k------

4.含参函数的分类讨论

利用导数研究函数的单调性主要是利用导数的正负与函数单调性的关系得出相应结论，导函数的符号

决定了函数的单调性，而导函数的变号零点恰好是其分界点，故/(x)=0是否有根及根的位置是分类讨论的

标注，一般可以按方程在定义域内有根、无根以及根的大小等方面来分类讨论.

5.单调性的逆向求参问题

(1)函数人工)在(。,方)上单调递增，则/(x)20且/(x)在他,方)的任意子区间上不恒为0；

(2)函数人x)在Q,份上单调递减，则/(x)W0且/(x)在(")的任意子区间.上不恒为0.

6.根据函数单调性求参数的一般思路：

(1)利用集合间的包含关系处理：歹=/(x)在(。力)上单调，则区间(。力)是相应单调区间的子集.

(2)/(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的.隹(。力)都有/(x)K)(f(x)W0)，且在(。力)内的任一非空子区间上，

/(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解.

(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.

1.(24-25高二下•重庆•期中)函数/(x)=x-xlnx的单调递增区间为()

A.(一81)B.(0,1)C.(0,e)D.(1,+%)

2.(24-25高二下•北京•期中)已知函数/(幻=以2+±在区间(1,+co)上单调递增，则。的取值范围是()

X

|，y3

A.[6,+cc)B.C.D.

4

3.(24-25高二下•重庆•期中)若函数=/a，在@+8)上不单调，则实数。的取值范围为()

A.(0,1)B.(0,e]C.[e,-Ko)D.(e,+oo)

4.(山东省德州市优高联盟2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题)已知定义在R上的函数”工)的

导函数为f'W，且/(x)+r(x)=4"(O)=l,则/⑴J(2)J(e)的大小关系为()

e

A./(l)</(2)</(e)B./(e)<〃2)〈/⑴

C./(2)</(1)</(e)D./(e)</(l)</(2)

、o

5.(24-25高二下•福建福州•期中)已知/'(x)是函数/(z"的导数，rG)+/(x)<0J(2)=r，则不等式

e*

〃lnx)>(的解集是()

A.(0,2)B.(0,e2)C.(2,+8)D.(e\+co)

6.(24-25高二下•北京•期中)已知函数/(©=/-3--9工+2,求：

⑴函数)可(X)的图象在点(0，/(()))处的切线方程；

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(2)求f(x)的单调递增区间.

7.(24-25高二下•福建三明•期中)已知函数f(x)=eJax-2,awR,e是自然对数的底数.

⑴讨论函数/("的单调性；

⑵若关于％的方程/(1)+2=()有两个不等实根，求。的取值范围.

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2.求可导函数极值的步骤

(1)求函数的定义域；

(2)求导函数/(x)：

(3)在原函数的定义域内，求方程/(x尸0的所有实数根；

(4)对每个实数根进行检验，判断在每个根的左右两侧，导数/W的符号变化情况.

3.根据函数极值求参数的一般思路：

(1)已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列

方程组，利用待定系数法求解.

(2)导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验.

4.函数的最大值与最小值

(1)一般地，如果在区间口⑸上函数尸/⑶的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值，

并且函数的最值必在极值点或区间端点处取得.当/(x)的图象连续不断且在口⑸上单调时，其最大值和最小值

分别在两个端点处取得.

(2)函数的极值与最值的区别

①极值是对某一点附近(即局部)而言的，最值是对函数的整个定义区间而言的.

②在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值最多有一个.

③函数以丫)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点.

5.函数最值的求解思路

求函数y=/(x)在心力]上的最大值与最小值的步骤如下：

(1)求函数产於)在(0力)内的极值;

(2)将函数月(x)的各极值与端点处的函数值火0,./(份比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是

最小值.

6.求含有参数的函数的最值的解题策略

求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，

从而得到函数/(X)的最值.

1.(24-25高二下•山西吕梁・期中)若函数/。)=/]1-汗+(〃T)x在x=l处取得极大值，则实数。的

取值范围是()

,,33

A.a<\B.a>1C.«<-D.a>—

22

2.(2025•湖南•三模)已知函数=—\cos2x,则下列关于函数/*)的极值点的叙述，

正确的是()

A.既没有极大值点也没有极小值点B.既有极大值点也有极小值点

C.有且只有一个极小值点D.有且只有一个极大值点

3.(2025高三•全国•专题练习)在同一平面直角坐标系内，函数)，=/(*)及其导函数)，=/'(6的图象如图

所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为(0」)，则()

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y

A.函数y=/(x>e,的最大值为1B.函数y=的最小值为1

C.函数)，=里的最大值为1D.函数丁=冬的最小值为1

4.(24-25高三下•重庆•阶段练习)已知关于x的方程泮+e碓T=-f+2x+b有解，则8-。+1的最小值

为.

5.(24-25高二下•广东深圳•期中)已知函数/(x)=21nx+/i2(weR),在x=1处的切线与直线x+y+1=0

垂直.

(1)求。的值;

(2)求函数/*)的最大值.

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3

6.（24-25高二下•北京•期中）已知函数/（幻=胃一5奴2,其中。＞（）.

（1）当。=2时，求曲线在（1J⑴）处的切线方程；

（2）求函数/。）的单调区间；

（3）求fM在区间［0,1］上的最小值.

7.（24-25高二下•浙江•期中）已知函数/（同=/一以2_］+|,aeR且满足在x=l处取得极值,

⑴求实数〃的值；

⑵求函数y=/W在区间-g,2上的最大值和最小值.

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8.(24-25高二下・浙江杭州•期中)已知实数。>0,函数f(x)=r—

厂+a

⑴当〃=1时，求曲线y=/(x)在点(0，〃。))处的切线方程；

(2)记/(x)为“x)的导函数,试讨论((力的极值点的个数.

【考点3：利用导数证明或求解不等式】

【知识点：利用导数证明或求解不等式】

1.导数中的不等式证明

(1)一般地，要证/(x)>g(x)在区间(。，6)上成立，需构造辅助函数F(x)=/(x)—g(x),通过分析向(x)在端点

处的函数值来证明不等式.若%。)=0,只需证明产(x)在(a,b)上单调递增即可；若回3)=0,只需证明Qx)

在(。，力)上单调递减即可.

(2)在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，可考虑转化为两个函数的最值问题.

1.(2025•江西赣州•二模)设数列｛七｝的前〃项和为S“，则()

A.B.%<仆C.55(><13D.a5<|3a)-5«3|

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2.(24-25高二下咛夏♦期中)已知函数“xTVinx.

⑴求曲线y=f(x)在点处的切线方程;

(2)求证:当x>2时，/(x)>3x-4.

3.(2025•四川•三模)已知函数〃=f—"—4”.

J

⑴若0<”3,试判断函数/(“在区间(L3)内的极值点个数，井说明理由;

3

(2)当a=3,x>0时，求证：/(A)<(jr-4)e\(参考数据：e«20.1)

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4.(2025・福建厦门•三模)已知函数/(x)=y2_._2)x-2alnx,aeR.

⑴讨论f(x)的单调性;

(2)当a>0时,证明：f(x)>\na-a2+-.

2

5.(24-25高二下•山西•期中)已知函数f(x)=区一底(hR).

⑴付论/W的单调性；

⑵当出=1时，若g(x)=/(x+l)-。存在零点，求实数〃的取值范围;

⑶证明:

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6.（24-25高二下•安徽合肥•期中）已知函数73=d7.

⑴当x«0,+8）,时，/（力-12]恒成立，求实数。的取值范围;

（2）证明：E也卜＞n

2(〃+1]

【考点4：利用导数研究恒、能成立问题】

【知识点：利用导数研究恒、能成立问题】

1.导数中的恒（能）成立问题

解决不等式恒（能）成立问题有两种思路：

（1）分离参数法解决恒（能）成立问题，根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另

一端是变量表达式的不等式，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，即可解决问题.

（2）分类讨论法解决恒（能）成立问题，将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数进行分

类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，据此进行求解即可.

1.（24-25高二下•山东青岛•期中）若ae'-Inx+lniNO恒成立，则”的取值范围为（）

A.B.（0,e]C.g，+8D.[e,+co）

2.（24-25高二下•江西宜春•期中）若不等式21nx+〃?K0有解，则实数用的取值范围为.

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3.(24-25高二下•天津•期中)已知函数/(x)=f+or_2(aeR),雇x)==,若对任意rw[Tl],存在々eR，

e

使f($)<g(/)成立，则。的取值范围是.

4.(2025•甘肃白银•三模)已知函数/(x)=ae'-x+2,〃€R.

⑴讨论函数“X)的单调性；

⑵若/(可之炉恒成立，求。的取值范围.

5.(24-25高二下•北京•期中)已知函数/(司=寸—3/—9X+1(XWR).

⑴求函数的单调区间；

(2)若2〃-1V〃力对Vxe卜2闾恒成立.求实数〃的取值范围.

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6.(24-25高二下•江苏无锡•期中)已知函数〃”=/-研-1.

⑴当〃=1时，求f(x)的单调区间与极值;

⑵若/")=2在X«(),+8)上有解，求实数4的取值范围.

1,3

7.(24-25高二下•湖南•期中)设函数“x)=xcos^-天山，g(x)=/(x)+]sinx-2xcosx-a?.

⑴试判断函数仆)=­；sim•在区间卜)弓)上是否存在极值点，并说明理由；

(2)若任意％e[0,+8),不等式g(x)«。恒成立，求实数〃的取值范围.

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8.(24-25高二下•天津和平•期中)已知函数f(x)=e*—x-l,g(x)=alnx—x.

⑴求f(x)的单调区间和极值;

(2)若〃(x)=/(x)-g(x)在［L2］单调递增，求〃的取值范围；

⑶当avO时，若肛对"々U使得小)2/(々)，求〃的取值范围.

【考点5：利用导数研窕函数的零点或方程的根】

【知识点：利用导数研究函数的零点或方程的根】

1.导数中的函数零点(方程根)问题

利用导数研究含参函数的零点(方程的根)主要有两种方法：

(I)利用导数研窕函数寅刈的最值，转化为人刈图象与x釉的交点问题，主要是应用分类讨论思想解决.

(2)分离参变量，即由/(x)=O分离参变量，得a=g(x)，研究尸。与尸g(x)图象的交点问题.

2.与函数零点(方程根)有关的参数范围问题的解题策略

与函数零点(方程根)有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点

判断函数的大致图象，进而求出参数的取值范围.也可分离出参数，转化为两函数图象的交点情况.

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、lird,x>0,.、

1.（24-25高二下•甘肃酒泉•期中）设函数/（zx）={".若函数/（x）的图象与直线〃有两个交

点，则实数〃的取值范围是（）

A.（l，+8）B.-4-,0

C.U，0U（L+8）D.（0J]

2.（24-25高二下•浙江•期中）若三次函数/"）="3+工2+以+1（。>0）有三个相异且成等差的零点，则。

的取值范围为.

3.（24-25高二下•山东青岛•期中）已知函数/（x）=ei-山-&,若/（幻有两个零点，则实教女的取值范

围_____.

4.（24・25高二下•北京通州•期中）已知函数/（6=2|1词+：-1,给出下列四个结论：

①若2=0,/（"恰有2个零点；

②存在负数3使得/（%）恰有1个零点；

③存在负数攵，使得/"）恰有3个零点；

④存在正数h,使得/（x）恰有3个零点.

其中所有正确结论的序号是.

5.（24-25高二下•新疆和田♦阶段练习）已知函数/（力=。-、〃5

⑴时论函数/*）的单调性

⑵若函数/。）有2个零点，求实数，〃的取值范围.

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6.(24-25高二下•重庆•期中)已知函数/(x)=gf-3x+21nx.

⑴求在户1处的切线方程：

⑵若函数y=/(x)-。有3个不同的零点，求实数。的取值范围.

7.(24-25高二下•福建三明•期中)已知函数/(x)=e'-or-2,aeR,e是自然对数的底数.

⑴讨论函数的单调性；

⑵若关于x的方程〃x)+2=0有两个不等实根，求。的取值范围.

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8.(24-25百三下•重庆•阶段练习)已知函数f(x)=e'+at+sinx-

\+x

(1)当。=-3时，求证：“X)在区间(-1.0)上单调递增.

(2)若函数/⑴在区间(T,0),(0,桢)各恰有1个零点,求。的取值范围.

【考点6：导数中的新定义问题】

【知识点：导数中的新定义问题】

1.(242S高二下,湖北武汉期中)我们比较熟悉的网络新词，有“yyds”、”内卷〃、“躺平〃等，定义方程

/G)=r(x)的实数根x叫做函数“X)的“躺平点〃.若函数ga)=e'+x+2,h(x)Mnxt

9(x)=2025/+2025的“躺平点”分别为a,b,c,则a,h,c的大小关系为()

A.a<c<bB.c<a<bC.a<b<cD.c<b<a

2.(24-25高二下•浙江杭州•期中)定理：如果函数/(”及g(x)满足：①图像在闭区间可上连续不断;

②在开区间(。㈤内可导；③对g'(x)w0,那么在(4〃)内至少存在一点c,满足

f(b)-f(a)/'(c)

二中成立,该定理称为柯西中值定理.请利用该定理解决下面问题:

g(二b)-g(:a);g(c)

已知=若存在正数a,b(a<b),满足/S)=Rn：+/(a),则实数4的取值范围是(

)

41

A.C.

e4e

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3.（24-25高三下•广东东莞•阶段练习）类似于斜率，我们给出曲率的定义：如图所示，设曲线。是光滑的,

在曲线C上选定一点作为度量弧s的基点.设曲线上点例对应于弧s,在点M处的倾角为曲线上另

外一点对应于弧s+As,在点处的倾角为a+Aa,则弧段MM'的长度为I加I，当动点"转到M'时

切线转动的角度为|Aa|，用比值丁来表示弧段MAT的平均弯曲程度，叫做平均曲率，并记作N.类似于从

平均速度引入瞬时速度的方法，当这个M'趋于M时，上述平均曲率的极限就叫做曲线C在M处的曲率，

记作K，=处.在数学上给出曲率的公式:.（其中y,V分别表示y=/（x）

在点〃处的一阶、二阶导数），根据定义，椭圆小在点（6）的曲率为.

4.（24-25高二下•天津•期中）设广（工）是函数/（力的导函数，/（x）是函数:（力的导函数，若方程广（"）=0

有实数解与,则称点（与,/（/））为曲线N=/（%）的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数的图象都有"拐

点"，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.己知函数〃+3的图象的对称中心为（卜;

⑴求实数4〃的值;

（2）求/（x）的零点个数.

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5.（2025•广西桂林•一模）对V$，w，…,若函数/（可在有不等式

占麦室）J（xJ+/（?+…+〃/）,则称函数/⑴是在,回上的“凹函数〃，反之，若不等式

/仔+々+…+工），&）+/5）+…则称函数/"）是在,例上的“凸函数〃，当且仅当

%=再=・・=3时等号成立.也可理解为若函数/a）在［4司上可导，r（x）为/W在m目上的导函数，

广㈤为:（”在,向上的导函数，当/〃“）之0时，函数/（"是在在句上的“凹函数〃,反之,当广（“40

时，则称函数/（%）是在问上的“凸函数”.

⑴判断函数/（x）=ln（x+l）-x（x>0）的凹凸性；

⑵若W2…，琏2,令小人危+启+…+启（心）求比）的最小值J

⑶%为（2）问所得结果，证明不等式：器"脸（此2,〃eN）

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6.(2025•山东•二模)函数y=和y=g(x)有相同的定义域，导函数分别为r(x),g'(x),若在定义

域内均有r(x)Wg'(x)，则称'=八"是5=8(力的""一函数是

⑴判断尸tJx是否为产COSA・的“DT-函数〃，并证明；

(2)设y=/(x)和y=/(r)为定义在R上的函数，己知f(T)=〃x),g(x)=h(x)+h(-x)t/㈤是g(x)的

“DT一函数〃，证明：g(x)-/(x1=c(c・为常数)；

x+a

(3)若-IvavO,f(x)=x\nx-{a+2)xfg(x)=c(x-2),x>0,证明:/(x)是g(x)的"。丁一函数〃.

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【考点7：极值点偏移问题】

【知识点：极值点偏移问题】

1.极值点偏移的相关概念

所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对

称性.

极值点偏移的定义：对于函数y=/(x)在区间(。力)内只有一个极值点/，方程/(E)的解分别为

Xpx2,且4＜玉＜X2＜〃.

(1)若'工与,则称函数y=/(x)在区间(x,w)上极'直点不偏移；

(2)若号上＞与,则函数＞=/(