2026年高考数学一轮复习：直线与圆锥曲线的位置关系（讲义）原卷版

专题8.8直线与圆锥曲线的位置关系（举一反三讲义）

【全国通用】

题型归纳

【题型1直线与圆锥曲线的位置关系】..................................................................5

【题型2圆锥曲线的弦长问题】.........................................................................5

【题型3圆锥曲线的中点弦问题】......................................................................6

【题型4圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题】....................................................7

【题型5圆锥曲线中的参数范围及最值问题】...........................................................9

【题型6圆锥曲线中的定点、定值问题】...............................................................10

【题型7圆锥曲线中的定直线问题】...................................................................11

【题型8圆锥曲线与其他知识的综合问题】............................................................13

1、直线与圆锥曲线的位置关系

考点要求真题统计考情分析

2023年新高考I卷：第22题，

12分圆锥曲线是高考的重点、热点内

2023年新高考11卷：第21题，容，直线与圆锥曲线的位置关系是每

12分年高考必考内容.从近几年的高考情

2023年全国甲卷（理数）：第况来看，本节内容主要以解答题的形

20题，12分式考查，有时也会以多选题的形式考

（1）了解直线与圆锥曲线位置

2024年新高考I卷：第16题，查，考查方向主要有两个方面：一是

关系的判断方法

15分平面解析几何通性通法的研究；二是

⑵掌握直线被圆锥曲线所截

2024年新高考H卷:第10题，6圆锥曲线中的弦长、面积、最值、定

的弦长公式

分点、定值或定直线等问题的求解；高

（3）能利用方程及数形结合思

2024年新高考H卷：第19题，考复习时要加强圆锥曲线这方面内容

想解决焦点弦、中点弦问题

17分的训练.

2025年全国一卷：第10题，6从近几年的高考趋势来看，圆锥

分、第18题，17分曲线有时会与向量、数列等知识结合

2025年全国二卷：第16题，15考查，其思维要求高，计算量较大，

分需要灵活求解.

2025年天津卷：第18题，15分

知识梳理

知识点1直线与圆锥曲

1.直线与圆锥曲线的位置判断

将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y（或x）,得到关于M或y）的一元二次方程，则：

直线与圆锥曲线相交・>△>（）：直线与圆锥曲线相切一△=（）；直线与圆锥曲线相离一△<（）.

特别地，①与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交，有且只有一个交点.

②与抛物线的对称轴平行的宣线与抛物线相交，有且只有一个交点.

知识点2圆锥曲线中的弦长问题

1.椭圆的弦长问题

（1）定义：直线与椭圆的交点间的线段叫作椭圆的弦.

（2）弦长公式:设直线l:y=kx+m交椭圆才+不■=1（心/?>0）于P（（西,凹），（必,%）两点，

则IE尸2|=S+左2=-x2\或出P2I=J1+.1凹-玖1.

2.双曲线的弦长问题

（1）弦长公式:直线与双曲线相交所得的弦长d=+42kl—x2\=Ji+京ly—y2\.

（2）解决此类问题时要注意是交在同一-支，还是交在两支上.

（3）处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时，利用韦达定理、点差法的解题过程中，并没有条件确定直线与

圆锥曲线一定会相交，因此，最后要代回去检验.

（4）双曲线的通径：

过焦点且与焦点所在的对称轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径.无论焦点在x轴上还是在

y轴上，双曲线的通径总等于等.

3.抛物线的弦长问题

设有线与抛物线交于力夙4,g）两点，则I4同=，（I*〃2）（汨一不）2=+a2.，（汨+厂）2—4M4或

M附J（1+表）（M一92=J+表.力（凹+心）-4.”（%为直线的斜率，原0）.

知识点3圆锥曲线中的中点弦与焦点弦问题

1.椭圆的“中点弦问题”

（1）解决椭圆中点弦问题的两种方法

①根与系数的关系法:联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系

数的关系以及中点坐标公式解决.

②点差法:利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐

标和斜率的关系.

2，匡+监=】，①

设MMJJ,8（X2,为），代入椭圆方程'+台=1（心加0），得4,2，

Q口翡工②

①」②可得（…叫…）+'+吗）…）=0,

设线段的中点为尸（看,然），当xyX2时，有"+爷公=0・

因为尸（工。,此）为弦48的中点，从而转化为中点P（x。,泗）与直线力〃的斜率之间的关系，这就是处理弦中点

轨迹问题的常用方法.

⑵弦的中点与直线的斜率的关系

三十匕

线段力〃是椭圆=1（心历＞0）的一条弦，当弦力8所在直线的斜率存在时，弦力8的中点切的坐标为

a2b2

&。,必），则弦/5所在直线的斜率为即岫“38=b\.

2.双曲线的“中点弦问题”

“设而不求”法解决中点弦问题：

①过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点，这样的直线一定存在，但在双曲线的这类

问题中，则不能确定.要注意检验.

②在解决此类问题中，常用韦达定理及垂直直线的斜率关系.常用的解题技巧是如何应用直线方程将凹心转

化为能用韦达定理直接代换的为44,垂直关系有时用向量的数量关系来刻画，要注意转化.

3.抛物线的焦点弦问题

抛物线），2=2〃如＞0）上一点与焦点A（§,0）的距离为|阳=*+勺若"N为抛物线炉=2川3＞0）的焦

点弦，则焦点弦长为|MN1=Xi+.r2+p（汨,x2分别为M,N的横坐标）.

设过抛物线焦点的弦的端点为力（盾,”）,3（历,外），则四种标准方程形式下的弦长公式为:

标准方程弦长公式

f=2px(p＞0)\AB\=X\-Xr¥p

产-2〃心＞0)M8|=p-(X|+X2)

/=20。＞0)\AB\=y\-y^p

4-20。＞0)M8|=p-5+y2)

知识点4圆锥曲线中最值问题的解题策略

1.处理圆锥曲线最值问题的求解方法

圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：

一是利用几何法,即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；

二是利用代数法,即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个（些）参数的函数（解析式），然后利用函数

方法、不等式方法等进行求解.

知识点5圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题

1.圆锥曲线中的定点、定值问题

圆锥曲线中的定点定值问题一般与圆锥曲线的基本量和题设条件中的给定的点或值有关，曲线过定点问题

以直线过定点居多，定点问题其实也可以归结到定值问题（定点的横纵坐标为定值）.这类问题用函数的思想方

法来处理，具体操作流程如下：

(1)变量---选择合适的参变量；

(2)函数一一要证明为定值的量表示出参数的函数；

(3)定值一一化简函数解析式，消去参数得定值.

一些存在性问题，是否存在定点使得某一个量为定值，是否存在定值使得某一量为定值，是否存在定点使

得曲线过定点，是否存在定值使得曲线过定点，可以看做定点定值问题的延伸.

2.过定点问题的两大类型及解法

(1)动直线/过定点问题

解法：设动直线方程(斜率存在)为y=kx+t,由题设条件将t用k表示为£=mk+n,得y=k(x+m)+n,

故动直线过定点(-m,n)；

(2)动曲线C过定点问题

解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点.

3.求解定值问题的三个步骤

(1)由特例得出一个值，此值一般就是定值：

(2)证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关;

也可令系数等于零，得出定值；

(3)得出结论.

4.圆锥曲线中的定直线问题

定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题.这类问题的核心在「确定定点的轨

迹，主要方法有：

(1)设点法:设点的轨迹，通过已知点轨迹，消去参数，从而得到轨迹方程：

(2)待定系数法:设出含参数的直线方程、待定系数法求解出系数；

(3)验证法:通过特殊点位置求出直线方程，对一般位置再进行验证.

知识点6圆锥曲线中的探索性问题的解题策略

1.圆锥曲线中的探索性问题

此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可允假设条件成立，再验证结论是否成立，成

立则存在，否则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对

参数的讨论.

【方法技巧与总结】

22

1.已知M,N是椭圆C：%+£=1(心6>0)上的两点，点O为坐标原点，且尸是M,N的中点，则

2.若曲线为双曲线，其余条件不变，则〃言.

3.若曲线为抛物线，P(xo,%)为弦MN的中点：七块=上(开口向右)，上的=一旦(开口向左)，3m=也(开

y()y<)P

口何上),——(开口向下).

举一反三

【题型1直线与圆锥曲线的位置关系】

【例1】（24-25高二上・江西•期末）直线；+看=1与椭圆《+%=1（a＞/）＞0）的位置关系为（）

A.相离B.相切C.相交D.无法确定

【变式1-1]（2025北京门头沟一模）"=_1会是“直线、=4：0-3）与双曲线3一/2=1只有一个公共点”

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【变式1-2]（2025・天津•二模）"A=，是"直线＞=依+1与抛物线y2=2x只有一个公共点”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【变式1-3]（24・25高二上•浙江温州•期末）已知直线上y=k（%+3）+1与曲线C:y=g1左有两个公共

点，则攵的取值范围是（）

A.（-1,0）B.[-1,0）C.D.

【题型2圆锥曲线的弦长问题】

【例2】（24-25高二上•重庆•期末）已知椭圆C:9+%2=1的一个焦点是凡过原点的直线与C相交于点4B,

△4BF的面积是?，则|4B|=（）

A3向C6遮厂V185n2V185

A-VB.MC.—D--

【变式2-1]（2024・北京•模拟预测）已知双曲线C:y2-9=1的两个焦点分别为91，尸2,过打的直线与双曲

线C的同一支交于4B两点，且|B%|=2|4%|,则线段A8的长度为（）

927

A.-4B.9C.4-D.6

【变式2-2]（2025•辽宁•模拟预测）己知抛物线y2=位焦点为凡过尸的直线I与抛物线交于A,B两点（点、A

在第一象限），其准线与%轴交于点K,若线段8F的垂直平分线恰好过K,则|/1阴=（）

.8gB*

A-VC.V3D.2

【变式2-3](25-26高三上•安徽阜阳•开学考试)已知椭圆C：[+<=1的左焦点为尸I，不经过/且斜率为

43

%的直线交C于48两点.当△尸1，4B的周长最大时，\AB\=()

B.华资>?

【题型3圆锥曲线的中点弦问题】

【例3】(2025辽宁本溪模拟预测：己知椭圆£=19>b>0)的右焦点为尸(1,0),A为C上一点，|明

的最小值为1.

(1)求。的方程；

(2)设点M(4,0),斜率不为0的直线与C交于另一点比

(i)若弦A8中点的纵坐标为-5，求直线的斜率；

(ii)若。为。上一点，旦点。与点力关于％轴对称，证明：8,D,尸三点共线.

【变式3-1](2025•广东广州•三模)已知双曲线C:%2-4=1.

«5

(1)若直线/与双曲线。相交于4,8两点，线段48的中点坐标为(3,3),求直线/的方程；

(2)若P为双曲线。右支上异于右顶点的一个动点，尸为双曲线C的右焦点，x轴上是否存在定点

“。0)(£<()),使得/「产时=242"/？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由.

【变式3-2](2025•云南•模拟预测)已知椭圆£「+)/2=13>1)的焦距为2心抛物线C:y?=2px(p>0)

的焦点尸是E的一个顶点.

(1)求抛物线C的标准方程：

(2)若直线2与。交于M,N两点，且点Q(2,2)为线段M/V的中点.

(i)求直线[的方程；

(ii)若。为坐标原点，求aOMN的面枳.

【变式3-3](2025天津宁河模拟预测)已知椭圆摄+£=l(a>b>0)过点(—质1),长轴长为2后过

点式-1,0)且斜率为k的直线L与椭圆相交于不同的两点4、B.

(1)求椭圆的方程；

(2)若线段中点的横坐标是-5求直线1的斜率；

(3)在%轴上是否存在点M,使西？•丽+占是与k无关的常数？若存在，求出点M的坐标：若不存在，请说

明理由.

【题型4圆锥曲线中的三角形(四边形)面积问题】

【例4】(2025•河北衡水•模拟预测)如图，已知直线，与抛物线y2=2px(p>0)交于48两点，且04108,

0D1AB于点0(1,1).

(1)求直线2的方程;

(2)求△C4B的面积.

【变式4-1](2025•浙江金华•三模)双曲线。':〉5=1(。>0/>0)的离心率为遥，过左焦点尸的直线/

与双曲线的左支、右支分别交于点48,当直线1与y轴垂直时，\AB\=2V3.

⑴求双曲线C'的方程；

(2)点(7(12,0)满足C8||。力，其中0是坐标原点，求四边形仇4仇的面积.

【变式4-2](24-25高二下•贵州安顺・期末)已知平面内一动点P(")到点尸(1,0)的距离与它到百线％=4的

距离之比为;，过点F的直线I与动点P的轨迹C相交于4B两点.

⑴求动点P的轨迹。的方程.

(2)是否存在直线，，使得△力。8的面积为百？若存在，求出直线，的方程；若不存在，请说明理由.

【变式4-3](2025・天津•一模)已知椭圆+^=l(a>b>0)的离心率为右左顶点为儿上顶点为8,△OAB

的面积为VI

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点P(0,-3)的动直线/与椭圆。交于不同的两点M,N("在P,N之间)，求受”的取值范围.

'△CPM

【题型5圆锥曲线中的参数范围及最值问题】

【例5】(2025•天津南开•二模)已知椭圆。:《+《=1(。>6>0)的左、右焦点分别是尸2，M(1，3为。上

一点，且在△F1M&中，tan乙

(I)求椭圆C的方程；

(2)过点。(1,3)的直线2与椭圆(?交于48两点(点/在点8的上方)，线段上存在点Q,使得黑一黑J,求

IQ&I+IQF2I的最小值.

【变式5-1](2025•浙江绍兴•模拟预测)已知点P在圆。:/+产=4上，作P。垂直于、轴，垂足为。，点M

为PD中点.

(1)求动点M的轨迹E的方程；

(2)直线Ly=kx+加与尸轴交于点Q,与E交于4、8两个相异点，且而=3诬，求m?的取值范围.

【变式5-2](2025•海南海口•模拟预测)设48两点的坐标分别为(一1,0),(1,0)直线4W,8M相交于点

且它们的斜率之积为3.

(1)求点股的轨迹方程C；

(2)若直线/与C交于P,。两点，且丽•丽=0(点。为坐标原点)，求IPQI的取值范围.

【变式5-3](2025・湖北十堰•三模)已知点4、B在抛物线Cd=2py(p>0)上，。为原点，且△(MB是以

为斜边的等腰直角三角形，斜边长为4.

(1)求抛物线。的方程：

(2)若点P在圆Q:/+(y+4)2=4上，过点P分别作的直线，1、%与抛物线。相切于“、N两点，求tan/MPN

的取值范围.

【题型6圆锥曲线中的定点、定值问题】

【例6】(2025•宁夏中卫•三模)已知双曲线C：5一，=1(。＞0,6＞0)的窝心率为2,其右焦点户到一条

渐近线的距离为次.

(1)求双曲线C的方程；

(2)若直线，：丫=心:+巾(左＞0,血＞0)与双曲线。交于不同的两点力，8,且以线段48为直径的圆经过点

P(l,0),证明：直线!过定点.

22

【变式6-1](2025•福建三明•模拟预测)已知椭圆/+£=13〉6＞0)的左顶点为4上顶点为B,离心率

为右△力。8的面积为技

(1)求椭圆的方程；

(2)直线y=kx(k存在且不等于0)与椭圆交于尸，Q两点，直线24与y轴交于点M,直线Q力与直线、=匕交

于点N,判断右月一ZMN是否为定值并证明.

【变式6-2](2025•河北唐山•模拟预测)己知直线％-2、+4=0与抛物线。：/=4y交于两点，且48

分别在第一、二象限，Q为线段的中点.设C在点AB处的切线交于点P,。为曲线段4B(不含端点)上一

点，C在点。处的切线与直线P4,PB分别交于点M,N.

（1）证明：

①直线PQlx轴：

②四边形MPNQ的面枳为定值；

（2）设△PMN的外接圆为圆E,问：圆E是否过定点（点P除外）？若过定点，求出定点坐标；不过定点，请

说明理由.

【变式6-3]（2025•北京大兴•三模）已知椭圆E：（a>b>0）的短轴长为2遥，过左焦点?（-1,0）

作两条互相垂直的直线，I，12,分别交椭圆E于4B和C,D四点.设AB,CD的中点分别为M,N.

（1）求椭圆E的方程；

（2）直线MN是否经过定点？若是，求出定点坐标；若否，请说明理由.

【题型7圆锥曲线中的定直线问题】

【例7】（2025•安徽蚌埠•三模）己知椭圆。:5+5=1（。>8>0）的离心率为5点p（31）在椭圆。上.

（1）求椭圆C的标准方程；

⑵过点Q（0,6）的直线（非y轴）交椭圆于4B两点,过点力作），轴的垂线与直线8P相交于点。，求证:

线段力。的中点在定直线上.

【变式7-1]（2025•甘肃白银•三模）已知椭恻c/+，=l（a>b>0）的左、右焦点分别为％,F2,上、下

顶点分别为当，B2,四边形列为B2F2为正方形，点E(2a,0),且△为EB2的面积为4夜.

(1)求椭圆C的标准方程：

(2)过F(芋,0)的直线1与C交于M,N两点，求证：髓=箫；

(3)已知直线=依+2交椭圆C于P,Q两点，直线P%,Q%相交于点A试判断点力是否在定直线上，若在,

请求出定直线的方程；若不在，请说明理由.

【变式7-2](2025•安徽•模拟预测)已知双曲线「:5—£=l(a>0,b>0)过点渐近线方程为y=±

V3z.

(1)求「的方程；

(2)已知点4(1,0),过点Q(l,2)作动直线/与双曲线右支交于不同的两点8、C,点H在线段8。上(不含端点).

①若H为BC的中点，△/1(2//的面积为7,求直线，的斜率；

②直线718、AH.4c分别与y轴交于点0、E、F,若E为。产的中点，证明：点〃恒在定直线3%-2y—3=0

上.

【变式7-3](2024•湖南长沙三模)已知抛物线C：V=2px(p>0),过点D(0,2)的直线，与C交于不同的两点

AB当直线/的倾斜角为135°时,\AB\=4V30.

(1)求。的方程；

(2)在线段48上取异于点4,8的点E,且满足船=罂，试问是否存在一条定直线，使得点E恒在这条定直线

上？若存在，求出该直线；若不存在，请说明理由.

【题型8圆锥曲线与其他知识的综合问题】

【例8】(2025•新疆•模拟预测)已知双曲线。:《一3=1(。>0,6>0),点2(1,1)到。的两条渐近线距离之比

为1:3,过点P的直线[与C交于4B两点，且当1的斜率为0时，AB=y[5.

(1)求。的方程；

(2)若点48都在。的右支上，且!与％轴交于点Q,设刀=m而，丽="的，求m+九的取值范围.

【变式8-1](2025•河南周口•模拟预测)已知点Pi(t+l,t)在抛物线C:/=4y上，过点P1作斜率为一1的直

线交C于另一个点6,设P2与Qi关于p轴对称，再过P2作斜率为-1的直线交C于另一个点Q2,设与Qz关

于y轴对称，以此类推一直作下去，设4a«,%)(〃£N)

⑴求/的值；

(2)求数列｛融｝的通项公式，并求数歹“士｝的前n项利7\的取值范围；

(3)求4P“P"+IPR+2(TIWN*)的面积.

【变式8-2](2025・贵州铜仁・三模)已知椭圆4+£=1(。>〃>0)的离心率为争短轴长为6,过右焦

点的直线与。交于MN两点.

(1)求。的标准方程；

(2)已知点Q(8,yo),

(i)当yo=O时，求△QMN面积的取值范围；

(ii)当y()WR时，证明：QM-QNX).

【变式8・3】（2025•福建福州•模拟预测）已知A•为抛物线后:产=2Pxe>0）的焦点，点C（4,0）满足|C用=3|。尸|,

其中。为坐标原点，过广的直线交E于48两点，点力在第一象限，过点4作直线48的垂线，交x轴正半轴于

点M,直线8C交直线4”于点N.记△4C凡△/^/,△。”/7的面积分别为51，52，53.

⑴求£的准线方程；

⑵证明：潟+六二1；

（3）求（Si-S2»3的最小值及此时点A的坐标.

过关测试

一、单选题

1.（2025•北京•三模）"k=y是"直线y=k（%-4）与双曲线=1只有一个公共点,，的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.（2025•北京通州•一模）已知点厂为抛物线V=4x的焦点，过点”且倾斜角为弓的直线与抛物线交于4、

«3

4两点，则团印等于（）

A.16B.6C.yD.4

3.（2025•辽宁•三模）过椭圆1的左焦点尸作倾斜角为45。的直线/与椭圆C交于44两点，

54

则-^+」一=（）

m|8刊

A5Q4「衣n2病

A.zB,-C.TD.行

4.（2025,内蒙古包头•二模）直线，与双曲线。一y2=i交于P,Q两点，线段PQ的中点为M（4,l）,则直线，

4

的方程为（）

A.y=x—3B.y=-x-3

C.y=%+5D.y——x+5

5.（2025,湖南邵阳一模）经过椭圆9+V=1的右焦点尸作倾斜角为60。的直线Z,直线，与椭圆相交于4

8两点，则|力0=（）

,8\/220V2厂企、13企

A.—BD.——C.—D.——

7777

6.（2025・甘肃白银•三模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：V=2px（p>0）的焦点为凡准线为直

线”-3,过点F的直线，与C相交于4B两点，则△408面积的最小值为（）

A.24B.18C.16D.12

7.（2025•海南•模拟预测）已知O为坐标原点，抛物线C:y2=2px（p>0）上一点A（Lyo）到其焦点和准线

的距离之和为4,过C的焦点/的直线交。于P,0两点.当％poQ=2g时，而•瓦的值为（）

A.-12B.-10C.-8D.-6

8.（2025•湖北黄冈•模拟预测）已知椭圆C：5+V=1的右焦点为凡过点户作两条相互垂直的直线分别与C

相交于48和P,Q,则四边形力P8Q面积的最小值为（）

35

A.1B.：C.2D.:

22

二、多选题

9.（2025•全国一卷•高考真题）已知抛物线=6%的焦点为尸，过户的一条直线交C于4，B两点、,过

力作直线，,•t=一9的垂线，垂足为。，过户且与直线垂直的直线交[于点日则（）

A.\AD\=\AF\B.\AE\=\AB\

C.\AB\>6D.\AE\•\BE\>18

10.（2025•江苏•模拟预测）设抛物线£:d=2口丫（2>0）的焦点为尸，直线、=依+1（忆>0）与抛物线相交

于4（%i，yD，8（外,力）两点，与％轴交于点。，[4或=?,|8F|=4,则下列说法正确的是（）

A.yxy2=2B.p=4

C.\AB\=|V17D.△力/B与△RFC的面积之比为3:1

11.（2025•宁夏银川•三模）已知椭圆£>：?+?=1的左右焦点分别为乙，尸2