2026年高考数学一轮复习：基本不等式及其应用（讲义）原卷版

专题1.4基本不等式及其应用(举一反三讲义)

【全国通用】

题型归纳

【题型1基本不等式及其应用】.........................................................................3

【题型2直接法求最值】................................................................................3

【题型3配凑法求最值】................................................................................4

【题型4常数代换法求最值】...........................................................................4

【题型5消元法求最值】................................................................................4

【题型6齐次化求最值】................................................................................5

【题型7多次使用基本不等式求最值】..................................................................5

【题型8基本不等式的恒成立、有解问题】.............................................................6

【题型9利用基本不等式解决实际问题】...............................................................6

［题型10基本不等式与其他知iE交汇】.................................................................7

1、基本不等式及其应用

考点要求真题统计考情分析

基本不等式及其应用是每年高考的重

(1)了解基本不等式的推点、热点内容，从近几年的高考情况来

2022年I卷：第12题，5分

导过程看，对基本不等式的考查比较稳定，考

2023年新高考I卷：第22题，

(2)会用基本不等式解决查内容、频率、题型难度均变化不大，

12分

最值问题应适当关注利用基本不等式大小判断、

2025年北京卷：第6题，4分

(3)理解基本不等式在实求最值和求取值范围的问题；同时要注

2025年上海卷：第8题，5分

际问题中的应用意基本不等式在立体几何、平面解析几

何等内容中的运用.

知识梳理

知识点基本不等式

1.两个不等式

不等式内容等号成立条件

重要不等式a2+h2>2ab(a.b£R)当且仅当％=夕'

时取“=”

基本不等式当且仅当“&且“

ab4(6?>0,Z)>0)

2时取“=”

“+6叫做正数mb的算术平均数,仍叫做正数小l的几何平:均数.

2

基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

2.基本不等式与最值

已知x,y都是正数，

(1)如果积xy等于定值P,那么当x=y时，和x+y有最小值2P；

(2)如果和x+y等于定值S,那么当x=y时，积孙有最大值_12

4

温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1兴、y>0,(2)和(积)为定值，(3)存在取

等号的条件.

3.常见的求最值模型

(1)模型一：nix+—>2y[mn(ni>0,/:>0),当且仅当工=时等号成立：

(2)模型二：+—-—=m(x-a)4---—+ma>2\lmn+nui(m>(),/?>0),当且仅当x-a=时等号成

x-ax-aVm

(3)模型三:

〃'出/、nix(n-mx)1,mx+n-nix/八八八〃、w口△，“，ni

(4)模型四：-mx)=---------<—•(-----------Y=—(m>0,〃>0,0<x<—),当且仅当x=—时

mm24mm2m

等号成立.

4.利用基本不等式求最值的几种方法

(1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值.

(2)配凑法:利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数''或"积为常数”的形式.

⑶常数代换法:主要解决形如“已知x+尸”为常数)，求?+彳的最值”的问题，先将?转化为

((十彳).，再用基本不等式求最值.

(4)消元法:当所求最值的代数式口的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常

数”或“积为常数''的形式，最后利用基本不等式求最值.

举一反三

【题型1基本不等式及其应用】

【例1】（2025•北京•高考真题）已知。>0,力>0,则（）

A.a2+b2>2abB.-+7>-7

abab

C.a+b>yfabD.-+7<i

ahvab

【变式11]（2025•陕西宝鸡•二模）设a,bWR,则“a+bN2”是“c?+西22”的（）

A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件

【变式1-2]（2025•全国•三模）已知Q>0,b>0,且a+b=l,则下列不等式不正确的是（）

A.ahB.a2+h2

C.-+-—>2D.y/a,+>[b<1

ab+1

【变式1-3]（2025•辽宁•二模）数学命题的证明方式有很多种.利用图形证明就是一种方式.现有如图所示

图形，在等腰直角三角形△48C中，点。为斜边的中点，点。为斜边上异于顶点的一个动点，

设=BD=b,用该图形能证明的不等式为（）.

A.—>Vab(a>0,b>O')B.<Vab(a>0,b>0)

2a+b

C.(a>0,b>0)D.a2+b2>2y/ab(a>0,b>0)

【题型2直接法求最值】

【例2】（24-25高一上•重庆•期末）函数y=3%+>0）的最小值是（）

A.4B.5C.3V2D.2V3

（24-25高一上•广东河源•阶段练习）已知Q>0,则a+工的最小值是（）

【变式2-1]a

A.-1B.1C.2D.3

【变式2-2]（24-25高二上•云南昭通•阶段练习）若%>0,则、=（1一切（8-3的最大值是（）

A.-2B.0C.1D.2

【变式2-3】（2025•河北保定•二模）已知x,y是非零实数，则提+,的最小值为（）

A.6B.12C.2D.4

【题型3配凑法求最值】

【例3】（25-26高一上•全国•课后作业）若则4a+七的最小值为（）

Q-1

A.4B.6C.8D.无最小值

【变式3-1】（2025•辽宁•模拟预测）已知x6（0,+8）,则y=x+T+*的最小值为（）

A.V2B.2C.2V2D.V3

【变式3-2]（2025高三・全国•专题练习）函数y=x（3—2%）的最大值为（）

A.3B.-9C.9-D.-9

428

【变式3-3]（2025•河北石家庄•一模）已知XE（0,4）,则f（x）=g+总的最小值为（）

A.-B.C.-D.-

3234

【题型4常数代换法求最值】

【例4】（2025•河南•三模）若Q>0,b>0,且a+b=l,则一1一：的最大值为（）

ab

A.-9B.-7C.-5D.-3

【变式4-1】（2025•山东•模拟预测）设正实数a,b满足Q+2b=1,则妇野的最小值为（）

A.yB.17C.8+4而D.16

【变式4-2]（2024•江苏宿迁•一模）若a>0,b>0,a+2b=3,则三+：的最小值为（）

ab

A.9B.18C.24D.27

【变式4-3]（2025•福建泉州•二模）若xZO,y>0,且W+U不=1，则3%+4y的最小值为（）

A.2B.3C.4D.8

【题型5消元法求最值】

【例5】（2025•陕西宝鸡•二模）已知正数％y满足％+则：+2y的最小值是（）

A.2+2V2B.6C.472D.3+272

【变式5-1]（2024・山西•三模）已知正实数x,歹满足/+3肛-2=0,则2%+y的最小值为（）

A.要B.孚C.1D.1

3333

【变式5・2】（2025•河北沧州•模拟预测）已知正实数m,几满足小九=2,则上+白+--的最小值为（）

mn2m+n

A.2V2B.3C.3V2D.4

【变式5-3]（2025•河南•模拟预测）设正实数a,b,。满足2c2-儿+2b2一十=0,则当abc取得最大值时,

工+：—6a的最大值为（）

cb

A.4B.3C.5D.y

【题型6齐次化求最值】

【例6】（24-25高一下•重庆沙坪坝•阶段练习）己知正数x,y满足x+2y=1,则守的最小值为（）

A•志B.2&C.熹工D.2V2+1

【变式6-1】（2024•江西新余•二模）已知x,y为正实数，且x+y=2,则号蛆的最小值为（）

A.12B.3+2&C.yD.

【变式6-2]（24-25高一上•安徽芜湖・期末）已知工则也用的最小值为（）

2x-1

A.7+6V3B.64-6V3

C.7+4V3D.6+4V3

【变式6-3]（24-25高三上・山西・期末）已知正实数x,y满足为+2y=3,则等的最小值为（）

A.2V2+1B.4C.4V2+1D.6

【题型7多次使用基本不等式求最值】

【例7】（2025•天津红桥•一模）已知a>0,6>0,则十+急+b的最小值为（）

A.4V2B.2V2C.4D.2

【变式7-1]（2025・河南•模拟预测）已知正实数a,b,满足a+bN；+：,则a+b的最小值为（）

2ab

A.5B.7C.5V2D.—

22

【变式（•全国•模拟预测）已知为非零实数，均为正实数，则的最大值为（）

7-2]2025ab,c4；1：+：：/『'?

A1B—C—D—

八.2D,4J254

【变式7-3］（2024•四川德阳•模拟预测）已知%>-1,y>0,z>0,2x+3y+z=2,则<+*三的最

x+lyz

小值为（）

A.：+nB.竽C.竽D.1+V6

2222

【题型8基本不等式的恒成立、有解问题】

【例8】（2025•吉林延边•一模）已知正文数%,y满足％+y—2xy=0，且不等式4+y—a>0恒成立，贝Ua

的取值范围是（）

A.a<2B.a<8C.a<6D.a<4

【变式8-1］（2024•浙江宁波•一模）不等式（%2-ax-1）（%-匕）N0对任意%>0恒成立，则/+/的最小

值为（）

A.2加一2B.2C.2V2D.2企+2

【变式8-2］（24-25高一上•安徽池州•期中）已知x>0,y>0,且x+y=5,若<+々n2m+1恒成立，

x+ly+2

则实数m的取值范围是（）

A.（一8篇B.（-co,|C.D.（-a>,4］

【变式8-31（24-25高三上•浙江宁波期末）设实数”满足%>|,y>3,不等式Z（2x-3）（y-3）<8x3+y3-

12工2一3产恒成立，则实数上的最大值为（）

A.12B.24C.2V3D.4V3

【题型9利用基本不等式解决实际问题】

【例9】（2025•江西•模拟预测）在生物界中，部分昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.已知某类

昆虫在水平方向上速度为"（单位：米/秒）时的跳跃高度H（单位：米）满足/=丁芸7,则该类昆虫的最

大跳跃高度为（）

A.0.25米B.0.5米C.0.75米D.1米

【变式9-1］（2025•广西•一模）现使用一架两臂不等长的天平称中药，操作方法如下：先将100g的祛码放

在天平左盘中，取出一些中药放在天平右盘中，使得天平平衡：再将100g的祛码放在天平右盘中，再取出

一些中药放在天平左盘中，使得天平平衡.则两次实际称得的药品总重量（）

A.等于200gB.大于200gC.小于200gD.以上都有可能

【变式9-2】（2024•黑龙江哈尔滨•一模）已知某商品近期价格起伏较大，假设第一周和第二周的该商品的单

价分别为/〃元和〃元（m黄九），甲、乙两人购买该商品的方式不同，甲每周购买10（）元的该商品，乙每周购

买20件该商品，若甲、乙两次购买平均单价分别为即,。2,则（）

A.%=a2B.由<a?C.aj>a2D.的大小无法确定

【变式9・3】（2024•贵州遵义•模拟预测）如图所示的“大方图”称为赵爽弦图，它是由中国数学家赵爽于公元

3世纪在给《周髀算经》“勾股网方图”作注时给出的一种几何平面图，记载于赵爽“负薪余日，聊观《周》”

一书之中.他用数学符号语言将其表示为“若直角三角形两直角边为a，b斜边为c（a、氏c均为E数）.则（Q+

匕）2=4ab+Q-Q）2,（Q+6）2=2c2-（b-a）2”.某同学读到此书中的“赵爽弦图”时，出于好奇，想用软钢

丝制作此图，他用一段长6cm的软钢丝作为a+匕的长度（制作其它边长的软钢丝足够用），请你给他算一

算，他能制作出来的“赵爽弦图”的最小面积为（）

A.9B.18C.27D.36

【题型10基本不等式与其他知识交汇】

【例10】（24-25高二上•上海松江•期中）陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个

圆柱和一个圆锥组合而成（如图）.已知一木制陀螺模型内接于一表面积为16ncm2的球，其中圆柱的两个底

面为球的两个截面，圆锥的顶点S在该球的球面上.

（1）若圆柱的高为2cm,求该陀螺的体枳及表面积：

（2）规定陀螺圆锥的顶,点:S到圆柱中离它远的底面DC距离为陀螺的高，要使陀螺的圆柱的侧面积最大.此时陀

螺的高是多少呢？

【变式10-1](2024•广东珠海•一模)已知小B、C是44BC的内角,0、b、c分别是其对边长,向量沆=(Q+瓦C),

n=(sinF—sin/1,sinC-sin^),且沆1冗

(1)求角4的大小；

(2)若Q=2,求448。面积的最大值.

【变式10-2】(2025高三•全国•专题练习)片，4分别是椭圆于?+必=1的左、右焦点.

(1)若尸是该椭圆上的一个动点，求西•丽的取值范围；

(2)设4(2,0),B(0,l)是它的两个顶点，直线y=R%(kN0)与46相交于点。,与椭圆相交于£、尸两点.求四

边形力E5b面积的最大值.

【变式10・3](24-25高一下•江苏无锡•阶段练习)在△力BC中，a=ccosB+^b.

(I)若a+b=8,△48。的面积为3旧，求c；

(2)若c=4,

①求a+b+c的值:

sin/l+sin/?+sinC

②求△48C面积的最大值；

③求△力BC周长的取值范围.

过关测试

一、单选题

1.（2025•安徽•三模）^\xy\>1”是《+y2>1”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.（2025•新疆省直辖县级单位•模拟预测）已知工€（0,+8）,则y=2x+岛■的最小值为（）

A.3B.4C.3V2D.6

3.（2025・河南信阳•模拟预测）已知Q+b=1（出）>0）,则工+：的最小值为（）

ab

9

A.IB.2C.4D.-

4

4.（2025・重庆•三模）己知%2+y2=2%2y2（%y金0）,则2-％2—9y2的最大值为（）

A.6B・-6C.8D.-8

5.（2025•广东揭阳•三模）”物竞天择，适者生存”是大自然环境下选择的结果，森林中某些昆虫会通过向

后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌羟某生物小组研究表明某类昆乂在水平速度为v（单位：分米/秒）时的跳

跃高度，（单位：米）近似满足/=当的等量关系，则该类昆虫的最大跳跃高度约为（）

1-Hv£

A.0.2米B.0.25米C.0.45米D.0.7米

6.（2025•山东济宁•模拟预测）已知x>0,y>0,且砂+2y2-36=0,则不必的最大值（）

A.12B.6V6C.36D.24n

7.（2025・广东汕头•模拟预测）已知a>0,b>0,。+：=1,则乙+b的最小值是（）

ba

A.1B.2C.4D.8

8.（2025・陕西咸阳•模拟预测）记max{a,b}表示实数a,b中的较大的数，已知x,y,z均为正数，则max"3）+

max{y,“+max{z,：}的最小值为（）

A.2&B.3C.4V2D.6

二、多选题

9.（2025・湖北恩施•模拟预测）若正实数a,b满足2a+b=L则下列结论正确的是（）

A.2ab的最大值为;B.。2+〃的最小值为:

44

C.伍+石的最大值为企D.2+；的最小值为9

ab

10.（2025•福建漳州•模拟预测）已知正实数-y满足％+2y=l,则（）

A.xy<\B.x2+y>!

oL

C.-+->3+2V2D.x+-^->2

xy\-2y

11.（2025•内蒙古包头•模拟预测）已知a,b为正实数，ab+a+2b=14,则下列说法正确的是（）

A.cz+b<21B.H的最小值为-1