2026年高考数学一轮复习：双曲线（讲义）解析版

专题8.6双曲线（举一反三讲义）

【全国通用】

题型归纳

【题型1双曲线的定义及其应用】......................................................................4

【题型2双曲线的标准方程】...........................................................................6

【题型3曲线方程与双曲线】...........................................................................8

【题型4求双曲线的轨迹方程】........................................................................10

【题型5双曲线的焦点、焦距、长轴、虚轴】..........................................................13

【题型6双曲线中的焦点三角形问题】.................................................................14

【题型7双曲线的渐近线方程】........................................................................17

【题型8求双曲线的离心率或其取值范围】.............................................................19

【题型9与双曲线有关的最值问题】...................................................................21

【题型10双曲线的实际应用】........................................................................23

1、双曲线

考点要求真题统计考情分析

2023年新高考I卷：第16题，5

分

2023年全国甲卷（文数）：第8双曲线的方程及其性质是圆锥

题，5分曲线中的重要内容，是高考命题的重

（1）了解双曲线的定义、几何图2023年北京卷：第12题，5分点内容.从近几年的高考情况来看，

形和标准方程2023年天津卷：第9题，5分主要考查双曲线的定义、方程与简单

⑵掌握双曲线的几何性质（范2024年新高考I卷：第12题，5几何性质等知识，主要以单选题、多

围、对称性、顶点、渐近线、分选题、填空题的形式出现,难度不大，

禹心率）2024年全国甲卷（理数）：第5复习时要加强这方面的训练.

（3）了解双曲线的简单应用题，5分与向量等知识结合综合考查也

2025年全国一卷：第3题，5分是高考命题的一个趋势，需要学会灵

2025年全国二卷：第11题，6分活求解.

2025年北京卷：第3题，4分

2025年天津卷：第9题，5分

知识梳理

知识点1双曲线的方程及其性质

i.双曲线的定义

双曲线的定义：平面内与两个定点外，修的距离的差的维对值等于非零常数（小于出尸?|）的点的轨迹叫作双

曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距.

2.双曲线的标准方程

双曲线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应美系：

双曲线在坐标

717

系中的位置VR

-2-^7=13>o,6>0：,^2—~^2=1(0,b>0)

标准方程ao。>

焦点坐标/G(-c,0),K(。,0)外(0,-。)，"(0fc)

a,b,c的关系c2=Q2+/c2=a2+62

3.双曲线的简单几何性质

双曲线的一些几何性质：

图形

9不w、

%一8=l(Q>0,b>0)%-鑫=1(。>0,6>。)

标准方程

MHx>a或x<-a,y^Ry>a或)<-a,x^R

对称性关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称

顶点4(“0),423,0)4。/)42(0,«)

半轴长实半轴长为，，虚半轴长为力

离心率。=21)

y=±3a

渐近线方程y=±-^x

4.双曲线的离心率

(I)定义：双曲线的焦距与实轴长的比?，叫作双曲线的离心率.

(2)双曲线离心率的范围：

(3)离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小.

因为M==所以e越大，!越大，则双曲线的开口越大.

(4)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e=^2.

知识点2双曲线方程的求解方法

1.双曲线方程的求解

⑴用定义法求双曲线的标准方程

根据双曲线的定义，确定M/2的值，结合焦点位置可写出双曲线的标准方程.

⑵用待定系数法求双曲线的标准方程

用待定系数法求双曲线的标准方程时，先确定焦点在％轴还是丁轴上，设出标准方程，再由条件确定,，

〃的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为壬一为=2(2于0)或

mx2—ny2=l(mw>0),再根据条件求解.

(3)与双曲线圣一%=1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为「一/=4(/1于0).

知识点3双曲线的焦点三角形

1.双曲线的焦点三角形

(1)焦点三角形的概念

设P是双曲线上一点，Fi,B为双曲线的焦点，当点P,R,F2不在同一条直线上时，它们构成一个焦点三角形,

(2)求双曲线中的焦点三角形户2面积的方法

方法一:①根据双曲线的定义求川IPRH尸Bll=2a；

②利用余弦定理表示出IPFil、IPBI、IF1F2I之间满足的关系式;

③通过配方，利用整体的思想求出IPFil・IPBI的值；

④利用公式以叩&=•iPFdsinZF.PF,,求得面积.

方法二:利用公式5""怎=：尸£|・|乃|,求得面积.

(3)焦点三角形的常用结论

可得|小丹|-19=10或-19=-10.

当恒月|-19=10时,|*|=10+19=29；

当|.4招|-19=-10时，NF1=-10+19=9.

所以点A到左焦点的距离为9或29.

故选：C.

【变式1-1](2025•北京•模拟预测)双曲线E：l(a>0),焦距为10,左右焦点分别为小F2,M

为E上一-点满足|MF1|=7,则|MFz|=()

A.13B.1或13C.1()D.4或10

【答案】A

【解题思路】根据双曲线焦距可求出。的值，结合题意判断M点位置，利用双曲线定义即可求得答案.

【解答过程】由题意知双曲线£《一\=1(。>0),焦距为1(),

故2c=10,c=5»则小=—〃=25—18=9,二a=3,

由||MF/一|MF2l|=2a=6,|MF1|=7,得IMF2I=1或IMF2I=13,

结合|MA|=7<Q+C=8,则M在双曲线左支上，

由于1Vc+Q=8,故|MFzl=13,

故选:A.

【变式1-2](24-25高二上•云南曲靖•期末)双曲线/一1=1上一点p到它的一个焦点的距离为%那么点

16

P到另一个焦点的距离为()

A.2B.6C.2或6D.4

【答案】B

【解题思路】根据双曲线的定义求出点P到另一个焦点的距离，再结合双曲线的性质舍去不符合条件的值.

【解答过程】双曲线/一<=1,a=1.

1n

设双曲线的两个焦点为Fi，尸2，已知|PF/=4,由双曲线定义||PFi|-|PF2||=2a=2xl=2,即|4一

|PFz||=2.

当4一|P/引=2时,可得|PFz|=4-2=2；

当4-\PF2\=一2时，可得|PFz|=4+2=6.所以IPF2I=6或2.

在双曲线中，双曲线上的点到焦点的距离存在最小值，这个最小值为c-a.

对于双曲线马一马=1,可得c=+42==忖

1，44

那么c-Q=g-l,因为标=4,V17>A/16,所以47—1>4-1=3>2.

这就说明双曲线上的点到焦点的距高不可能为2,所以要舍去仍叼=2这个值.

因此|PFz|=6,即点P到另一个焦点的距离等于6.

故选：B.

【变式1-3］（2024•河北邢台•二模）若点P是双曲线C5一3二1上一点，为，"2分别为C的左、右焦点，

则”|PFJ=8”是“明=16”的（）

A.既不充分也不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.充分不必要条件

【答案】D

【解题思路】首先求得焦半径的最小值，然后结合双曲线定义以及充要条件的定义即可得解・.

【解答过程】a=4,b=3,c=4解+32=5,

当点P在左支时，IP&I的最小值为C—Q=1,

当点P在右支时，|P0|的最小值为Q+C=9,

因为|Pa|=8,则点P在双曲线的左支上，

由双曲线的定义IPF2ITPFil=IPF2I-8=2a=8,解得IPF2I=16；

当旧41=16.点P在左支时，|P与|=8在右支时，|PFJ=24：推不出|P6|二&

故为充分不必要条件，

故选:D.

【题型2双曲线的标准方程】

【例2】（2025•北京海淀•一模）若双曲线捺-，=l（a>0,b>D）上的一点到焦点（-60）的距离比到焦点

（后,0）的距离大从则该双曲线的方程为（）

A.--y2=1B.--y2=1C.x2-^=1D./一二=i

4,2J24

【答案】D

【解题思路】根据题意及双曲线的定义可知2a=b,c=V5,再结合Q2+b2=c2,求出a,b,即可求出结果.

【解答过程】由题知c=H，根据题意，由双曲线的定义知2a=b,又。2+匕2=。2,

所以5a2=5,得到Q2=I,/=4,所以双曲线的方程为％2一<=1,

4

故选:D.

【变式2-1]（2025•江苏淮安•模拟预测）双曲线G与双曲线。2：?—y2=i的渐近线相同，且过点（2,企）,

则双曲线G的方程为（）

A.--X2=1B.y2--=1

4J4

C.--^=1D.X2--y2=1

222/

【答案】B

【解题思路】利用待定系数法设G的方程为9-*=九4h0,代入（2,&）即可得到答案.

【解答过程】设双曲线G的方程为?一丫2=九2^0,

代入点（2,夜），则:—=_i,

则方程为9一/=一1,即/一?=1.

故选：B.

【变式2-2]（2025.宁夏石嘴山.模拟预测）双曲线C与椭圆£+4=1有公共的焦点，且C的离心率是2,则

64

。的标准方程是（）

A.——艺=1B.y2-^=lC.^-^=1D.互=1

3J3412412

【答案】A

【解题思路】根据椭圆的焦点坐标求出双曲线的焦点坐标，再由双曲线的离心率求出。，根据a,b,c关系求出

后即可得解.

【解答过程】椭圆三+《=1的焦点为（±2,0）,

oZ

所以双曲线C的焦点为（±2,0）且焦点在x轴上，即c=2,

因为C的离心率是2,所以.e=£=2,即a=1,

a

所以炉=c2-小=3,故双曲线C的标准方程为/一9=1.

故选:A.

【变式2-3]（2025・四川雅安•一模）已知&,尸2为双曲线。$一卷二l（Q>0/>0）的左、右焦点，点4在C上,

若IF1川=2|尸2川，416尸2=30。A4吊尸2的面积为6百，则C的方程为（）

A.£?=lB.£?=I

C.^-^=1D.百一竺二1

6963

【答案】B

【解题思路】先根据双曲线的定义求出任2川,[F]川，在△AF/z中，利用正弦定理求出力F2居，再根据三角形

的面积公式求出。2,利用勾股定理可求得c2,进而可求出答案.

【解答过程】因为眄川=2尸2川，所以|&川>|尸2川,

又因为点4在C上,所以|&川一|尸2川=2a,

即2内川一尸2川=2a,所以尸2川=2a,因川=4a,

在AAF/2中，由正弦定理得一笔？=一笔看，

sinz.AF1F2s\nz.AF2Fl

所以sin乙4尸2&=华岩竺=1，

又0。V/4尸2吊V180。，所以44尸2居=90。，故NF]4F2=60。，

2

则SASF?=^M^ilMF2|sin60°=2>/3a=6>/3,所以小=3,

2222

则|尺尸2|2=(2c)=|/&|2—\AF2\=16a—4a2=12a=36,所以c?=9,

所以川=c2—a2=6,

所以C的方程为9一[=1.

56

故选:B.

【例3】（2025•新疆•模拟预测）“m>4”是“方程二一三=1表示双曲线”的（）

m-1m-4

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解题思路】根据给定条件，求出方程表示双曲线的充要条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断即可.

【解答过程】二一三二1表示双曲线时，

m-17n-4

等价于（m—1）（771—4）>0,解得m>4或m<1.

因为由m>4可推出m>4或mV1,但是由m>4或m<1,不能推出机>4,

所以“m>4”是“方程二-三=1表示双曲线”的充分不必要条件.

m-lm-4

故选：A.

【变式3-1］（24-25高二上•河南许昌・期末）若方程二+二=1表示双曲线，则m的取值范围是（）

m+4m-7

A.m<-7或m>4B.-7<m<4

C.m<-4或m>7D.-4<m<7

【答案】D

【解题思路】对双曲线的焦点位置进行分类讨论，可得出关于实数m的不等式组，由此可解得实数m的取值

范围.

【解答过程】若方程三+三二1表示的曲线是焦点在％轴上的双曲线，则+解得-4VmV7；

m+4m-7tyn—7<0

若方程工+9=1表示的曲线是焦点在y轴上的双曲线，则｛：］；；；，无解.

综上所述，-4VmV7.

故选:D.

【变式3-2］（24-25高二L浙江•期中）对于方程/十y2tana=i,ae（一，m，表示的曲线c,下列说法正

确的是（）

A.曲线C只能表示圆、椭圆或双曲线

B.若a为负角,则曲线C为双曲线

C.若a为正角，则曲线C为椭圆

D.若C为椭圆，则曲线C的焦点在不轴上

【答案】B

【解题思路】对于A,根据a=0的取值，即可判断；对于B若a为负角，即一结合双曲线标准方

程的形式，即可判断；

对于C,当a=；时，结合圆的标准方程的形式，即可判断；对于D,变形后结合椭圆的标准方程的形式，

即可判断选项.

【解答过程】对于A,当a=0,即tana=0时，曲线。的方程为/=1,即％=±1,

此时曲线C为两条平行的直线，故A错误；

对于B,若a为负角，即—：Va<0，则tanaV0,

此时曲线C为双曲线，故B正确；

对于C,若a为正角，即0<a<］当a=；时，tana=1,

则曲线。的方程为"+y2=|,是圆，故c错误；

对于D,若C为椭圆，当0VtanaVI,」一>1,又/+/tana=1可变形为/+弓―=1,

tana）

则C为焦点在y轴上的椭圆，故D错误.

故选:B.

【变式3-3］（2025•安徽蚌埠•模拟预测）已知曲线C:9+3=1（血=0），则“相€（0,4）”是“曲线C的焦点在

x轴上”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解题思路】若（0,4）,曲线C表示焦点在x轴上的椭圆；当曲线C表示焦点在犬轴上的双曲线时m<0.

【解答过程】若me（。,4）,则曲线蟾+91表示焦点在x轴上的椭圆，故充分性成立；

若曲线C的焦点在X轴上，也有可能是771V0,此时曲线。表示焦点在X轴上的双曲线，故必要性不成立，

故选：A.

【题型4求双曲线的轨迹方程】

【例4】（2024•广西柳州•一模）在平面直角坐标系中，点4,8的坐标分别是（-5,0）,（5,0）,直线AM,BM相

交于点M,且它们的斜率之积是支则点M的软迹方程为（）

A•捻-篝=l（x*±5）B.2-誓=l（x*±5）

C5一得=l（x，±5）D.《一需=1（"士5）

【答案】A

【解题思路】设点M（x,y）,由题意列出方程，化简整理即得点M的轨迹方程.

【解答过程】依撅意，设点由心M•ABA,=义•三=是元=工±5），

可得4/一9y2=100,(x0±5),即得点M的轨迹方程为||一蓍=1(%丰±5).

故选：A.

【变式4-1](2025•黑龙江辽宁•模拟预测)若圆C:/+y2-6%=0上恰有三个点到直线ax+七y+l=

0(Q00,bH0)的距离为1,则动点(5a+3,5/?)的轨迹方程是()

A.?-9=lB.^(x+2)2-5y2=l

C.-x2-5y2=1D.--^=1

4J54

【答案】A

【解题思路】由圆C上恰有三个点到直线以+力+1=0的距离为1,得到圆心到直线的距离恰好为2,求得

5Q2—4F+6Q+1=0,设得到。=瞪/=9代入方程，即可得到点(5Q+3,58)的轨迹

方程.

【解答过程】由圆C:/+y2—6x=0,可得标准方程为。一3产+y2=9,

所以圆心C(3,0),半径为r=3,

若圆C上恰有三个点到直线g+By+1=0的距离为1,

则满足圆心到宜线的距离恰好为2,即粤普=2,即5a2-4炉+60+1=0,

Va2+b2

设f；常3,贝人等5/

2

代入5a2-4川+6Q+1=0,可得5•(^)-4•(铲+6•(芋)+1=。，

整理得11，即点(5Q+3,55)的轨迹方程为1一m=1.

4545

故选:A.

【变式4-2](2025♦重庆沙坪坝•模拟预测)已知双曲线/一9=1与直线上y=kx+m(k*±2)有唯一的公

共点M,过点M且与l垂直的直线分别交工轴、y轴于4(x,0),B((),y)两点.当点M运动时，点P(x,y)的轨迹方

程是()

A.-+y2=l(yr0)B.--y2=l(y*0)

44

C.2+竽=i(yH0)D.、一美=l(yH0)

【答案】D

【解题思路】根据直线Z与双曲线相切，推出血2+4=/，MJ*.),再求出入,y,消去可得结果.

【解答过程】因为双曲线/一?=1与直线|：y=kx+m(k工±2)有唯一的公共点M,

所以直线I与双曲线相切，

y=kx+m

222

2,消去y并整理得(4-k)x-2kmx-zn-4=0,

{x4—

222

所以A=4k2m2+4(4-k)(m+4)=0,即/+4=k,

将+4=小代入(4_妙)工2_2kmx-m2-4=U,得一m?%2_2kmx-k2=0,

得(mx+k)2=0,因为&H±2,m2+4=Zc2,所以mHO,

所以％=-',y=--•k+m=w>~k=即M(-V,-土),

mmmmm?nz

由山2+4=攵2可知k*0,

所以过点M且与z垂直的直线为y+±=-1(%+^),

令)'=0，得"=-基，令％=0,得y=-三，

‘7n'm

则力(一M。)，B(O，T，

5k

X=---,丫

由1々，得771=,k=-：

y=--yy

\m

代入?7；2+4=忆2,得"+4=*,即、一■=l(yH0),

故选:D.

【变式4-3】(2025・浙江•一模)双曲线的另一种定义：动点M(x,y)与定点F(c,O)的距离和它与定直线，：工二?

的距离的比是常数式0VaVc),则点M的轨迹是一个双曲线.动点M与定点F(V5,0)的距离和它与定直线/：

%二苧的距离的比是V5,则点M的轨迹方程为()

A.J/=lB.x2-^=l

22

C.y-y2=1D.y2_1=1

【答案】B

【解题思路】根据给定条件，列出方程并化简得答案.

依题意，叵受=存

【解答过程】设M(x,y),化简整理得1,

IT4

所以点M的轨迹方程为/一?=1.

故选：B.

【题型5双曲线的焦点、焦距、长轴、虚轴】

【例5】（2025•云南昆明•模拟预测）已知双曲线（一工=1的一个焦点坐标为（_3,0）,则实数m的值为（）

5m

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解题思路】利用双曲线的焦点坐标，列出方程求解即可.

【解答过程】解：双曲线[一些=1的一个焦点坐标为（一3,0）,可得租+5=9,

5m

可得m=4.

故选：D.

【变式5-1]（2025•江西新余•一模）双曲线三一<二1的实轴长为（）

616

A.V6B.4C.2V6D.8

【答案】C

【解题思路】根据双曲线方程直接确定实轴长.

【解答过程】由双曲线方程知a二通，则实轴长为2a=2布.

故选：C.

【变式5-2]（2025•广东广州•三模）已知双曲线C：9一\=l（b>0）的左右焦点分别为&、F2,过F2作C

其中一条渐近线的垂线，垂足为4,直线力约交另一渐近线于点B,若MB|二b,则双曲线C的焦距为（）

A.3&B.6V2

C.6D.12

【答案】D

【解题思路】由双曲线的性质可得与到渐近线距离为。，结合几何性质可得4尸2。力=60。，从而?=最后

由a,b,c的关系可得焦距.

【解答过程】如图所示，・・・F2到渐近线距离为从故△BOP2为等腰三角形，•••4?20/1=60。，

故2=6=3百，c=6,・•・焦距为12.

a

故选：D.

【变式5-3］（2025・陕西安康•模拟预测）已知双曲线。W一'=1伍>0/>0）的焦距为2的且a:b:c=

1:2:V5,则下列说法正确的是（）

A.C的实轴长为2B.C的渐近线方程为、=±：工

C.C的离心率为6D.C的右焦点的坐标为（右,0）

【答案】C

【解题思路】根据给定条件，结合双曲线渐近线、离心率逐项判断得解.

【解答过程】对于AD,由a:b:c=l:2:6，取。=2,则c=26，C的实轴长4,右焦点（2次,0）,AD错误;

对于B,由a:8=1:2,得C的渐近线方程为丫=±2%,B错误；

对于C,由a:c=l:正，得C的离心率6=强，C正确.

故选:C.

【题型6双曲线中的焦点三角形问题】

【例6】（2025•江西•二模）过双曲线C:9-y2=1的中心作直线［与双曲线。交于尸、Q两点，设双曲线C的右

焦点为F,己知“FQ=4，则的面积为（）

A.yB.1C.y/2D.V3

【答案】D

【解题思路】设双曲线的左焦点为P,连接PF'、QF'，根据双曲线的对称性得到S“FQ=S4PFF,，设仍尸I=m，

\PF\=n,结合双曲线的定义及余弦定理求出nrn,再由面积公式计算可得.

【解答过程】设双曲线的左焦点为F',连接PV、QFf,由双曲线的对称性可知四边形P尸Q尸为平行四边形，

由/PFQ=y,则"NF=p

不妨设P在双曲线的右支上，设|P〃|=m,\PF\=n,又|FF'|=2c=2b，

由双曲线的定义可得|PV|—|PF|=m-n=2a=2/，

在AFP。中由余弦定理可得,\FF'\2=\PF'\2+\PF\2-2\PF'\•|PF|cos-,

222

即12=m.+n—mn=(zn—n)+mn=(2夜+7n九，解得nm=4,

所以S”户Q=S^PFP»-^\PF'\•|PF|sinj=^x4Xy=V3.

故选：D.

【变式6-1]（2025•河南安阳•一模）已知双曲线。:《一《=1（。>0/>0）的左、右焦点分别为Fi，尸2,过

点F2的直线与C的右支交于4B两点，且|4尸2|:出?2|:|4居|=1:2:3,若△48居的周长为20,则C的实轴长

为（）

A.1D.2C.4D.6

【答案】C

【解题思路】根据双曲线的定义，结合已知的线段比例关系以及A力B0的周长，求出Q的值，进而得到双曲

线C的实轴长.

【解答过程】设|4月|=m,因为|4尸21：出尸2|：|力十|=1:2:3,所以田尸21=2小，|力居|=3m.

根据双曲线的定义：平面内到两个定点尸1，尸2的距离之差的绝对值等于定值2Q（0V2a<|F/2l）的点的轨

迹为双曲线.

对于点4在双曲线右支上，有-|力尸2|=2a,即3m-m=2a,可得27n=2Q①.

对于点8在双曲线右支上，有|BFJ-I8F2I=2a,则I"/=\BF2\+2a=2m+2a.

已知△ABF1的周长为20,△ABF1的周长L=|网+[BFJ+\AB\,而网=\AF2\+\BF2\=m+2m=3m.

所以L=3m+（2m+2a）+3m=20,即8771+2a=20②.

将①2m=2a代入②8m+2Q=20中，得到4x2Q+2Q=20,却10Q=20,解得a=2.

根据双曲线的性质，双曲线5一，=l（a>0,b>0）的实轴长为2a.

把a=2代入，可得实轴长为2x2=4.

故选:C.

【变式6-2】（2025•青海海南•一模）已知双曲线C：/一?=1的左、右焦点分别为号,尸2，点中在。的右支

上，且|PF/=I+V7,则△P&F?的面积为（）

A.V7-1B.6C.3D.夕+1

【答案】C

【解题思路】利用焦点三角形的性质结合题设条件可得IPFZI，从而可得焦点三角形为直角三角形，从而可求

其面积.

【解答过程】点P在双曲线右支上，Q=1/=V3,c=2

由双曲线的定义可得IPFJ-IPF2I=2,

又|P0|=1+V7,两式联立得IP&I二夕一1.

又RFzl=4,

2

所以IPFJ2+\PF2\=F1F2F=16,即仆PFiB为直角三角形，

所以SP&FZUYIPFIIIPFZI=3.

故选：C.

【变式6-3]（2025・广东•一模）如图，&、尸2是双曲线葺一3二1（匕＞0）的左、右焦点，过&的直线I与双曲

线分别交于点4、B,若△力8尸2为等边三角形，则△B&Fz的面积为（）

C.18V3D.27V3

【答案】C

【解题思路】由双曲线的定义，可得|BFJ=2a,|8F2|=|BF1|+2Q=4a,由三角形面积公式S=[absinC,

即可求出吊尸2的面积.

【解答过程】在双曲线中：Q2=9.所以Q=3,

根据双曲线的定义，可得lAFil-MFzl=2a=6,

••・△ABF2是等边三角形，BPMFJ=\AB\

\AFi\-\AB\=|BFil=2a

又•••I8F2ITBF/=2a,

|BF2|=|8FJ+2a=4a=12,

•••△8F/2的面积为S=I|8F】I•\BF2\•sinl200=ix6xl2xy=18Vl

故选：C.

【题型7双曲线的渐近线方程】

【例7】（2025•河北•一模）双曲线/吗一忘=1（。>03>0）的离心率为2,则£的渐近线方程为（）

A.y=±V3xB.y=±—%

3

C.y=±2xD.y=±^x

【答案】B

【解题思路】根据双曲线标准方程，可知渐近线方程为y=土"，再结合条件及a,b,c间的关系，即可求解.

【解答过程】由题知e=?=Jl+f=2,得到（二6，

所以双曲线E的渐近线方程为y=土/=土半》,

故选：B.

【变式7-1】（2025・四川成都・一模）双曲线二一<=1的渐近线方程为（）

2o

A.2x±y=0B.x±2y=0C.4x±y=0D.x±4y=0

【答案】A

【解题思路】根据渐近线方程直接进行求解.

【解答过程】1的渐近线方程为y=±^x=土等％=±2x,

即2%±y=0.

故选:A.

【变式7-2］（2025•安徽六安模拟预测）己知双曲线、=l（a,b>0）的离心率为则此双曲线的渐近

线方程为（）

A.y=±yxB.y=±yxC.y=±yxD.y=

/4/La

【答案】B

【解题思路】由双曲线的离心率得出勺即可求解渐近线方程.

【解答过程】由离心率得与=0-1=台-1="9二=,

a2a293旅4

所以此双曲线的渐近线方程为y=±^x,

故选:B.

【变式7-3］（2025•福建泉州•模拟预测）己知分别为双曲线C:会1的左、右焦点，直线I过&与C交

于4B两点，若|力8|=|8尸2|,3窃=瓦了+2及5,则C的渐近线为（）

A.y=±—xB.y=±-xC.y=±-xD.y=±—x

3333

【答案】A

【解题思路】由题意求得出&|=Q,|力&|=2a,=3a,尸2l=4a,结合余弦定理标：'：""’=

2-a-zc

4a2+4cz-16a2lizniZ）24—

——77777—求得总=三n即rI可r•

2-2a-2ca，3

■1•...••i•o・_.,,■■♦1•

由3尸2&=尸24+2尸2氏即尸2&二：F2i4+：尸2氏可得F14=28'.

设|BF/=t,a>0,b>0,根据上述条件及双曲线的定义，可知

\AFx\=2t,\BF2\=2a+t,\AF2\=2a+2t.

又因为|AB|=IBF2I，所以£=a,

故|BF/=a,|AFi|=2a,|BF2l=3a,|4F2l=4a.

在AABF2^f由COSNBF/z=—COSZ.AF1F2f

zMa2+4c2-9a2__4a2+4,2-i6a2徂c?_7产仔2+M_7

'2a-2c-22a-2c'-3*'a2-3’

得?=全故C的两条渐近线方程为y=±'=土竽X.

故选：A.

【题型8求双曲线的离心率或其取值范围】

【例8】（2025•全国一卷•高考真题）已知双曲线C的虚轴长是实轴长的近倍，则C的离心率为（）

A.V2B.2C.V7D.2企

【答案】D

【解题思路】由题可知双曲线中的关系，结合a2+/=c2和离心率公式求解

【解答过程】设双曲线的实轴,虚轴，焦距分别为ZQ,2b,zc,

由题知，b=y/7a,

于是M+炉=。2=。2+7a2-8a2,则。=2>/2a,

即e=-=2y［2.

a

故选:D.

【变式8-1］（2025.河南信阳.模拟预测）若双曲线/一《=1（。八①的一条渐近线方程为尸2丫，则

该双曲线的离心率为（）

A展B-TC.2D.V5

【答案】D

【解题思路】由题意可得3=2,则e=£=FG?,即可得出答案.

【解答过程】因为双曲线《一、=1（。>0fb>0）的渐近线方程为y=±^x,

所以g=2,所以双曲线的离心率为e=2=Jl+0=Vl+22=V5.

故选：D.

【变式8-2］（2025•福建泉州•模拟预测）已知鸟，户2分别为双曲线C:捺一1的左、右焦点，直线/过&与

。交于A,B两点,若|4B|=|BF2|,丽=2用，则C的离心率为（）

A.士B.三C.势D.每

3333

【答案】C

【解题思路】设I禧I=2|月面=2n，结合双曲线的定义及|A8|=I8F2I得a=71,再由cos48F/2+

cosUFSz=。和余弦定理得到齐次式，即可得离心率.

【解答过程】设|丽|=2|踮|=2n,则IBF2I-|86|==2a,

\AF2\-\AFX\

所以%|-n=MF2|-2n=2a,则｛般以；筹

由|AB|=\BFr\+\AFX\=\BF2\f则37z=n+2a,故a=n,

综上，|B居|=a,\BF2\=3a,\AFX\=2a,\AF2\—4a,

由，8尸1尸2+LAFXF2=TT,则C0SZSF]F2+COSZ•力尸1尸2=0,

所以Q出空生+4a2+4c2—l6a2=°,可得3c2=7a2,

4ac8ac

所以e=£==亨

ay33

故选:c.

【变式8-3]（2025・湖南湘潭・一模）已知双曲线。瑞一3=1（"0而：>0）的右焦点为尸2（2,0），若圆

M:,+2/+（y-6）2=4上存在点P使得PF?的中点在C的渐近线上，则。的离心率的取值范用为（）

A.[2,+oo）B.[3,+8）C.（1,2]D.（1,3]

【答案】B

【解题思路】设P值,%）为圆M上一点，得到P尸2的中点Q（竽，竺，求得yo=±3&+2）,结合直线丫=

±久¥+2）与圆M有公共点，得到寸妥工2,求得好8,进讹求得双曲线的离心率的取值范围.

【解答过程】因为双曲线C:>1的右焦点为尸2（2,0）,则c=2,即Q2+/J2=4,

且双曲线C的渐近线方程为y=±^x,

设2（出,贝））为圆川：（％+2）2+。-6）2=4上一点,且圆心为M（-2,6）,半径r=2,

则PF2的中点Q（等，会在其渐近线上，可得手=±久竿），

即先=±;（x0+2）,所以点P在直线±3%-y±-=0上,

因为圆心M（-2,6）到直线的距离为d=与、：2）-6土制=川=,

J（士》+（T）2J（/+i

因为圆M上存在点P满足条件，所以直线尢=±£（/+2）与圆M有公共点，

所以d£2,可得磊一，可得令+】之以所以28,

又因为双曲线的离心率e2=4=*=1+^>9,所以e>3,

Mazaz

所以双曲线C的高心率的取值范围为［3,+8).

故选：B.

【题型9与双曲线有关的最值问题】

【例9】(2025•浙江绍兴・二模)已知双曲线「:/一号=1的左焦点为心点4B在「的右支上，且|力8|=6,

则|F川+|尸B|的最小值为()

A.4B.6C.10D.14

【答案】C

【解题思路】根据双曲线的定义，将|凡4|与|FB|进行转化，再结合三角形三边关系求出|F川+|尸8|的最小值.