苏教版高三数学上册第五单元竞赛测试卷

苏教版高三数学上册第五单元竞赛测试卷班级：________姓名：________学号：________得分：________竞赛说明：1.本试卷考查苏教版高三数学上册第五单元“立体几何”相关知识，包括空间几何体的结构与度量、空间点线面的位置关系、空间向量在立体几何中的应用等内容，侧重逻辑推理、空间想象及运算求解能力，满分150分，考试时间120分钟。2.答题前填写个人信息，书写规范，解答题需写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。3.竞赛题梯度分明，合理分配时间，祝各位考生取得优异成绩。一、单项选择题（每小题5分，共40分）1.下列命题中，正确的是（________）A.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱B.有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体是棱锥C.用一个平面去截圆锥，得到的几何体一定是圆台D.经过球面上任意两点的大圆有且只有一个2.已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长为2，侧棱长为3，则该正三棱柱的外接球的表面积为（________）A.7πB.16πC.19πD.28π/33.在空间直角坐标系O-xyz中，已知点A(1,0,2)，B(1,-3,1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是（________）A.(0,-1,0)B.(0,1,0)C.(0,0,-1)D.(0,0,1)4.已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题中不正确的是（________）A.若m⊥α，m⊥β，则α∥βB.若m∥α，α∩β=n，则m∥nC.若m⊥α，m⊂β，则α⊥βD.若m∥n，m⊥α，则n⊥α5.如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱C₁D₁的中点，则异面直线AE与BC₁所成角的余弦值为（________）A.√2/3B.√3/3C.2√2/3D.2√3/36.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，若该圆锥内有一个体积最大的球，则此球的表面积为（________）A.πB.2πC.4π/3D.8π/97.在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=AA₁=2，D为BC的中点，则点A₁到平面AB₁D的距离为（________）A.√3/3B.2√3/3C.√6/3D.2√6/38.已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，侧棱长为2√5，点E，F分别是PA，PB的中点，过点E，F作平面α平行于PD，则平面α截该正四棱锥所得截面的面积为（________）A.6B.8C.10D.12二、多项选择题（每小题5分，共20分，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错得0分）9.下列关于空间几何体的说法中，正确的有（________）A.棱长都相等的直四棱柱是正方体B.圆锥的侧面展开图是圆心角为θ（θ∈(0,2π)）的扇形，且扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长C.若一个球的表面积扩大到原来的4倍，则其体积扩大到原来的8倍D.有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台10.如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，AA₁=1，点P是线段B₁C上的动点，则下列说法正确的有（________）A.直线AP与平面ABCD所成角的正切值的最大值为1/2B.直线AP与直线CD₁所成角的取值范围是[π/6,π/2]C.点P到平面AB₁D₁的距离为定值D.三棱锥P-ABD₁的体积为定值11.已知平面α的法向量为n=(1,2,-2)，平面β的法向量为m=(-2,-4,k)，若α⊥β，则k的值及下列说法正确的有（________）A.k=-5B.若直线l的方向向量为a=(2,-1,1)，则l⊥αC.若点P(1,1,1)在平面α内，则平面α的方程为(x-1)+2(y-1)-2(z-1)=0D.平面α与平面β的法向量夹角的余弦值为012.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分别是棱A₁D₁，A₁B₁的中点，P是线段BD上的动点，则下列说法正确的有（________）A.存在点P，使得PM⊥PNB.存在点P，使得平面PMN⊥平面B₁CD₁C.线段PM的长度的最小值为√6D.三棱锥P-MNN₁的体积为定值（N₁为B₁C₁中点）三、填空题（每小题5分，共20分）13.已知某几何体的三视图如图所示（单位：cm），其中正视图和侧视图都是等腰直角三角形，俯视图是正方形，则该几何体的体积为________cm³，表面积为________cm²。（第一空3分，第二空2分）14.如图，在空间四边形ABCD中，AB=CD=2，E，F分别是AD，BC的中点，若EF=√3，则异面直线AB与CD所成角的大小为________。15.已知正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为√5，则该正四棱台的高为________，斜高为________。（第一空2分，第二空3分）16.在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AB=AC=2，点M是BC的中点，点N在棱PB上，且PN=2NB，则异面直线AN与CM所成角的余弦值为________；点N到平面PAC的距离为________。（第一空3分，第二空2分）四、解答题（共70分）17.（10分）如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC，点D是AB的中点，求证：（1）CD⊥平面ABB₁A₁；（2）AC₁∥平面CDB₁。________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________18.（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，AD=4，点E是PD的中点，点F在PC上，且PF=1/3PC。（1）建立合适的空间直角坐标系，求点F的坐标；（2）求直线AE与平面BEF所成角的正弦值。________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________19.（12分）如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC=2，AD=CD=2√2，点E是BD的中点，点F在AC上，且AF=2FC。（1）求证：AE⊥平面BCD；（2）求平面BEF与平面BCD所成锐二面角的余弦值。________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________20.（12分）如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面边长为2，侧棱长为3，点D是侧棱BB₁上的一点，且BD=1，点E是线段A₁C上的动点。（1）当AE⊥A₁C时，求AE的长度；（2）求三棱锥E-ACD的体积的最大值。________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________21.（12分）如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，DE⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD，DE=2，AF=1，M是棱CE的中点。（1）求证：BM∥平面ADEF；（2）求平面BMF与平面CDE所成锐二面角的余弦值；（3）判断在线段CE上是否存在一点N，使得平面BMN⊥平面CDE？若存在，求出CN的长度；若不存在，请说明理由。________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________22.（12分）已知球O的半径为R，点A，B，C，D在球O的表面上，且AB=AC=AD=2，∠BCD=90°，平面BCD与平面ABC所成的二面角为120°。（1）求球O的表面积；（2）求三棱锥A-BCD体积的最大值。________________