2025-2026学年上学期初中数学人教新版九年级期末必刷常考题之垂直于弦的直径

第22页（共22页）2025-2026学年上学期初中数学人教新版九年级期末必刷常考题之垂直于弦的直径一．选择题（共8小题）1．（2025秋•通辽期中）《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，凯凯在读完《九章算术》卷九勾股定理篇记载的“圆材埋壁”问题后，突发灵感，设计了一个数学题如图，CD为圆O的直径，弦AB⊥CD于点E，ED＝4，AB＝16，则直径CD的长是（）A．18 B．19 C．20 D．212．（2025秋•临洮县期中）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D．若AB＝24，OC＝13，则OD的长是（）A．4 B．5 C．8 D．133．（2025秋•浙江期中）下列说法正确的有（）A．平分弦的直径垂直于弦 B．直径是同一个圆中最长的弦 C．长度相等的两条弧是等弧 D．弧分为优弧和劣弧4．（2025•惠城区一模）为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：cm），则该铁球的直径为（）A．4cm B．8cm C．5cm D．10cm5．（2025•新蔡县三模）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，P是弦AB上的一个动点，则OP的长可能是（）A．8 B．6 C．4 D．26．（2025•泸县校级一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，CD＝8cm，则BE＝（）cm．A．5 B．4 C．3 D．27．（2024秋•白云区期末）唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长4m，轮子的吃水深度CD为1m，则该桨轮船的轮子直径为（）A．52m B．4m C．5m D．8．（2025秋•绥滨县期中）如图所示，半径为1的半圆O上有两个动点A，B，若AB＝1，四边形ABDC的面积最大值为（）A．．2 B．343 C．3 D二．填空题（共5小题）9．（2025秋•吴兴区校级期中）圆在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞．如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5m，地面入口宽为1m，求该门洞的半径是m．10．（2025秋•哈尔滨期中）如图，CD为⊙O的直径，CD＝10，弦AB⊥CD于点M，OM：OC＝3：5，则弦AB＝．11．（2025秋•绍兴期中）如图，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD于点E，AB＝10，CD＝8，则线段AC的长为．12．（2025秋•龙沙区期中）已知⊙O的半径为2，⊙O中有两条平行的弦AB和CD，AB＝2，CD＝23，则两条弦之间的距离为．13．（2025秋•绍兴期中）如图，△ABC内接于直径为29的圆O，将弦AC顺时针旋转得到弦AD，且AD⊥BC，若AC＝5，则AB＝．三．解答题（共2小题）14．（2025秋•滨海新区期中）如图，AD为圆O的直径，E为弦BC的中点，连接AB，AC．（1）求证：△ABC为等腰三角形；（2）连接BD，CD，若AD＝8，四边形ABDC的面积为24，求DE的长．15．（2024秋•志丹县期末）西安的摔碗酒吸引众多游客体验，喝完酒摔碎碗，寓意“碎碎”平安．如图，这是摔碗酒瓷碗正面的形状示意图，AB是⊙O的一部分，D是AB的中点，连接OD，与弦AB交于点C，连接OA，OB．已知AB＝18cm，碗深CD＝6cm，求OA的长．

2025-2026学年上学期初中数学人教新版九年级期末必刷常考题之垂直于弦的直径参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案CBBDCDCB一．选择题（共8小题）1．（2025秋•通辽期中）《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，凯凯在读完《九章算术》卷九勾股定理篇记载的“圆材埋壁”问题后，突发灵感，设计了一个数学题如图，CD为圆O的直径，弦AB⊥CD于点E，ED＝4，AB＝16，则直径CD的长是（）A．18 B．19 C．20 D．21【考点】垂径定理的应用；勾股定理．【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．【答案】C【分析】连接OA，设⊙O的半径是r，利用垂径定理和勾股定理得到r2＝（r﹣4）2+82，解方程即可．【解答】解：CD为圆O的直径，弦AB⊥CD于点E，ED＝4，AB＝16，连接OA，设⊙O的半径是r，∵OD⊥AB，∴AE＝BE＝8，∵OA2＝OE2+AE2，∴r2＝（r﹣4）2+82，∴r＝10，∴CD＝2r＝20，故选：C．【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是应用勾股定理列出关于⊙O的半径的方程．2．（2025秋•临洮县期中）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D．若AB＝24，OC＝13，则OD的长是（）A．4 B．5 C．8 D．13【考点】垂径定理；勾股定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的计算；几何直观；推理能力．【答案】B【分析】连接OA，由垂径定理得到AD的长，再由勾股定理解答即可．【解答】解：如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，AB＝24，OC＝13，连接OA，∴AD=12AB=12在Rt△OAD中，由勾股定理得：OD=故选：B．【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．3．（2025秋•浙江期中）下列说法正确的有（）A．平分弦的直径垂直于弦 B．直径是同一个圆中最长的弦 C．长度相等的两条弧是等弧 D．弧分为优弧和劣弧【考点】垂径定理；圆的认识．【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【答案】B【分析】由垂径定理，等弧的定义，圆的弦的定义，即可判断．【解答】解：A、平分弦的直径垂直于弦，此命题错误；B、直径是同一个圆中最长的弦，命题正确；C、能够完全重合的两条弧是等弧，故原命题错误；D、一条弦把圆分成两条弧，两条弧可能都是半圆，故原命题错误；故选：B．【点评】本题考查命题与定理，垂径定理，圆的认识，关键是掌握垂径定理，等弧的定义，圆的弦的定义．4．（2025•惠城区一模）为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：cm），则该铁球的直径为（）A．4cm B．8cm C．5cm D．10cm【考点】垂径定理的应用．【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．【答案】D【分析】连接AB、CD交于点D，根据垂径定理求出AD，根据勾股定理计算即可．【解答】解：连接AB、CD交于点D，由题意得，OC⊥AB，则AD=设圆的半径为Rcm，则OD＝（R﹣2）cm，在Rt△AOD中，OA2＝AD2+OD2，即R2＝42+（R﹣2）2，解得：R＝5，则该铁球的直径为10cm，故选：D．【点评】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理，熟练掌握以上知识点是关键．5．（2025•新蔡县三模）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，P是弦AB上的一个动点，则OP的长可能是（）A．8 B．6 C．4 D．2【考点】垂径定理；勾股定理．【专题】与圆有关的计算；推理能力．【答案】C【分析】根据点P的位置，OP为半径时，最长，OP⊥AB时，最短，求出OP的取值范围，即可得出结果．【解答】解：当点P与点A或点B重合时，OP为半径，长度最长为5；当OP⊥AB时，由垂线段最短，可知此时OP最短，∵OP⊥AB，∴AP=∴OP=∴3≤OP≤5，∴OP的长可能是4；故选：C．【点评】本题考查的是垂径定理和勾股定理，根据题意得出当点P与点A或点B重合时，OP为半径，长度最长为5；当OP⊥AB时，由垂线段最短是解题的关键．6．（2025•泸县校级一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，CD＝8cm，则BE＝（）cm．A．5 B．4 C．3 D．2【考点】垂径定理；勾股定理．【专题】与圆有关的计算；推理能力．【答案】D【分析】利用垂径定理得到再利用勾股定理计算出OE＝3cm，然后计算OB﹣OE即可．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴OB＝OC＝5cm，∵弦CD⊥AB，∴CE＝DE＝4cm，在Rt△OCE中，OC＝5cm，∴OE=∴BE＝OB﹣OE＝5﹣3＝2（cm）．故选：D．【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，熟知垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．能够利用垂径定理解决问题是解题的关键．7．（2024秋•白云区期末）唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长4m，轮子的吃水深度CD为1m，则该桨轮船的轮子直径为（）A．52m B．4m C．5m D．【考点】垂径定理的应用；勾股定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的位置关系；推理能力；应用意识．【答案】C【分析】设该桨轮船的轮子半径为r，在Rt△AOD中，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解．【解答】解：∵AB＝4，OC⊥AB，∴AD＝DB=12AB＝2设该桨轮船的轮子半径为rm，在Rt△AOD中，AO2＝OD2+AD2即r2＝（r﹣1）2+22，解得：r=∴该桨轮船的轮子直径为52×2＝5（故选：C．【点评】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．8．（2025秋•绥滨县期中）如图所示，半径为1的半圆O上有两个动点A，B，若AB＝1，四边形ABDC的面积最大值为（）A．．2 B．343 C．3 D【考点】垂径定理；等边三角形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；推理能力．【答案】B【分析】过点O作OH⊥AB于点H，连接OA，OB，分别过点A、H、B作AE⊥CD、HF⊥CD，BG⊥CD于点E、F、G，根据垂线段线段最短可知HF＜OH，再由梯形的中位线定理可知，HF=12（AE+【解答】解：过点O作OH⊥AB于点H，连接OA，OB，分别过点A、H、B作AE⊥CD、HF⊥CD，BG⊥CD于点E、F、G，如图，∵AB＝1，⊙O的半径＝1，∴OH=3∵垂线段最短，∴HF＜OH，∴HF=12（AE+∴S四边形ABDC＝S△AOC+S△AOB+S△BOD=12×1×AE+12=12AE=12（AE+BG＝HF+34≤故选：B．【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出等边三角形是解答此题的关键．二．填空题（共5小题）9．（2025秋•吴兴区校级期中）圆在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞．如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5m，地面入口宽为1m，求该门洞的半径是1.3m．【考点】垂径定理的应用；勾股定理的应用．【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．【答案】1.3．【分析】设半径为rm，根据垂径定理可以列方程求解即可．【解答】解：设圆的半径为rm，由题意可知，DF=12CD=12m，EFRt△OFD中，OF=r2-(12)∴r2-(1解得r＝1.3．故答案为：1.3．【点评】本题主要考查垂径定理的应用，掌握垂径定理是解题的关键．10．（2025秋•哈尔滨期中）如图，CD为⊙O的直径，CD＝10，弦AB⊥CD于点M，OM：OC＝3：5，则弦AB＝8．【考点】垂径定理；勾股定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．【答案】8．【分析】连接OA，因为CD为⊙O的直径，CD＝10，所以OA＝OC＝5，由弦AB⊥CD于点M，得∠OMA＝90°，AM＝BM，因为OM：OC＝3：5，所以OM=35OC＝3，则AM=OA2-OM2【解答】解：连接OA，∵CD为⊙O的直径，CD＝10，∴OA＝OC=12CD=12∵弦AB⊥CD于点M，∴∠OMA＝90°，AM＝BM，∵OM：OC＝3：5，∴OM=35OC=35∴AM=OA∴AB＝2AM＝2×4＝8，故答案为：8．【点评】此题重点考查垂径定理、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．11．（2025秋•绍兴期中）如图，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD于点E，AB＝10，CD＝8，则线段AC的长为45．【考点】垂径定理；勾股定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．【答案】45．【分析】连接OD，由CD是圆O的弦，直径AB⊥CD于点E，得CE＝DE，∠AEC＝∠OED＝90°，而AB＝10，CD＝8，则OA＝OD＝5，CE＝DE＝4，所以OE=OD2-DE2=3，则AE＝OA+OE【解答】解：连接OD，∵CD是圆O的弦，直径AB⊥CD于点E，∴CE＝DE，∠AEC＝∠OED＝90°，∵AB＝10，CD＝8，∴OA＝OD=12AB＝5，CE＝DE=12∴OE=OD∴AE＝OA+OE＝8，∴AC=CE2故答案为：45．【点评】此题重点考查垂径定理、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．12．（2025秋•龙沙区期中）已知⊙O的半径为2，⊙O中有两条平行的弦AB和CD，AB＝2，CD＝23，则两条弦之间的距离为3+1或3-1【考点】垂径定理；等边三角形的判定与性质；勾股定理．【专题】计算题；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．【答案】见试题解答内容【分析】分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可【解答】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1所示，∵AB＝2，CD＝23，∴AF＝1，CE=3∵OA＝OC＝2，∴EO＝1，OF=3∴EF＝OF﹣OE=3②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2所示，∵AB＝2，CD＝23，∴AE＝1，CF=3∵OA＝OC＝2，∴EO=3，OF＝1∴EF＝OF+OE=3综上所述：AB和CD之间的距离为3-1或故答案为：3+1或3-【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用．此题难度适中，解题的关键是注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．13．（2025秋•绍兴期中）如图，△ABC内接于直径为29的圆O，将弦AC顺时针旋转得到弦AD，且AD⊥BC，若AC＝5，则AB＝212929【考点】垂径定理；旋转的性质；勾股定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．【答案】2129【分析】连接并延长AO交⊙O于点F，连接CD、CF、DF，则∠ADF＝∠ACF＝90°，AF=29，由旋转得AD＝AC＝5，则DF＝CF=(29)2-52=2，所以S△ADF＝S△ACF=12×5×2＝5，则S四边形ADFC＝10，可证明AF垂直平分CD，由S四边形ADFC=12×29CD＝10，求得CD=202929，因为AD⊥BC于点E，所以∠AEB＝∠AEC＝∠DEC＝90°，由勾股定理得52﹣AE2=(202929)2【解答】解：连接并延长AO交⊙O于点F，连接CD、CF、DF，∵AF是⊙O的直径，且⊙O的直径为29，∴∠ADF＝∠ACF＝90°，AF=29∵将弦AC顺时针旋转得到弦AD，AC＝5，∴AD＝AC＝5，∴DF＝CF=(29∴S△ADF＝S△ACF=12×5×2∴S四边形ADFC＝S△ADF+S△ACF＝5+5＝10，∵AD＝AC，DF＝CF，∴点A、点F都在CD的垂直平分线上，∴AF垂直平分CD，∴S四边形ADFC=12×29∴CD=20∵AD⊥BC于点E，DE＝5﹣AE，∴∠AEB＝∠AEC＝∠DEC＝90°，∴AC2﹣AE2＝CD2﹣DE2＝CE2，∴52﹣AE2=(202929)2-（∴AE=105∵∠AEB＝∠ACF，∠B＝∠AFC，∴△AEB∽△ACF，∴ABAF∴AB=2129AF故答案为：2129【点评】此题重点考查圆周角定理、勾股定理、旋转的性质、线段的垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地添加辅助线是解题的关键．三．解答题（共2小题）14．（2025秋•滨海新区期中）如图，AD为圆O的直径，E为弦BC的中点，连接AB，AC．（1）求证：△ABC为等腰三角形；（2）连接BD，CD，若AD＝8，四边形ABDC的面积为24，求DE的长．【考点】垂径定理；等腰三角形的判定与性质．【专题】与圆有关的计算；推理能力．【答案】（1）证明：∵E为弦BC的中点，AD为直径，∴AD⊥BC，BE＝CE，∴AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形；（2）4-【分析】（1）由垂径定理得AD⊥BC，BE＝CE，然后由线段垂直平分线的性质可得答案；（2）连接OB，由AD＝8，四边形ABDC的面积为24，得BC＝6，在Rt△OBE中，由勾股定理求出OE=7，然后根据DE＝OD﹣【解答】（1）证明：∵E为弦BC的中点，AD为直径，∴AD⊥BC，BE＝CE，∴AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形；（2）解：如图，连接OB，由条件可知12∴BC＝6，∴BE＝3，∵AD＝8，则OB＝OD＝4，在Rt△OBE中，OE=∴DE=【点评】本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定，线段垂直平分线的性质，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解答本题的关键．15．（2024秋•志丹县期末）西安的摔碗酒吸引众多游客体验，喝完酒摔碎碗，寓意“碎碎”平安．如图，这是摔碗酒瓷碗正面的形状示意图，AB是⊙O的一部分，D是AB的中点，连接OD，与弦AB交于点C，连接OA，OB．已知AB＝18cm，碗深CD＝6cm，求OA的长．【考点】垂径定理的应用；勾股定理．【专题】三角形．【答案】394【分析】根据垂径定理得出AC=BC=12【解答】解：∵D是AB的中点，∴OD⊥AB，∴AC=设OA＝rcm，∵CD＝6cm，则OC＝（r﹣6）cm．在Rt△OAC中，由勾股定理得OC2+AC2＝OA2，即（r﹣6）2+92＝r2，解得r=∴OA的长为394【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理、勾股定理是正确解答的关键．

考点卡片1．等腰三角形的判定与性质1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．2．等边三角形的性质（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．3．等边三角形的判定与性质（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．4．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．5．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准