2025-2026学年上学期初中数学人教新版九年级期末必刷常考题之点和圆的位置关系

第24页（共24页）2025-2026学年上学期初中数学人教新版九年级期末必刷常考题之点和圆的位置关系一．选择题（共8小题）1．（2025秋•连云港校级期中）下列说法：①三点确定一个圆；②同弧或者等弧所对的圆周角相等；③圆的对称轴是直径；④圆的内接平行四边形一定是矩形．正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．42．（2025秋•平湖市期中）已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为5.5，则点P在（）A．圆外 B．圆上 C．圆内 D．不能确定3．（2025秋•绍兴期中）如图，等腰△ABC内接于点O，若∠AOC＝150°，则∠BAC的度数为（）A．45° B．40° C．30° D．25°4．（2025•海珠区校级二模）已知⊙O的半径是8，点P到圆心O的距离d为方程x2﹣4x﹣5＝0的一个根，则点P在（）A．⊙O的内部 B．⊙O的外部 C．⊙O上或⊙O的内部 D．⊙O上或⊙O的外部5．（2025•腾冲市校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，点M坐标为（2，0），点A坐标为（0，2），以点M为圆心，MA为半径作⊙M，与y轴的另一个交点为B，点C是⊙M上的一个动点，连接BC，AC，点D是AC的中点，连接OD，当线段OD取得最大值时，点D的坐标为（）A．(0，1+2) B．(1，1+2) C．（2，26．（2024秋•莱山区期末）如图，半径为5的⊙M圆心M的坐标为（9，12），点P是⊙M上任意一点，PA，PB与x轴分别交于A，B两点，且PA⊥PB，若点A，点B关于原点O对称，则AB的最大值为（）A．60 B．40 C．34 D．207．（2025秋•长兴县期中）已知⊙O与点P在同一平面内，如果⊙O的半径为5，线段OP的长为3，则下列说法正确的是（）A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O外 D．无法判断点P与⊙O的位置关系8．（2025秋•绍兴期中）如图，在平面直角坐标系中，以P（2，2）为圆心作圆P，使其经过原点O和点A，若点B是圆P上异于A的一点，点C是弦AB的中点，则OC长度的最小值是（）A．2 B．102 C．10-2 二．填空题（共5小题）9．（2025秋•牡丹江期中）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足AP⊥BP，则线段CP的最小值为．10．（2025秋•普陀区期中）直角三角形的两边长分别为6和8，那么这个三角形的外接圆半径等于．11．（2024秋•天台县期末）如图，AB是⊙O的直径，△ACD内接于⊙O．若∠D＝50°，则∠BAC的度数为．12．（2024秋•海淀区期末）如图，AB为⊙O的直径，△BCD内接于⊙O，若∠D＝40°，则∠ABC＝°．13．（2024秋•荔湾区校级期末）如图，在半径为4的⊙O中，弦AC=42，B是⊙O上的一动点（不与点A重合），D是AB的中点，则CD的最大值为三．解答题（共2小题）14．（2024秋•西城区期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC，直径BD⊥AC，垂足是（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）若AB＝3，求DE的长．15．（2025•罗湖区校级三模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，半径OD⊥AC，垂足为点E，连接BD．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）若AC＝8，DE＝2，求线段BD的长．

2025-2026学年上学期初中数学人教新版九年级期末必刷常考题之点和圆的位置关系参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案BACACBBC一．选择题（共8小题）1．（2025秋•连云港校级期中）下列说法：①三点确定一个圆；②同弧或者等弧所对的圆周角相等；③圆的对称轴是直径；④圆的内接平行四边形一定是矩形．正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】确定圆的条件；轴对称的性质；平行四边形的性质；矩形的判定；圆的认识；圆周角定理．【专题】多边形与平行四边形；圆的有关概念及性质．【答案】B【分析】说法①忽略三点共线的情况；说法②同弧或者等弧所对的圆周角相等；说法③混淆直径与直径所在直线；说法④由圆内接四边形和平行四边形的性质推导．【解答】解：①不共线的三点可以确定一个圆，原说法错误；②同弧或者等弧所对的圆周角相等，原说法正确；③圆的对称轴是其直径所在的直线，原说法错误；④平行四边形对角相等，而圆内接四边形对角互补，故圆的内接平行四边形的对角相等且互补，即圆的内接平行四边形的对角都为90度，故圆的内接平行四边形是矩形，原说法正确；∴说法正确的有②④，故选：B．【点评】本题主要考查了圆周角定理，确定圆的条件，圆内接四边形的性质，对称轴的定义，矩形的判定，平行四边形的性质，掌握其相关知识点是解题的关键．2．（2025秋•平湖市期中）已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为5.5，则点P在（）A．圆外 B．圆上 C．圆内 D．不能确定【考点】点与圆的位置关系．【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．【答案】A【分析】由⊙O的半径分别是5，点P到圆心O的距离为5.5，根据点与圆心的距离与半径的大小关系即可确定点P与⊙O的位置关系．【解答】解：∵⊙O的半径分别是5，点P到圆心O的距离为5.5，∴点P与⊙O的位置关系是：点在圆外．故选：A．【点评】本题考查了点与圆的位置关系．注意若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．3．（2025秋•绍兴期中）如图，等腰△ABC内接于点O，若∠AOC＝150°，则∠BAC的度数为（）A．45° B．40° C．30° D．25°【考点】三角形的外接圆与外心；等腰三角形的性质．【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【答案】C【分析】根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠OAC，再根据垂径定理计算即可．【解答】解：∵OA＝OC，∠AOC＝150°，∴∠OAC＝∠OCA=12（180°﹣150°）＝∵AB＝AC，∴AO⊥BC，∴∠BAC＝2∠OAC＝30°，故选：C．【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握等腰三角形的性质、垂径定理是解题的关键．4．（2025•海珠区校级二模）已知⊙O的半径是8，点P到圆心O的距离d为方程x2﹣4x﹣5＝0的一个根，则点P在（）A．⊙O的内部 B．⊙O的外部 C．⊙O上或⊙O的内部 D．⊙O上或⊙O的外部【考点】点与圆的位置关系；一元二次方程的解；解一元二次方程﹣因式分解法．【专题】与圆有关的位置关系；应用意识．【答案】A【分析】解一元二次方程根，据点与圆的关系直接判定即可得到答案．【解答】解：解方程x2﹣4x﹣5＝0可得，x1＝5，x2＝﹣1，∵点P到圆心O的距离d为方程x2﹣4x﹣5＝0的一个根，∴d＝5＜8，∴点P在⊙O的内部，故选：A．【点评】本题考查解一元二次方程及点与圆的关系，解题的关键是正确解方程及掌握点到圆心距离与圆半径关系判断点与圆的关系．5．（2025•腾冲市校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，点M坐标为（2，0），点A坐标为（0，2），以点M为圆心，MA为半径作⊙M，与y轴的另一个交点为B，点C是⊙M上的一个动点，连接BC，AC，点D是AC的中点，连接OD，当线段OD取得最大值时，点D的坐标为（）A．(0，1+2) B．(1，1+2) C．（2，2【考点】点与圆的位置关系；坐标与图形性质；三角形三边关系；三角形中位线定理．【专题】与圆有关的位置关系；几何直观；运算能力．【答案】C【分析】先根据三角形中位线的性质得到当BC为直径（过圆心M）时，OD最大；然后延长BM与圆交于C′点，连接AC′；再由圆周角定理可得∠BAC′＝90°，然后由垂径定理得到OA＝OB、求解BC'=42、AC′＝4【解答】解：在平面直角坐标系中，点M坐标为（2，0），点A坐标为（0，2），如图，连接MA，延长BM与圆交于C′点，连接AC′，∴OA＝OB＝2，在直角三角形AOM中，由勾股定理得：MA=∵点D是AC的中点，∴OD∥BC且OD=∴BC最大时，即当BC为直径（过圆心M）时，OD最大；∵BC′是直径，∴∠BAC′＝90°，∵MA=2∴BC'∴AC'∴点C′（4，2），∵AC′的中点D′，A（0，2），∴D′的坐标为（2，2）．故选：C．【点评】本题考查了点与圆的位置关系，坐标与图形性质，三角形三边关系，三角形中位线定理，将求线段OD最大时D的坐标转换成求BC最大时点D的坐标是解答本题的关键．6．（2024秋•莱山区期末）如图，半径为5的⊙M圆心M的坐标为（9，12），点P是⊙M上任意一点，PA，PB与x轴分别交于A，B两点，且PA⊥PB，若点A，点B关于原点O对称，则AB的最大值为（）A．60 B．40 C．34 D．20【考点】点与圆的位置关系；直角三角形斜边上的中线．【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．【答案】B【分析】连接OP，由直角三角形斜边中线的性质推出AB＝2PO，当P在OM的延长线时，PO最大，此时AB最大，由勾股定理求出OM＝15，得到PO＝OM+PM＝20，即可求出AB的最大值．【解答】解：连接OP，∵AO＝BO，∠APB＝90°，∴AB＝2PO，∴当PO取最大值时，AB的值最大，当P在OM的延长线时，PO最大，∵M的坐标是（9，12），∴OM=92∵圆的半径是5，∴PM＝5，∴PO＝OM+PM＝15+5＝20，∴AB＝2PO＝40，∴AB的最大值是40．故选：B．【点评】本题考查点与圆的位置关系，直角三角形斜边的中线，关键是由直角三角形斜边中线的性质得到AB＝2PO．7．（2025秋•长兴县期中）已知⊙O与点P在同一平面内，如果⊙O的半径为5，线段OP的长为3，则下列说法正确的是（）A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O外 D．无法判断点P与⊙O的位置关系【考点】点与圆的位置关系．【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．【答案】B【分析】直接根据点与圆的位置关系解答即可．【解答】解：∵⊙O与点P在同一平面内，⊙O的半径为5，线段OP的长为3，5＞3，∴点P在⊙O内．故选：B．【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r是解题的关键．8．（2025秋•绍兴期中）如图，在平面直角坐标系中，以P（2，2）为圆心作圆P，使其经过原点O和点A，若点B是圆P上异于A的一点，点C是弦AB的中点，则OC长度的最小值是（）A．2 B．102 C．10-2 【考点】点与圆的位置关系；坐标与图形性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理．【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．【答案】C【分析】连接PC，作PD⊥OA于D，根据垂径定理得出PC⊥AB，D（0，2），即可求得A（0，4），点C在以PA为直径的圆M上，利用勾股定理求得OP，利用垂直平分线的性质求得PA＝OP＝22，则⊙M的半径为2，利用中点公式求得M的坐标，利用勾股定理求得OM，根据点到圆上点的距离的最小值＝点到圆心的距离﹣圆的半径求解即可．【解答】解：∵以P（2，2）为圆心的圆P，经过原点O和点A，∴OP是圆P的半径，OP=22+连接PC，∵点C是弦AB的中点，∴PC⊥AB，∴∠ACP＝90°，∴点C在以PA为直径的圆M上，作PD⊥OA于D，则AD＝OD，∵P（2，2），∴D（0，2），∴A（0，4），∴M（1，3），∴OM=1∵PD垂直平分OA，∴PA＝OP＝22，∴⊙M的半径为2，∴OC长度的最小值为：10-故选：C．【点评】本题考查了点和圆的位置关系，坐标与图形性质，勾股定理，垂径定理，圆周角定理，明确点C在以PA为直径的圆M上是解题的关键．二．填空题（共5小题）9．（2025秋•牡丹江期中）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足AP⊥BP，则线段CP的最小值为2．【考点】点与圆的位置关系；三角形三边关系；直角三角形斜边上的中线；圆周角定理．【专题】与圆有关的位置关系；运算能力．【答案】2．【分析】根据AP⊥BP，得到点P在以AB为直径的圆上，以AB为直径作圆O，连接OC交圆O于点P，此时CP有最小值﹒根据勾股定理求出OC＝5，即可求出CP有最小值为2﹒【解答】解：如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足AP⊥BP，∴点P在以AB为直径的圆上，以AB为直径作圆O，连接OC交圆O于点P，此时CP有最小值﹒∵AB＝6，∴OB=∵AB⊥BC，∴OC=∴PC＝OC﹣OP＝2﹒故答案为：2．【点评】本题为求线段的最值﹣隐圆问题，考查了“直角所对的弦是直径”，勾股定理等知，正确记忆相关知识点是解题关键．10．（2025秋•普陀区期中）直角三角形的两边长分别为6和8，那么这个三角形的外接圆半径等于4或5．【考点】三角形的外接圆与外心．【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．【答案】4或5．【分析】直角三角形的外接圆圆心是斜边的中点，那么半径为斜边的一半，分两种情况：①8为斜边长；②6和8为两条直角边长，由勾股定理易求得此直角三角形的斜边长，进而可求得外接圆的半径．【解答】解：由勾股定理可知：①直角三角形的斜边长为8时，这个三角形的外接圆半径为4；②当两条直角边长分别为6和8，则直角三角形的斜边长为62+82因此这个三角形的外接圆半径为4或5．故答案为：4或5．【点评】本题考查了勾股定理以及直角三角形外接圆的直径和斜边的关系，理解题意是解决问题的关键．11．（2024秋•天台县期末）如图，AB是⊙O的直径，△ACD内接于⊙O．若∠D＝50°，则∠BAC的度数为40°．【考点】三角形的外接圆与外心；圆周角定理．【专题】圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．【答案】40°．【分析】连接BC，根据圆周角定理和三角形的内角和定理即可得到结论．【解答】解：连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠B＝∠D＝50°，∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠B＝180°﹣90°﹣50°＝40°，故答案为：40°．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．12．（2024秋•海淀区期末）如图，AB为⊙O的直径，△BCD内接于⊙O，若∠D＝40°，则∠ABC＝50°．【考点】三角形的外接圆与外心；圆周角定理．【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【答案】见试题解答内容【分析】连接AC，根据圆周角定理得到∠A＝∠D＝40°，∠ACB＝90°，再根据解决三角形的两锐角互余计算即可．【解答】解：如图，连接AC，由圆周角定理得：∠A＝∠D＝40°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC+∠A＝90°，∴∠ABC＝90°﹣40°＝50°，故答案为：50．【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理是解题的关键．13．（2024秋•荔湾区校级期末）如图，在半径为4的⊙O中，弦AC=42，B是⊙O上的一动点（不与点A重合），D是AB的中点，则CD的最大值为25【考点】点与圆的位置关系；三角形三边关系；三角形中位线定理．【专题】与圆有关的计算；推理能力．【答案】25【分析】连接OD，OA，OC，取OA的中点O1，连接O1C，O1D，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出点D在以2为半径的⊙O1上运动，当点D运动至CO1的延长线与⊙O1的交点处时，CD取得最大值为CO1+2，进而勾股定理求得CO1，即可求解．【解答】解：连接OD，OA，OC，取OA的中点O1，连接O1C，O1D，∵D是AB的中点，∴∠ODA＝90°，∴O1∴点D在以2为半径的⊙O1上运动，∴当点D运动至CO1的延长线与⊙O1的交点处时，CD取得最大值为CO1+2，∵OA＝OC＝4，AC=4∴∠AOC＝90°，∴CO∴CD的最大值为25故答案为：25【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，一点到圆上的距离的最值问题，掌握点与圆的位置关系是解题的关键．三．解答题（共2小题）14．（2024秋•西城区期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC，直径BD⊥AC，垂足是（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）若AB＝3，求DE的长．【考点】三角形的外接圆与外心；等边三角形的判定与性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据圆心角、弧、弦的关系可得AB＝AC，然后根据垂径定理可得：AB=BC，从而可得AB＝BC，进而可得AB＝AC＝（2）连接OA，根据等边三角形的性质可得∠BAE＝∠ABC＝60°，然后在Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义求出AE和BE的长，再利用等腰三角形的三线合一性质可得∠ABE＝30°，从而利用圆周角定理可得：∠AOD＝60°，最后在Rt△AOE中，利用锐角三角函数的定义求出AO的长，从而求出BD的长，再利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【解答】（1）证明：∵AB=∴AB＝AC，∵直径BD⊥AC，∴AB=∴AB＝BC，∴AB＝AC＝BC，∴△ABC是等边三角形；（2）解：连接OA，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAE＝∠ABC＝60°，在Rt△ABE中，AB＝3，∴AE＝AB•cos60°＝3×1BE＝AB•sin60°＝3×3∵BA＝BC，BE⊥AC，∴∠ABE=12∠ABC＝∴∠AOD＝2∠ABE＝60°，在Rt△AOE中，AO=AE∴BD＝2AO＝23，∴DE＝BD﹣BE＝23-∴DE的长为32【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，等边三角形的判定与性质，勾股定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．15．（2025•罗湖区校级三模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，半径OD⊥AC，垂足为点E，连接BD．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）若AC＝8，DE＝2，求线段BD的长．【考点】三角形的外接圆与外心；勾股定理；垂径定理；圆周角定理．【专题】圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．【答案】（1）见详解；（2）45．【分析】（1）先根据垂径定理得出AD=（2）先根据垂径定理和已知条件求出AD，再利用勾股定理求出半径，最后计算出BD即可．【解答】（1）证明：∵半径OD⊥AC，∴弧AD＝弧CD，AE＝CE，∴∠ABC＝∠CBD，∴BD平分∠ABC，（2）解：如图，连接AD，∵OD⊥AC，AC＝8，∴AE=1设圆O的半径为R，则OE＝R﹣2，在Rt△AEO中，由勾股定理得：（R﹣2）2+42＝R2，解得R＝5，∴AB＝10，在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD=DE2∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，在Rt△ADB中，由勾股定理得：BD=AB2【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理及圆周角定理，即平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

考点卡片1．一元二次方程的解（1）一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．2．解一元二次方程-因式分解法（1）因式分解法解一元二次方程的意义因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．3．坐标与图形性质1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．4．三角形三边关系（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．（3）三角形的两边差小于第三边．（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．5．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．6．等边三角形的判定与性质（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．7．直角三角形斜边上的中线（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．该定理可以用来判定直角三角形．8．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．9．三角形中位线定理（1）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．（2）几何语言：如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点∴DE∥BC，DE=1210．平行四边形的性质（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．（2）平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分．（3）平行线间的距离处处相等．（4）平行四边形的面积：①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．11．矩形的判定（1）矩形的判定：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）（2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．12．圆的认识（1）圆的定义定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．（2）与圆有关的概念弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．（3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性．13．垂径定理（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．14．圆心角、弧、弦的关系（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等