北京某校2025-2026学年八年级（上）期中数学试卷

2025北京理工大附中初二（上）期中

数学

注意事项:

1.本试卷共7页，满分100分，时间90分钟.

2.在试卷和答题卡上准确填写班级名称、姓名和学号.

3.试卷答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.

4.在答题卡上，选择题用2*铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.

一、选择题（共30分，每小题3分）下列各题均为四个选项，其中只有一个选项符合题意

A.3,2,6B.3,6,8C.4,6,10D.2,I,5

3.在平面直角坐标系中，点。（4,-5）关于x轴的对称点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

4.如图，要测量池塘两岸相对的两点48的距离，小明在池塘外取48的垂线8斤上的点C,D,使

BC=CD,再画出“的垂线OE,使E与4。在一条直线上，这时测得。E的长就是48的长，依据

A.SSSB.ASAC.AASD.SAS

5.下列运算中，结果正确的是（）

A.（打=优B.(3tz)2=6a~

C.ah+a1=o'

6.如图，在△力BC中，ZBAC=\\0°,ZB=40°,。是BC上一点，将△/AC沿4。折叠，使点8落

在,4C边上8,处，则NUOC等于（）

第1页/共16页

A.20°B.15°C.10°D.5°

7.某小组开展“用直尺和圆规作用平分线”的探究活动，作图痕迹如下图.其中射线。产为/力。8的平

8.下列说法正确的是（）

A.等腰三角形的中线就是角平分线

B.两边及一角对应相等的两个三角形全等

C.若E4=EB,则经过E的直线垂直平分线段

D.对顶角相等的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是对顶角

9.根据下列己知条件，不能作出唯一△18。的是（）

A.AB=5,AC=6,ZC=53°B.AB=3,Z.A-60°,AC=4

C.ZABC=90°,AC=\3,BC=5D.AB=3,8c=4,AC=5

10.如图，分别以△ABC的边月B,4C向外作两个等边三角形△48。与连接8£、CO交点

F,连接4厂.以下四个结论：①DC=EB；②N8FC=120。；③FA平分/EFD；④

AF+BF+CF=CD,其中正确结论的是（）

A.④B.①③④C.①②③D.①②④

二、填空题（每题3分，共24分）

11.有一种如图所示的空调支架，可将空调室外机固定在支架上，这是利用了三角形的

第2页/共16页

12.计算：(x)^2)=

13.已知等腰三角形的两边长分别为3和6,则它的底边长是.

14.厂房屋顶钢架外框是等腰三角形，其中45=加0,立柱3C,QE垂直于横梁4必，ZJ5M=120°,

。是斜梁乂〃的中点，46=8m,DE-

15.如图，48与相交于点。，/。=/〃=90。，要使△4。。与△COB全等，还需要添加一个条

件，你认为添加的条件可以是.(只添加一个条件即可)

16.如图，平面直角坐标系中，已知点力的坐标(0,6),过点力作x轴的平行线，交第一象限角平分线

于点4,则点4的坐标为.

17.如图，在△ABC中，AB=AC,线段力B的垂直平分线MN分别交5C、4？于。、E两点，若

18.已知三角形的两边长为机和，:，一个内角为30。，满足上述三个条件但不全等的三角形个数称为伴生数.

(1)若〃7=2,〃=3,则伴生数为；

(2)若〃?=7,〃为正整数，且伴生数为4,则〃的最大整数值是

第3页/共16页

三、解答题（19题6分，20题・22题5分，23题6分，24题5分，25题・26题7分）

19.计算：

（1）X-X5+X2-X4.

（2）已知x",=3，x〃=2,求/巾+”的值.

20.如图，点、B,F,C,E在一条直线上，NA=ND,BF=CE,且4C〃DF.

21.如图，在平面直角坐标系中，△48C各顶点的坐标分别为/（一3,1）,仪-1,-2）,C（I,3）.

（1）点力关于x轴的对称点坐标为；

（2）画出关于y轴对称的图形△4AG，并求出△44G的面积是：

（3）已知P是x轴上一点，当4P+PC最小时，直接写出尸点坐标.

22.小亮同学在几何学习过程中有一个发现：直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直

角边所对的角是30。，下面是他的探究发现过程，请你与他一起用尺规完成作图并补全证明过程.

如图，在△ZBC中，ZC=90°,BC=-AB.

2

A

--------℃

（1）尺规作图：作的垂直平分线分别交力C、4B于点、D、E,连接8。（保留作图痕迹）

（2）补全证明过程（写出结论依据）

由作图可知：

第4页/共16页

•.•DE是的垂直平分线，

/.AE=EB,DA=DB.()(填推埋的依据)

:"A=/ABD()(填推理的依据)

•・•BC=-AB,

2

EB=BC.

BD=BD

在RL8EO与RtaBCQ中，

BE=BC

AABD=/DBC.

•・•N4+N43C=90。，

AA+ZABD+4DBC=90°,

ZJ=30°.

23.如图，在等边△/HC中，。是48的中点，石是。8延长线上的一点，且N8DE=30°,DM1BC,

垂足为M.求证：

(1)DE=2DM：

(2)〃是。£•的中点.

24.对于有理数a,b定义一种幕的新运算：am^bn=(ab)m+n-^(a+b)mn.其中小，〃是正整数，请利用

这种运算规则解决下列问题：

(1)102的值为；

(2)若2©)2*=80,求，的值：

(3)这种运算是否满足结合律，即伍'"©/)©)0〃=^©)3〃©产)成立吗？如果成立，请说明理由；如

果不成立，请举一个反例.

25.在等腰△44C中，AB=AC,。是4C边上一个动点(点。不与点8、。重合)，连接/。，点。关

于,4。的对称点为R点上在射线CT上且NC4E=N34O.

(1)若点。在5c边上的位置如图所示.

第5页/共16页

①在图中按题意补全图形；

②与出线段8。、CD、七/'之间满足的数量关系，并i止明；

（2）过点力作直线CE的垂线，垂足为G,写出线段8。、CD、G/之间满足的数量关系.

26.在平面直角坐标系xQy中，直线m为经过（0,2）且垂直于轴的直线，直线〃为经过（3,0）且垂直于x

轴的直线.图形G关于直线〃?的对称图形称为图形G的一次对称图形；记作图形G1,图形G?关于直线〃

的对称图形称为图形G的二次对称图形，记作图形外.

根据定义，回答下列问题：

（1）点4（1,-1）的一次对称点的坐标与二次对称点的坐标分别为，.

（2）点8（x,y）在第三象限，B1,名分别是点8的一次对称点与二次对称点，△台片与为等腰直角三角

形.

①求y与x之间满足的数量关系；

②已知"（1,0）,N（—2,-2）,写出&8N+8M的最小值为:

（3）已知点0（1,。），。（2,〃），若以C。为边的正方形CQ。。（P、。在线段的上方）的二次对称

图形与过（0,。+3）且垂直于y轴的直线有公共点，写出。的取值范围.

第6页/共16页

参考答案

一、选择题（共30分，每小题3分）下列各题均为四个选项，其中只有一个选项符合题意

12345678910

DBABDCCDAA

二、填空题（每题3分，共24分）

11.【答案】解：该支架通过三角形结构将空调室外机牢固固定，利用了三角形的稳定性.

故答案为：稳定性.

12.【答案】解：（jty2）2=x2/.

故答案为：X2/.

13.【答案】解：分类讨论如下：

①若3为腰长，6为底边长，三角形不存在；

②若6为腰长，3为底边长，能构成三角形，

，这个等腰三角形的底边长为3.

故答案为：3.

14.【答案】解：vZ^M=120°,

・•・//+ZM=180°-/ABM=60°,

VAB=BM,

:.30°,

•・•点。是48的中点，48=8m,

/.AD=—AB=4m,

2

DE1AM,

•••在Rt△力DE中，DE=—JZ)=—x4=2(m

22'

故答案为：2m.

15.【答案】解：VZZ）=Z^=90°,ZAOD=ZCOB,

，只需要添加：AD=BC,即可根据AAS证明△4。。//XCOB,

故答案为：AD=BC（答案不唯一）.

16.【答案】解：过点8作BC_Lx轴于点C,

第7页/共16页

•・L48〃x轴，点力的坐标（0,6）,

・・・45_Ly轴，点〃的纵坐标为6,即BC=6,

•••。3是第一象限的角平分线，

AB=BC=6，

・••点8的横坐标为6,

，点B的坐标为（6,6）.

故答案为：（6,6）.

17.【答案】解：AB=AC,

ZB=ZC，

•••线段43的垂直平分线A/N分别交8C、48于。、£两点，

・•・DB=D4,

・•・ZZ?=/DAB,

."B=/C=NDAB,

设/B=NC=NDAB=a,

则AADC=/B+NDAB=la,

VAC=CD,

ZCDA=ACAD=2a,

•••在△/。。中，由NC+Z.CAD+ZCDA=180。得2a+2a+a=180。，

解得a=36。，

.-.ZC=36°,

故答案为：36.

18.【答案】解：如图所示，A4BC,ADEFRDEG,AJHK中荫边长为2和3,有一角为30。，所以伴生数

为4；

当〃24时，比如：△/IBCQDEFQDEG,^HK中两边长为6和7,有一角为30。,所以伴生数为4；

当〃二13时，比如：A4BC,ADEFRDEG,AJHK中两边长为6和7,有一角为30°,所以伴生数为4；

第8页/共16页

G

H

13

77

当〃>13时，伴生数不是4,所以〃的最大整数是13.

故答案为：4；13.

三、解答题（19题6分，20题・22题5分，23题6分，24题5分，25题・26题7分）

19.【答案】（1）

解：X-Xs+X2-X1»

(2)

解：姆+〃=仁)”，

・.・/"=3,炉=2，

n,2

.•.(x)-r=32X2=18.

20.【答案】解：•：BF=CE,

：.BF+FC=CE+FC,

・•・CB=FE,

•:AC〃DF,

・•・AACB=ZDFE,

和GEF中，

Z=NQ

•/ACB=4DFE,

CB=FE

・••AABCWADFE（AAS）

21.【答案】（1）

解：点4（一3,1）关于x轴的对称点坐标为（-3,-1）；

（2）

解.：如图所示，即为所求：

第9页/共16页

(3)

解：如图，作点”(-3,1)关于x轴的对称点4(一3,-1),连接力户,4C交x轴于点P,

;dP=4'P

：.AP+PC=A,P+PC>AC

,此时AP+PC最小，

・••尸(-2,0).

22.【答案】(1)

解：如图，即为所求;

(2)

解：由作图可知：

•.•0石是4B的垂直平分线，

AE=EB,D4=08.(线段垂直平分线的定义及性质)

第10页/共16页

，A=NABD(等边对等角)

•・•BC=-AB,

2

/.EB^BC.

BD=BD

在RsBED与RtABCD中，

BE=BC

RtA^ED^RtA^CZ)

N4BD=NDBC.

NABD=Z.DBC=ZJ.

•・•ZA-kZABC=90°,

NA+NABD+4DBC=90°,

ZJ=30°.

故答案为：线段垂直平分线的定义及性质；等边对等角；NABD=/DBC=NA.

23.【答案】(1)

证明：•・•△NBC是等边三角形，

・•・/ABC=60°,

•・•NBDE=3。。,

・•・/E=/ABC-/BDE=30°,

,/DM1BC,

・•・在Rt^DEM中，DM=-DE,

2

・•・DE-2DM.

(2)

证明：•••△48C是等边三角形，D是48的中点，

・•・/ACB=60°,

ZDCB=-ZACB=30°,

2

・•・AE=/DCB,

DE=DC,

•••DM1EC,

工点M是C£■的中点.

24.【答案】(1)

•••/◎b"=(")…+(。+6尸，

A1O2=(1X2)1+，+(1+2)，X，=4+3=7,

故答案为：7；

第11页/共16页

(2)

2©2,+,=(2x2)"'"+(2+2)川=4x4*+4㈤=5x4*=80,

4*=16=4?,

.•"+1=2,解得，=1,

所以/的值为1：

(3)

不成立，

例：(7=1,Z?=2,c=3,m=n=p=\,

由(1)知1©2=7,

7©3=(7X3)，+，+(7+3)'=212+10=451,

2©3=(2x3)l+，+(2+3),=36+5=41,

l©41=(lx41),+14-(14-41)'=4l2+42=1723,

所以(102)03=451。1©(2©3)=1723,

故(a"2cp=am◎(/©c')不成立.

25.【答案】(1)

解：①如图所示：

②BD=CD+EF,理由如下：

证明：♦:AB=AC,

:.£B=/ACB,

•.•点。关于力C的对称点为凡

AAD=AF,/ACB=ZACF,CD=CF

/.Z1B=AACF

vZCAE=/BAD,

.•.△CJ£^A^Z)(ASA)

/.BD-CE,

,:EC=EF+CF,

:.BD=CD+EF；

(2)

第12页/共16页

解：BD=CD+2GF或BD=CD-2GF,

①当点E在线段C歹延长线上，如图

•••AE=AD,

•••AF=AD.

AE=AF,

vAGLEF,

:.EF=2GF,

•：BD=CD+2GF；

②当点E在线段b上，如图

同理可证明△CAEgABAD（ASA）,

/.BD—CE,

•：EC=CF-EF,

：.BD=CD-EF；

•・•^CAE^/^BAD,

AE=AD,

■:AF=AD,

:.AE=AF,

-AGLEF,

・•.EF=2GF,

・•・BD=CD-2GF；

・•・线段40、CD、G77之间满足的数量关系为30=CO+2G/或3。=C。-2G/7.

26.【答案】（1）（L5）：（5,5）

（2）®y=x-\.②3上

第13页/共16页

（3）OWZ-

2

【分析】（1）根据轴对称的性质即可求解•；

⑵①根据一次对称和二次对称的定义得到与（》,4一y），尾（6-羽4一月，推出441.片层，再根据

△Bq%为等腰直角三角形得到5片二用&,整理即可得出答窠；②过点”作垂直于"轴的直线/,过点

8作BH11于点〃，易证△的〃/是等腰直角三角形，则有=贵，得出

BM]

aBN+BM==C1BN+再计算出当N,6,“二点共线时N”的长

度，即可得出答案;

（3）求出正方形。。尸。的二次对称图形G3A02的各顶点坐标，再根据二次对称图形与过（。,。+3）且

垂直于歹轴的直线有公共点，列出关于。的不等式，即可求出。的取值范围.

（1）

解：由题意得，直线，〃为直线丁=2,直线〃为直线X=3,

点,4（1,-1）关于直线w对称的点为（1,5）,点（1,5）关于直线〃对称的点为（5,5）,

・••点/（1,一1）的一次对称点的坐标为（1,5）,二次对称点的坐标为（5,5）；

故答案为：（1>5）；（5,5）；

（2）

解：①・・•点B（x,刃在第三象限,

/.x<0,yv0,

,・,点8（x,y）关于直线相对称的点为（x