北师大版九年级数学上册 成比例线段（第1课时）导学案

4.1成比例线段导学案

01学习目标

1.理解线段的比和成比例线段的定义，能准确判断四条线段是否成比例；掌握比例的基本性质，并能运用

性质解决简单的几何问题.

2.经历测量、计算、对比等活动，从具体实例中抽象出成比例线段的概念，培养数学抽象能力.

3.感受成比例线段在生活中的广泛应用，体会“数学源于生活、用于生活”，激发学习兴趣.

学习重点：理解成比例线段的定义，掌握比例基本性质并会简单应用.

学习难点：理解并会推导比例基本性质，能够识别实际问题中“成比例线段"模型.

02学习过程

第一环节自主学习

1.测量以上两个形状相同图形对应边的长度，发现两个图形中的两条对应边比值都为2：1.

2.由此可以发现：形状相同的图形，多组对应边的比值是相篁的.

3.回顾：两个数的比，本质是表示两个数相除的关系.

新知自研：自研课本第7578页的内容.

【学法指导】

情景引入

在ppt上展示一些生活图片，并将这些图片的缩放图放在一起，引导学生观察这些图片的大小与形状关系.

自研课本P7578页的内容，思考：

•探究一：形状相同图形与线段的比

01.图中形状相同的图形有：大小不同的星形、轮廓相似但大小有别的多边形、五边形

♦2.由于对应线段的长度不同，导致它们最终大小不一样；

由此可以猜想，这些形状相同的图形可能存在固定的比例关系.

♦3.定义：如果用同一长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m、n,那么这两条线段的比是

AB:CD=nun(或瞪=：)

♦4.(1)线段的比的实质是什么两个数的比.

(2)注意：计算时必须统一长度单位

05.

(1)已知五边形ABCDE与五边形ABC'D'E'形状相同，AB=5cm,AB=3cm,那么线段AB与AB的比

是玄

(2)这个比值刻画了形状相同图形的大小关系,也就是说，大五边形可看作小五边形“放大|倍”得到.

团6.知识归纳

①形状相同的图形，对应线段的匕相等；

②线段的比：线段的比是两条线段笠度的比值(需统一单位)，它能刻画形状相同图形的大小关系,若两线

段AB、CD的长分别为m、n,则两条线段长度的比记作昔=三

CDn

练一练

1.(1)用同一单位测量得线段MN=4cm,PQ=12mm,则MN:P。=1。:3(结果化为

最简整数比).

(2)若线段a=2m,b=100cm,则，=罂=2，比值k=2,表示a=2x8.

2.己知线段4B=3cm,CO=6cm,下列说法正确的是(C)

A.AB:CD=2:1B皿吟

C.A8是比的前项，CO是比的后项时，比值为:D.CD与48的比为3:6

•探究二成比例线段的概念探究

团I.观察图形

观察上图，可以发现这两个四边形形状形状相似、大小不同

02.设小方格边长为1,计算线段AB、AD、EF、EH的长度

AD=8；由勾股定理，AD=《一.

EF=4；由勾股定理，£"=匚

03.计算线段比值，探究其中规律

AB，"匚EFtV-

—=----，—=-----

ADEH

(2)通过上式的计算，我们发现黑=警，*=霁即：两组线段的比相等.

fcrttlADtti

♦4.知识归纳

“成比例线段”的定义.

四条线段a,,b“c,,d中，若a与b的比隹(:与d的比(即三=》，则这四条线段叫做成比例线段

ba

(简称比例线段)

(1)四条线段成比例的核心条件是两组线段的比相等;线段顺序会(会/不会)影响比例关系.

练一练

下列每组四条线段中，哪些是成匕例线段？若成比例，写出一个比例式；若不成比例，说明理由(单位:

cm).

(1)a=2,b=4,c=3,d=6；

(2)a=1,b=2,c=3,d=4；

(3)a=5,b=10,c=15,d=30.

解：⑴廿一=二，*「，因为所以四条线段成比例

比例式为a：b=c:d

（2）尝试所有可能的“两两比”组合:

a□,b□□（口—）.

cad

巴=_,2=口

dDc

所有组合中，均无“两个比相等”的情况，故四条线段不成比例

（3）计算线段的比，寻找“两个比相等”：

因为2=£,所以四条线段成比例。

bd

比例式：a:b=c:d

•探究三比例的基本性质探究

猜想：（1）如果a,b,c,d四个数成比例，即£=那么ad=bc吗？

ba

（2）反过来，如果ad=bc,那么a,b,c,d四个数成比例吗？

小组讨论：验证以上两个猜想.

团1.结合等式性质，验证若£=贝!Jad=be.

Da

由干W=?且（分母不为0），两边同乘皿（等式性质）

得化简后ad=儿，因此该猜想成立.

♦2•猜想二的验证

（1）已知2x6=4x3（即ad=bc）,利用等式的性质，在2X6=4X3的等号两边同时除以24,熊得

到;二&同样的，3x4=2x6（即bc=ad）,利用等式的性质，在2X6=4X3的等号两边同时除以

46

8,能得到?二%

（2）若ad=bc,且瓦CHO,利用等式的性质，等式两边同时除以0,即可得g=

ca

03.知识归纳

比例的基本性质:

正向：若2=：（b,d不□）,贝!1Qd=be（外项积=内项积）；

na

反向：若ad=be（a,b,c,dH0）,则？=：（或其他比例式，如色=J）

baca

练一练

1.⑴若（X,y均不为0）,根据比例的基本性质，可得5x=3y；

（2）若2Q=3匕（a,b均不为0）,将其转化为比例式（写出一种即可）：

解：：=-或二=2都可以

2.判断下列说法是否正确，并说明理由：

（1）若mn=pq,则mq=np；

（2）若ab=cd,则ac=db（a,b,c,d均为实数）.

解：（1）正确。理由：根据比例的基本性质，若三节（71«工0,比例式分母不为0）,则两外项m与q

的乘积等于两内项兀与p的乘积，即mq=np。因此该说法正确。

（2）不正确。理由：若ab=cd,转化为比例式2=，需要满足分母CHO且bH0。题目中仅说明a,b,c,d

cb

均为实数，未限制c,b不为0,因此当c=0或6=0时，?或5无意义，无法推出;=%因此该说法不正

确。

典例分析

例1：如图，一块矩形绸布的长AB=am,宽AD=1m,按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩

旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即*=当，那么a的值应当是多少？

ADAB

【分析】本题是比例性质应用问题，结合矩形裁剪情境，核心是利用比例的基本性质（交叉相乘）建立方程

求解未知量.

【解答】根据题意可知，AB=am,AE=_am,AD=1m.

由生=竺，得-a

即-Q'=□

•••a=□.

开平方，得a=「（a=一厂舍去，长度为正数）.

第二环节合作探究

小组群学

在小组长的带领下：

A.共同探讨如何得出比例的基本性质；

B.合作探究比例的基本性质的双向推导.

C.交流例题的解决方法.

3巩固练习

1.已知线段a=2cm,b=3cm,c=4cm,d=6cm,下列比例式成立的是（A）

AodRC-b

A.-a=-c

C.-=-D,^=-

abbc

2.若四条线段m、几、p、q成比例，且m=3,n=4,p=6,则q的值为（A）

A.8B.4.5

C.2D.12

3.下列说法正确的是（C）

A.若2=*贝I]Q=c,b=d

ac

B.线段的比与所采用的长度单位有关

C.若ad=beCa,b,c,d均天为0）,则（=?

D.成比例线段的四条线段必须按顺序排列

4.已知=；（y^O）,则下列等式成立的是（B）

XJ

A.3%=4yB.4%=3y

C.-=-D.上=±

Xyx+y3

5.形状相同的两个矩形，其中一个矩形的长和宽分别为5cm和4cm,另一个矩形的宽为6

cm,则其长为(B)

A.7cmB.7.5cm

C.8cmD.8.5cm

6.若~=~9且a+b=10,则a=4.

7.已知线段AB=6cm,CD=2dm(1dm=10cm),则AB:CD=3:10

8.若3m=5n(m,nHO),则二=：.

m3

9.某工厂要生产一种零件，设计图纸上零件的长为10cm,实际生产的零件长为50mm(1

cm=10mm),图纸上零件的宽为6cm。

(1)求图纸上零件与实际零件的长度比；

(2)根据比例的基本性质，求实际生产零件的宽。

解；(1)长度比计算

图纸上零件长10cm,实际长50mm=5cm,故图纸与实际的长度比为10:5=2:1.

(2)实际宽计算

设实际生产零件的宽为％cm,根据比例关系装=鬻，得?=々解得无=3cm.

实际长实际起Sx

故实际生产零件的宽为3cm.

EJ提升专练

题型一：线段的比与单位统一

1.(2024-山东青岛模拟)已知线段a=3cm,b=50mm,则a.b的值为(A)

”B.3C.&D.也

550500S

【分析】此题的单位不统一，需将bb的单位换算为"cm"(1cm=10mm).

【解答】统一单位：b=50mm=5cm

计算比佰：a:b=3:5=z.

【点评】本题关键在单位统一，避免直接用“3cm:50mm”计算导致错误.

2.(2.(2023•江苏苏州中考改编)线段m=2dm,n=0.4m(lm=10dm),贝I」min的最简比为

(A)

A.1:2B.2:4C.5:1D.1:5

【分析】单位不统一：m的单位是"dm",n的单位是"m",需统一单位（Im=10dm）.

【解答】统一单位：n=0.4”m”=0.4xl0=4"dm"

计算比值：m:n=2"dm":4”dm"=2:4=l:2

【点评】易错点：未化简“2:4”，错选B；或单位换算错误（如将0.4”m”换算为0.4dm）,错选C.

3.（2025•湖北武汉模拟）若线段AB=4cm,线段CD的长度是AB的2倍，贝ljAB:CD=1：2

【分析】先求出CD的长度，再计算AB与CD的比.

【解答求CD的长度：CD=2xAB=2x4"cm"=8"cm"

计算比值:AB:CD=4"cm":8"cm"=4:8=l:2.

【点评】关键步骤：明确“CD是AB的2倍”即CD=2AB,避免将比写成2:1.

4.（2024•浙江杭州模拟）已知线段x=1.5cm,y=3nlm，则-=5.

y一

【分析】单位不统一：x的单位是"cm",y的单位是"mm",需统一单位（1cm=10mm）.

【解答】统一单位：y=3mm=34-10=0.3cm

计算L匕值：±=乎=焉=5

y0.3cm0.3

【点评】技巧：小数比可通过“分子分母同乘10的倍数”化为整数比，再计算.

题型二：成比例线段的判断

5.（2023•四川成都中考）已知四条线段。=2,b=3,c=4,d=6,下列说法错误的是（C）

A.a,b,c,d,成比例（；=；）B.a,c,b,d成比例（-=

bdca

C.a,d,b,c成比例（^=-）D.以上都不对

ac

【分析】分别验证各选项的比例式是否成立，即计算“前项比后项”是否相等.

【解答】选项A：三=；,：=：=则7=^故a，bcd成比例，A正确

b3a63ba

选项B：-=7=\=7=|＞则,故a,c,b,d成比例，B正确

c42d62ca

选项C：m=U2="C错误

a63C434

【点评】关键：成比例线段的顺序可调整，只要存在两组线段比相等即可.

6.（2024•广东深圳模拟）四条线段的长度分别为3,5,6,10,则这四条线段（A）

A.成比例B.不成比例

C.只有两组成比例I）.尢法判断

【分析】尝试不同顺序组合，判断是否存在?=*.

ba

【解答】组合1：1=0.6,4=0.6,则，比值相等，故四条线段成比例

【点评】技巧：先将四条线段按从小到大排序（3,5,6,10）；再验证“最小:较小=较大:最大”是否成

立弓=2），快速判断成比例.

s10

7.（2025,河南郑州模拟）若四条线段m=1,n=V2,p=q=2,则m,n,p,q是成比例线段（填

“是”或“不是”）

【分析】验证是否存在-=E或其他组合即可.

nq

【解答】巴=%=f（分母有理化），R则”=巳，比值相等

nV22q2nq

【点评】理数比：含根号的线段匕可通过分母有理化后比较

8.（2023•湖南长沙模拟）已知线段a=4,b=6,c=9,d=6,判断:与&是否相等，并说明这

bc

四条线段是否成比例。

【分析】分别计算I和g若相等则四条线段成比例.

【解答】计算比值：？=，&=!=；，故7=--

b63c93bc

判断成比例：由三二色，可知四条线段a,b,d,c成比例（顺序为a,b,d,c）

bc

【点评】顺序调整：成比例线段的顺序不唯一，只要满足“两组比相等”即可.

题型三比例基本性质

9.（2024•陕西西安中考改编）若彳=5（%/W0），则下列等式成立的是（A）

A.3x=2yB.2x=3y

%_3x+2_y+3

c.D.---_----

y~223

【分析】利用比例基本性质“交叉相乘”转化为等积式.

【解答】由;二；，交叉相乘得3x=2y（外项积=内项积），故A正确。

选项B：应为3x=2y,B错误；

选项c：?=:,C错误；

y、

选项D：需用合比性质验证，但题目未要求，D不成立.

【点评】核心技巧：比例式E；与等积式ad=儿互化是解比例问题的“万能工具”.

bc

10.（2023•重庆中考）已知ab=cd（a,b,c,d均不为0）,则下列比例式错误的是（D）

cadc

【分析】验证各选项是否满足“外项积=内项积”（即ab=cd）

【解答】选项A：2=?一外项积ab,内项积cd,ab=cd,正确；

cb

选项：-＞外项积ab,内项积cd,ab=cd,正确；

Bab

选项：-=--＞外项积ab,内项积cd,ab=cd,正确；

Cca

选项D:^=外项积be,内项积ad,即be=ad,与ab=cd不符，错误

【点评】验证方法：比例式正误判断的本质是,'外项积是否等于内项积、与已知等积式对比即可.

11.（2025•江苏南京模拟）若27n=3nCmn工0）,则-=^.

tn2

【分析】将等积式2m=3几转化为比例式巴=2

n2

【解答】等式27n=3n两边同时除以2九（九H0）,得巴=:.

n/

【点评】等积式化比例式时，’、m的系数”作为后项，“n的系数”作为前项.

12.（2024•山东济南模拟）已知？=：，且a+b=16,则a=6

【分析】设Q=3k,b=5k（ZwO），代入Q+b=16求解.

【解答】设参数：设a=3k,b=5k

代入方程：3k+5k=163I8k=16Tk=2

求a,b：a=3k=3x2=6,b=5k=5x2=10

【点评】比例问题中，设“比例系数k”可将两个变量转化为一个变量，简化计算.

题型四比例性质的计算应用

13.（2023•浙江宁波中考改编）已知2=3b=12,则Q=（B）

b3

A.6B.8

C.10D.14

【分析】利用比例基本性质“交叉相乘”求a.

【解答】由三二9，得3a=2匕

D3

代入b=12：3a=2x12=24—>a=8

【点评】比例式中已知三个量，可通过“外项积=内项积”求第四个量

14（2024•河北石家庄模拟）若±则力=（C）

y5y

9

g

【分析】利用合比性质：矍=洛=/1

【解答】

【点评】合比性质：避免繁琐的参数法，直接将分式拆分为快速计算.

y

15.（2025•辽宁沈阳模拟）已知?=；，则7=1

b2bL

【分析】将噌拆分为？一?二?一1,解方程求W

bbbbb

【解答】iT鸿+1£

【点评】拆分法：将分子为多项式的分式拆分为两个分式的差或和，简化计算

16.（2023•安徽合肥模拟）若：=菅=（（%，y，z芋0），且2x+y-z=6,求x,y,z的值.

【分析】设比例系数k,表示x=3k,y=4k,z=5限代入方程求解.

【解答】设参数：设土=丫=三=k,则X=3/c,y=4k,z=5晨

345

代入方程：2（3k）+4k-5k=6-6k+4k-5k=6->5k=6-k=^

618

x=3k=3x-=—

624

y=4/t=4X-=—

6

z=5/c=5x-=6

【点评】连比设k:遇到多个相等的比（连比），设比例系数k是通用方法，可将多个变量统一为单变

量

题型五比例性质的计算应用

17.（2024♦福建福州中考）某地图的比例尺为1:50000,若图上距离为2cm,则实际距离为（A）

A.1000mB.10000m

C.100mD.10m

【分析】比例尺=图上距离：实际距离，设实际距离为xcm,列比例式求解，注意单位换算（1m=100

cm）.

【解答】列比例式：-^-=--*x=2x50000=100000cm

S0000x

单位换算：100000cm=100000-5-100=1000m

【点评】比例尺定义：比例尺=图上距离/实际距离，注意实际距离的单位换算（由cm化为m或

km）

18.（202